◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

**davy jones** · 21-11-2010, 13:31

نوشته شده توسط somaye1988 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
من چندتا تمرین معادلات دیفرانسیل دارم تا وسط تونستم حلشون کنم و به جواب آخر نرسیدم..
ممنون میشم اگه کسی حلشون کنه...

3 x y ² y ' = 4 y ³ - x ³

y y ' – y + x – x y ' + y = 0

y ' = ( y + 4 x – 1 ) ²

سلام.
هر 3 تا سوال روش حل یکسانی دارند و اون عبارت است از استفاده از فاکتور انتگرال (Integration Factor)
ابتدا به صورت کلی توضیحاتی در این زمینه میدم تا ان شاءالله در حل مسائل این مدلی در آینده راحت تر باشین.

در حل معادلات دیفرانسیل به این روش، ابتدا معادله را با تفکیک عاملهای دیفرانسیل به صورت زیر در می آوریم:

$\120dpi P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

سپس چک میکنیم که آیا تساوی زیر برقرار هست یا خیر:

$\120dpi \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$

اگر تساوی فوق برقرار باشه بدان معناست که معادله ی دیفرانسیل ما احتیاجی به فاکتور انتگرال نداره و یکضرب قابل حله. ولی در ادامه میبینیم که هر 3 مثال شما چنین نیست و باید برای حل اونها یک عامل انتگرال ساز (یا همون فاکتور انتگرال) پیدا کنیم که این تابع باید طوری باشد که اگر در دوطرف معادله ی تفکیک شده بالا ضرب بشه، اون وقت تساوی گفته شده رو برقرار کنه. یعنی اگه تابع فاکتور انتگرال رو u بنامیم، خواهیم داشت:

$\120dpi u(x,y)\times P(x,y)dx+u(x,y)\times Q(x,y)dy=u(x,y)\times 0=0$

$\120dpi \Rightarrow \frac{\partial }{\partial y}[u(x,y)P(x,y)]=\frac{\partial}{\partial x}[u(x,y)Q(x,y)]\rightarrow exact$

و طریقه ی حل در ادامه به این گونه خواهد بود که تابع اولیه ای مانند H را طوری فرض میکنیم که:

$\120dpi H(x,y)=\int u(x,y)P(x,y)dx=\int u(x,y)Q(x,y)dy$

و در حقیقت تابع H جواب کلی معادله دیفرانسیل خواهد بود.

برای مطالعه ی بیشتر در این زمینه به این 3 رفرنس مراجعه کنین:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حالا بریم سراغ حل سوالهای شما:

3 x y ² y ' = 4 y ³ - x ³

$\120dpi 3xy^{2}{y}'=4y^{3}-x^{3}\Rightarrow (x^{3}-4y^{3})dx+3xy^{2}dy=0$

$\120dpi \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial y}(x^{3}-4y^{3})=-12y^{2} \\ \frac{\partial }{\partial x}(3xy^{2})=3y^{2} \end{matrix}\right.\rightarrow not\; exact$

در اینجا باید از تابع فاکتور انتگرال استفاده کنیم. فرض میکنیم که فاکتور انتگرال ما فقط تابعی از x باشد. اگر از این راه به جواب رسیدیم که فبها المراد و گرنه برعکسش رو فرض میکنیم (فاکتور انتگرال فقط تابعی از y ). ممکنه که تابع فاکتور انتگرال ما نتونه تنها تابعی از یک متغیر باشه. بنابراین اگه در هر دو فرض با شکست مواجه شدیم باید فاکتور انتگرال رو تابعی از هر دو متغیر در نظر بگیریم و در اون صورت کار حل مساله واقعا سخت میشه. اما در ابتدا ما تابع u رو فقط تابعی از x فرض میکنیم. بنابراین داریم:

$\120dpi \begin{Bmatrix} \frac{\partial (x^{3}u(x)-4y^{3}u(x))}{\partial y}=-12y^{2}u(x)\\ \frac{\partial (3xy^{2}u(x))}{\partial x}=3y^{2}u(x)+3xy^{2}{u}'(x) \end{Bmatrix}\Rightarrow -12y^{2}u(x)=3y^{2}u(x)+3xy^{2}{u}'(x)$

$\120dpi \Rightarrow \frac{{u}'(x)}{u(x)}=\frac{-5}{x}\Rightarrow \frac{du}{u}=\frac{-5dx}{x}\Rightarrow \int \frac{du}{u}=\int \frac{-5dx}{x}\Rightarrow ln(u)=-5\: ln(x)\Rightarrow {\color{red} u(x)}=x^{-5}{\color{red} =\frac{1}{x^{5}}}$

حال به سراغ محاسبه تابع H میرویم:

$\120dpi \Rightarrow H(x,y)=\int u(x)p(x,y)dx=\int \frac{x^{3}-4y^{3}}{x^{5}}dx=\int \frac{dx}{x^{2}}-4y^{3}\int \frac{dx}{x^{5}}=\frac{-1}{x}+\frac{y^{3}}{x^{4}}+c(y)$

که در اینجا منظور از تابع (C(y همون عدد ثابت انتگرال نسبت به x هستش که میتونه تابعی از y هم باشه. (اتفاقا نکته ی کار هم همینجاست!!) حالا طبق تعریف اگه از تابع H بدست اومده نسبت به y مشتق بگیریم باید به u*Q برسیم:

$\120dpi \Rightarrow \frac{\partial H(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}[\frac{-1}{x}+\frac{y^{3}}{x^{4}}+c(y)]=\frac{3y^{2}}{x^{4}}+{c}'(y)=u(x)Q(x,y)=\frac{3xy^{2}}{x^{5}}=\frac{3y^{2}}{x^{4}}\Rightarrow {c}'(y)=0\Rightarrow c(y)=k\; (k\;\; is\; \; constant)$

در نهایت با جایگذاری تابع C در H جواب کلی معادله بدست میآید:

$\120dpi \Rightarrow H(x,y)=\frac{-1}{x}+\frac{y^{3}}{x^{4}}+k=0\Rightarrow \frac{y^{3}-x^{3}}{x^{4}}=-k\Rightarrow {\color{red} y=\sqrt[3]{x^{3}-kx^{4}}}$

-------------------------

حل دو مساله ی بعدی رو به عهده ی خودتون میذارم به دو دلیل:

1- نسبت به سوال اول خیلی سخت تر هستن و خودم هم توش گیر کردم

2- میتونین چیزایی که گفتم رو یه دور با اونها مرور کنین.

فقط یه راهنمایی بکنم که فاکتور انتگرال معادله های دوم و سوم نمیتونه فقط تابعی از یک متغیر باشه و حتما باید هر دو متغیر x و y رو وارد تابع فاکتور انتگرال کنین و شروع کنین به حل یه معادله ی دیفرانسیل پاره ای جدید!

موفق باشین.
89/8/30

**somaye1988** · 21-11-2010, 18:51

ممنون از شما لطف کردین..

**Life24** · 25-12-2010, 22:47

$\int Sin^52x$

این انتگرال را حل کنید لطفا
من به روش تغیر متغیر حل کردم یک جواب گرفتم
و به روش معمولی که ضرب کردوم و به توان رسوندم جواب دیگری دست اومد
الیته یک قسمتش فقط فرق پیدا کرد
از شما میخوام به روش تغیر متغیر حل کنید(همون که به یک متغیری u میدیم) شاید من تو روش تغیر متغیر اشتباه میکنم چون روش اول رو درست حل کردم مطئنن

**davy jones** · 26-12-2010, 08:48

نوشته شده توسط Danial_Hiv [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$\int Sin^52x$

این انتگرال را حل کنید لطفا
من به روش تغیر متغیر حل کردم یک جواب گرفتم
و به روش معمولی که ضرب کردوم و به توان رسوندم جواب دیگری دست اومد
الیته یک قسمتش فقط فرق پیدا کرد
از شما میخوام به روش تغیر متغیر حل کنید(همون که به یک متغیری u میدیم) شاید من تو روش تغیر متغیر اشتباه میکنم چون روش اول رو درست حل کردم مطئنن

سلام.
بفرمایین:

$\120dpi I=\; \int \sin ^{5}(2x)dx\; =\; \int \sin (2x)\sin ^{4}(2x)dx\; =\; \int \sin (2x)[\sin ^{2}(2x)]^{2}dx \; = \int \sin (2x)[1-\cos ^{2}(2x)]^{2}dx\Rightarrow \cos(2x)=u\rightarrow du=-2\sin (2x)dx\; \rightarrow \; \sin (2x)dx=\frac{du}{-2}\Rightarrow I=\; \frac{-1}{2}\int (1-u^{2})^{2}du \;=\; \frac{-1}{2}\int (u^{4}-2u^{2}+1)du\; =\; \frac{-1}{2}(\frac{u^{5}}{5}-\frac{2u^{3}}{3}+u)+c\; =\; \frac{-u^{5}}{10}+\frac{u^{3}}{3}-\frac{u}{2}+c\; =\; {\color{red} \frac{-\cos^{5}(2x)}{10}+\frac{\cos^{3}(2x)}{3}-\frac{\cos (2x)}{2}+c}$

موفق باشین.
89/10/5

**Life24** · 26-12-2010, 09:25

$\int e^{x}sinxdx$
این انتگرال باید از جز به جز بریم
خوب سری اول که حل میکنیم یک انتگرال بدست میاد مثل همون بالایی منتها از نوع کسینوس
دوباره حلش میکنیم دوباره میشه انتگرال بالایی @!@
بعد یک جا دیدیم آخر سر زده
$-e^{x}cosx+e^{x}sinx$
بعد انتگرال گرفته در کل آخرش مخصوصا خر تو خر میشه اول هاش طوری نیست

**davy jones** · 26-12-2010, 09:45

نوشته شده توسط Danial_Hiv [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$\int e^{x}sinxdx$
این انتگرال باید از جز به جز بریم
خوب سری اول که حل میکنیم یک انتگرال بدست میاد مثل همون بالایی منتها از نوع کسینوس
دوباره حلش میکنیم دوباره میشه انتگرال بالایی @!@
بعد یک جا دیدیم آخر سر زده
$-e^{x}cosx+e^{x}sinx$
بعد انتگرال گرفته در کل آخرش مخصوصا خر تو خر میشه اول هاش طوری نیست

امیدوارم توضیحاتم کامل باشه ولی گه بازم جاییش رو متوجه نشدین و سوال داشتین حتما بپرسین:

$\120dpi J=\int e^{x}\sin (x)dx\Rightarrow u_{1}=\sin (x)\; \; ,\; \; v_{1}=e^{x}\rightarrow dv_{1}=e^{x}dx\; \; \Rightarrow {\color{red} J}=\int u_{1}.dv_{1}\; =\; u_{1}v_{1}\; -\; \int v_{1}.du_{1}\; =\;{\color{red} e^{x}\sin (x)-\int e^{x}\cos (x)dx=e^{x}\sin (x)-K}\; \Rightarrow K=\int e^{x}\cos (x)dx\Rightarrow u_{2}=\cos (x)\; \; ,\: \: v_{2}=e^{x}\rightarrow dv_{2}=e^{x}dx\Rightarrow {\color{blue} K}=\int u_{2}.dv_{2}=u_{2}v_{2}-\int v_{2}.du_{2}={\color{blue} e^{x}\cos (x)+\int e^{x}\sin (x)dx=e^{x}\cos (x)+J}\Rightarrow J=e^{x}\sin (x)-K=e^{x}\sin (x)-[e^{x}\cos (x)+J]=e^{x}\sin (x)-e^{x}\cos (x)-J\Rightarrow 2J=e^{x}\sin (x)-e^{x}\cos (x)\Rightarrow {\color{green} J=\frac{e^{x}\sin (x)}{2}-\frac{e^{x}\cos (x)}{2}}$

موفق باشین.
89/10/5

**Life24** · 03-01-2011, 19:44

$\int \frac{x^2-2x-1}{2x^3+3x^2-2x}$

آقا این چطور حل میشه؟
این به روش تفکیک کسری حل میشه
مخرج رو تفکیک که میکنم
من حلش میکنم
اما یک جا گیر میکنم اونم در اوردن a و b و c
همون صورت کسر ها رو میگم ها
گیچ میشم موقع میخوام بدست بیارم میشه یک راه واضح و اساسی شو به ما یاد بدید
چون خیلی لازمش دارم
مسئله ها باد کرده و لنگ همین a,b,c هاشون هستم
روش حل مسئله رو بلدم.

**davy jones** · 04-01-2011, 09:12

نوشته شده توسط Life24 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$\int \frac{x^2-2x-1}{2x^3+3x^2-2x}$

آقا این چطور حل میشه؟
این به روش تفکیک کسری حل میشه
مخرج رو تفکیک که میکنم
من حلش میکنم
اما یک جا گیر میکنم اونم در اوردن a و b و c
همون صورت کسر ها رو میگم ها
گیچ میشم موقع میخوام بدست بیارم میشه یک راه واضح و اساسی شو به ما یاد بدید
چون خیلی لازمش دارم
مسئله ها باد کرده و لنگ همین a,b,c هاشون هستم
روش حل مسئله رو بلدم.

سلام.

یه راه تستی و سریع برای این کار هست که البته ممکنه همیشه جواب نده. حالا در آخر کار میگم که کجاها جواب نمیده. بعد از اینکه مخرج کسر رو تجزیه کردیم مثلا به یک چنین عبارتی میرسیم:

$\frac{f(x)}{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}$

و همچنین قصد داریم که دست آخر این کسر رو به حالت زیر در بیاریم:

$\frac{a}{x-x_{1}}+\frac{b}{x-x_{2}}+\frac{c}{x-x_{3}}$

در این حالت a و b و c برابرند با:

$\left\{\begin{matrix} a=\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}\\ b=\frac{f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}\\ c=\frac{f(x_{3})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})} \end{matrix}\right.$

اثبات این قضیه هم ساده است. یه طرفین وسطین معمولی که بزنین به نکته ی این راه پی میبرین. اگه خواستین بگین تا بنویسم. اما این حالت هنگامی که مخرج شامل ریشه ی مضاعف باشه جواب نمیده. همچنین اگه درجه ی صورت بزرگتر یا مساوی با درجه ی مخرج باشه، باید جملات دیگه ای رو هم به جواب اضافه کنیم. مثلا اگه درجه ی صورت 4 و درجه مخرج 3 باشه در اون صورت جواب نهایی ما بایستی به صورت زیر در نظر گرفته بشه:

$\frac{f(x)}{g(x)}=ax+b+\frac{c}{x-x_{1}}+\frac{d}{x-x_{2}}+\frac{e}{x-x_{3}}$

حل انتگرال و تجزیه ی کسر رو دیگه برای تمرین به عهده ی خودتون میذارم.

موفق باشین.
89/10/14

**Life24** · 04-01-2011, 20:35

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

یه راه تستی و سریع برای این کار هست که البته ممکنه همیشه جواب نده. حالا در آخر کار میگم که کجاها جواب نمیده. بعد از اینکه مخرج کسر رو تجزیه کردیم مثلا به یک چنین عبارتی میرسیم:

$\frac{f(x)}{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}$

و همچنین قصد داریم که دست آخر این کسر رو به حالت زیر در بیاریم:

$\frac{a}{x-x_{1}}+\frac{b}{x-x_{2}}+\frac{c}{x-x_{3}}$

در این حالت a و b و c برابرند با:

$\left\{\begin{matrix} a=\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}\\ b=\frac{f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}\\ c=\frac{f(x_{3})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})} \end{matrix}\right.$

اثبات این قضیه هم ساده است. یه طرفین وسطین معمولی که بزنین به نکته ی این راه پی میبرین. اگه خواستین بگین تا بنویسم. اما این حالت هنگامی که مخرج شامل ریشه ی مضاعف باشه جواب نمیده. همچنین اگه درجه ی صورت بزرگتر یا مساوی با درجه ی مخرج باشه، باید جملات دیگه ای رو هم به جواب اضافه کنیم. مثلا اگه درجه ی صورت 4 و درجه مخرج 3 باشه در اون صورت جواب نهایی ما بایستی به صورت زیر در نظر گرفته بشه:

$\frac{f(x)}{g(x)}=ax+b+\frac{c}{x-x_{1}}+\frac{d}{x-x_{2}}+\frac{e}{x-x_{3}}$

حل انتگرال و تجزیه ی کسر رو دیگه برای تمرین به عهده ی خودتون میذارم.

موفق باشین.
89/10/14

آقا به خدا من امتحان دارم
بدبخت میشم
به خدا نمیفهمم این رو
انتگرال رو حل میکنم اما نمیتونم این عدد رو بدست بیارم
من چی کار کنم من راستش توش موندم من نمیفهمم این عدد بدست اوردم رو

حیف هست انتگرال حل میکنم اما تو این بمونم

**davy jones** · 04-01-2011, 20:55

نوشته شده توسط Life24 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آقا به خدا من امتحان دارم
بدبخت میشم
به خدا نمیفهمم این رو
انتگرال رو حل میکنم اما نمیتونم این عدد رو بدست بیارم
من چی کار کنم من راستش توش موندم من نمیفهمم این عدد بدست اوردم رو

حیف هست انتگرال حل میکنم اما تو این بمونم

من خیلی سعی کردم که توضیحاتم گویا و ابتدایی باشه تا مشکلی پیش نیاد ولی بازم اگه احساس میکنین راه حل رو نگرفتین، بگین کجاشو متوجه نشدین تا بیشتر توضیح بدم.

موفق باشین.
89/10/14

مشاهده نتيجه نظر خواهي: -

نام تاپيک: ◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

اختيارات تاپيک

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از Life24 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن