اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[skyzare]

با سلام .

اساتید این رو ببینید :

الف : مجموعه که در ان داریم :

مستقل خطی است و یک مولد برای می باشد .

ب : مجموعه که در ان داریم :

مستقل خطی است ولی یک مولد برای نیست

=====================================

حالا سوالم اینه . من نمیدونم چه جوری باید تشخیص بدم که مولد برای هست .هر دو تاش که مستقل خطی هست . میدونم مستقل خطی بودن رو چه جوری تشخیص

بدم ولی این مولد رو نه . اصلا منظورش از مولد چیه ؟

با تشکر

[lebesgue]

در بحث فضاهای برداری، مفهومی هست به نام پایه (Basis). احتمالاً اینجا منظور از مولد همین پایه است. تفاوت مجموعه اول و دوم در این است که در اولی، مجموعه همه ترکیب های خطی ممکن از بردارهای ، برابر کل فضای است، یا به عبارت دیگر، ترکیب خطی بردارهای مجموعه اول میتوانند کل فضای را تولید کنند، اما در مورد مجموعه دوم چنین نیست.

در یک فضای برداری، به مجموعه ای از بردارهای مستقل که بتوانند کل فضا را تولید کنند، یک پایه برای آن فضا گفته می شود. بنا به قضایای جبر خطی، برای یک فضای برداری با بعد متناهی، همه پایه ها، تعداد اعضای یکسانی دارند و این تعداد، بعد آن فضا نامیده می شود. بنابراین برای یک فضای n بعدی، هیچ مجموعه ای با کمتر از n بردار، نمی تواند یک پایه برای فضا بوده و کل فضا را بسازد.

فضای برداری یک فضای سه بعدی است و یک پایه برای آن، مجموعه {(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)} است که پایه استاندارد نامیده می شود. همچنین بنا به آنچه در بالا آمد، هیچ مجموعه ای با کمتر از سه بردار نمی تواند کل فضا را بسازد.

[lebesgue]

از آنجا که مي توان نشان داد داراي تناظر يک به يک با مجموعه تواني است، گاهاً به طور سمبوليک نوشته مي شود .

مسئله 1: نشان دهيد تناظري يک به يک ميان مجموعه اعداد حقيقي و مجموعه تواني اعداد طبيعي (مجموعه زيرمجموعه هاي ) وجود دارد.

مسئله 2: نشان دهيد براي هر m و n صحيح مثبت، تناظري يک به يک ميان مجموعه هاي و وجود دارد.

[lovely_killer]

سلام دوستان

من 3 تا سئوال جبر خطی دارم که هر کاری کردم نتونستم حلشون کنم.به هیچ کدوم از همکلاسی ها هم دسترسی ندارم . اگه کسی بتونه تو حلشون کمکم کنه واقعا ممنونش میشم.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

[skyzare]

در بحث فضاهای برداری، مفهومی هست به نام پایه (Basis). احتمالاً اینجا منظور از مولد همین پایه است. تفاوت مجموعه اول و دوم در این است که در اولی، مجموعه همه ترکیب های خطی ممکن از بردارهای ، برابر کل فضای است، یا به عبارت دیگر، ترکیب خطی بردارهای مجموعه اول میتوانند کل فضای را تولید کنند، اما در مورد مجموعه دوم چنین نیست.

در یک فضای برداری، به مجموعه ای از بردارهای مستقل که بتوانند کل فضا را تولید کنند، یک پایه برای آن فضا گفته می شود. بنا به قضایای جبر خطی، برای یک فضای برداری با بعد متناهی، همه پایه ها، تعداد اعضای یکسانی دارند و این تعداد، بعد آن فضا نامیده می شود. بنابراین برای یک فضای n بعدی، هیچ مجموعه ای با کمتر از n بردار، نمی تواند یک پایه برای فضا بوده و کل فضا را بسازد.

فضای برداری یک فضای سه بعدی است و یک پایه برای آن، مجموعه {(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)} است که پایه استاندارد نامیده می شود. همچنین بنا به آنچه در بالا آمد، هیچ مجموعه ای با کمتر از سه بردار نمی تواند کل فضا را بسازد.

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

در مورد اون قسمت قرمز رنگ .

یعنی اگه ما یه فضای n بعدی مثلا داشته یاشیم . طبق مطالب شما هر مجموعه ای که کمتر از 6 بردار

داشته باشه نمیتونه این فضا را بسازه و در واقع پایه ای برا ی فضا محسوب نمیشه . درسته ؟


حالا میشه بگیم که :

1- اگه مجموعه ما دقیقا 6 بردار داشته باشه حتما یه پایه برای فضای محسوب میشه ؟

2- یا اگه مجموعه ما بیشتر از 6 بردار باشه باز میشه با قاطیعت گفت که یه فضا برای محسوب میشه ؟

==================================================

شرمنده من هنوز دقیقا متوجه نشدم از چه روش ریاضی میشه فهمید که مجموعه داده شده مولد ی برای فضای مورد نظر نیست .

[skyzare]

در بحث فضاهای برداری، مفهومی هست به نام پایه (Basis). احتمالاً اینجا منظور از مولد همین پایه است .

با سلام .

با تشکر از شما .

ببخشید جسارت نشه گویا تعریفی که از مولد و پایه میشه با هم فرق داره .

من این تعریف رو توی کتاب تازه دیدم که این جوری توشته بود :

هر زیر مجموعه مستقل خطی از R^n که R^n را تولید میکند یک پایه برای R^n نامیده میشود .

===============================================

یه جای دیگه هم من این سوال رو پرسیدم یه همچین پاسخی رو در بخشی ار صحبت هاشون دادند که دقیقا گفته ایشون رو نقل قول می کنم . طرف مخاطبشون من هستم یه موقع جسارت نشه .

یه نکته ای هم در ادامه بگم بد نیست....

وقتی اون مجموعه هم مستقل خطی باشه و هم مولد باشه اون وقت پایه میشه

در واقع برای اینکه بگیم مجموغه B پایه برای V هست باید ثابت کنیم که B مستقل خطی و مولد برای V هستش...
و تنها مولد بودن کافی نیست...

(((پایه و مولد را با هم اشتباه نگیر ... پایه باید هم مولد باشه هم مستقل خطی)))

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[lebesgue]

خواهش می کنم، من هم مطمئن نبودم که منظور از مولد همان پایه باشد، از همین جهت گفتم احتمالاً. این اصطلاح را ندیده بودم. بیشتر می گویند یک مجموعه از بردارها کل فضا را تولید می کند (Span)، تا اینکه یک مجموعه یک مولد برای فضا است.

بهرحال، توضیحاتی که در پست قبل در مورد پایه دادم، سر جای خود است و اگر تعریف مولد را چنین در نظر بگیریم:

را یه مولد برای V میگیم اگر هر عنصری از V به صورت ترکیب خطی از عناصر B نوشته شود.

میتوان در مورد یک فضای n بعدی به طور خلاصه گفت:

1. هر مجموعه شامل بیشتر از n بردار، حتماً وابسته خطی خواهد بود (چه مولد باشد، چه نباشد) و در نتیجه نمی تواند یک پایه برای آن فضا باشد.

2. هر مجموعه شامل کمتر از n بردار، نمی تواند یک مولد باشد (چه مستقل خطی باشد، چه نباشد)، در نتیجه نمی تواند یک پایه برای آن فضا باشد.

3. هر مجموعه شامل دقیقاً n بردار، اگر مستقل خطی باشد، حتماً مولد نیز بوده و در نتیجه یک پایه برای آن فضا است.

این نتایج از قضایای جبر خطی حاصل می شوند. توجه کنید استفاده از نکات بالا زمانی میتواند در حل مسائل راهگشا باشد که شما از قبل، بعد فضا را به طریقی بدانید. در مورد فضای ، بعد به طور مشخص برابر n است، اما در مواردی ممکن است پیدا کردن بعد به سادگی ممکن نباشد. همچنین یک فضای برداری میتواند بینهایت بعدی باشد.

[lovely_killer]

سلام دوستان

من 3 تا سئوال جبر خطی دارم که هر کاری کردم نتونستم حلشون کنم.به هیچ کدوم از همکلاسی ها هم دسترسی ندارم . اگه کسی بتونه تو حلشون کمکم کنه واقعا ممنونش میشم.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

سلام

کسی نبود یکی از اینا رو حل کنه؟

[skyzare]

با سلام .

اساتید من یه چند تا سوال دارم هر کدامش رو جواب یدید ممنون میشم . ( سه تا بیشتر نیست . همون جملات ابی رنگ )

========================================

1- یه ماتریس مقدماتی رو چه جوری باید تشخیص بدم ؟ اون سه تا عملیات سطری مقدماتی رو هم میدونم .

نگاه کنید مثلا توی کتاب این ها رو مثال زده :

توی کتاب گفته اولی ماتریس مقدماتی هست ولی دومی نیست .

چرا اولی ماتریس مقدماتی هست ولی دومی نه ؟

2 - توی کتاب گفته که :

ماتریس m*n ای چون B را در نظر بگیرید .

B را تحویل شده سطری می نامیم اگر :

الف ) اولین درایه غیر صفر ( در صورت وجود ) هر سطر B برابر با 1 باشد .

ب ) همه درایه های ستونی از B که شامل اولین درایه غیر صفر سطری از B است برابر با صفر باشد .

من این مورد ب رو متوجه نمیشم منظورش چی هست ؟؟؟؟

========================================

در ادامه اومده تعریف ماتریس سطری پلکانی کرده و گفته :

ماتریس B را تحویل شده سطری پلکانی می نامیم اگر تحویل شده سطری باشد و در شرایط زیر هم صدق کند .

پ ) اولین درایه غیر صفر هر سطر از اولین درایه غیر صفر سطر بعدی یه ستون اول ( دست چپ ) نزدیک تر باشد .

ت ) بعد از سطری که همه درایه های آن صفرند ، سطر غیر صفری وجود نداشته باشد .

بعد اومده یه قضیه گفته که :

هر ماتریس m*n چون A با یک ماتریس تحویل شده سطری پلکانی هم ارز است .

========================================

حالا سوالم اینه روش خاصی برای تبدیل ماتریس به سطری پلکانی هست که بشه به همه ماتریس ها اعمال کرد ؟ توی کتاب همه اش با همین عملیات سطری مقدماتی تبدیل کرده ولی روش خاصی رو نگفته . میخوام بدونم روشی هست که بشه یه همه ماتریس ها اعمال کرد ؟؟؟

با تشکر .

[davy jones]

سلام

کسی نبود یکی از اینا رو حل کنه؟

سلام دوست گرامی!

شاید سوالات شما رو خیلی از کاربران بیان (از جمله شاید خودم) و بتونن راهنماییتون کنن که خودتون حل کنید. اما بعد از مهلت تحویل دادن اون! اینجا محل حل تمارین و تکالیف دانشگاهی نیست. اینجا محل یادگیری و رفع اشکال درسی است.

بعد از تاریخ 20 ام اگه هنوز هم تمایل داشتین که جوابهاش رو بدونین، برای کسب راهنمایی از جانب سایر دوستان و ریاضیدانان گرامی، به اینجا یه سر بزنین.

امیدوارم از دست بنده ناراحت نشده باشین. متاسفانه خیلی ها در گذشته از کاربران فعال اینجا توقعاتی داشتند که اکثر کاربران فعال اینجا رو به این تصمیم رسوندند. مطمئن باشین که این رویه به نفع خود شما نیز هست.

===========================

با سلام .

اساتید من یه چند تا سوال دارم هر کدامش رو جواب یدید ممنون میشم . ( سه تا بیشتر نیست . همون جملات ابی رنگ )

========================================

1- یه ماتریس مقدماتی رو چه جوری باید تشخیص بدم ؟ اون سه تا عملیات سطری مقدماتی رو هم میدونم .

نگاه کنید مثلا توی کتاب این ها رو مثال زده :

توی کتاب گفته اولی ماتریس مقدماتی هست ولی دومی نیست .

چرا اولی ماتریس مقدماتی هست ولی دومی نه ؟

2 - توی کتاب گفته که :

ماتریس m*n ای چون B را در نظر بگیرید .

B را تحویل شده سطری می نامیم اگر :

الف ) اولین درایه غیر صفر ( در صورت وجود ) هر سطر B برابر با 1 باشد .

ب ) همه درایه های ستونی از B که شامل اولین درایه غیر صفر سطری از B است برابر با صفر باشد .

من این مورد ب رو متوجه نمیشم منظورش چی هست ؟؟؟؟

========================================

در ادامه اومده تعریف ماتریس سطری پلکانی کرده و گفته :

ماتریس B را تحویل شده سطری پلکانی می نامیم اگر تحویل شده سطری باشد و در شرایط زیر هم صدق کند .

پ ) اولین درایه غیر صفر هر سطر از اولین درایه غیر صفر سطر بعدی یه ستون اول ( دست چپ ) نزدیک تر باشد .

ت ) بعد از سطری که همه درایه های آن صفرند ، سطر غیر صفری وجود نداشته باشد .

بعد اومده یه قضیه گفته که :

هر ماتریس m*n چون A با یک ماتریس تحویل شده سطری پلکانی هم ارز است .

========================================

حالا سوالم اینه روش خاصی برای تبدیل ماتریس به سطری پلکانی هست که بشه به همه ماتریس ها اعمال کرد ؟ توی کتاب همه اش با همین عملیات سطری مقدماتی تبدیل کرده ولی روش خاصی رو نگفته . میخوام بدونم روشی هست که بشه یه همه ماتریس ها اعمال کرد ؟؟؟

با تشکر .

سلام.

1- به نظرم ماتریس اولی که گذاشتین هم مقدماتی نیست چون میشه با عملیات سطری مقدماتی روی اون، درایه ی 3 رو هم تبدیل به صفر کرد. ماتریس مقدماتی به نظرم تعریفش این بود که بیشترین تعداد درایه های صفر رو بشه با اعمال سطری توش ایجاد کرد و دیگه بیشتر از اون نشه درایه ی صفر به وجود آورد. به ماتریس تحویل شده با حداکثر تعداد درایه های صفر، ماتریس مقذماتی میگفتن (البته شاید من دارم اشتباه میگم) با این تعریف، هر دو ماتریس سوال یک مقدماتی نیستند.

2- منظورش اینه که مثلا در سطر i ام، اولین درایه ی ناصفر در درایه j ام این سطر اگه وجود داشته باشه، ستون j ام ماتریس، به جز همون درایه ی ، دیگه همه ی درایه های اون ستون، صفر باشن.

3- روش خاص و کلاسیکی به نظرم نداره. ولی باید همیشه دقت کنین که اون سطر یا ستونی که بیشتر از همه توش صفر وجود داره رو اگه با ضریب دلخواه از بقیه ی سطرها و ستونها کم کنید، بهتره. چون صفرهای همون سطر یا ستون، حفظ میشن و هم اینکه دست خودتونه که کجا صفر ایجاد کنین.


موفق باشین.
90/12/18