اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**skyzare** · 10-02-2012, 21:58

با سلام ...

با تشکر از شما .....

=============

ببخشید اساتید میخواستم بدونم این معادلاتی که همه چیز صفر میشه رو چه جوری باید حل کرد ؟؟؟ الان این معادله رو نگاه کنید .
من 3z- رو بر حسب x و y به دست اوردم که بتونیم به دو معادله تبدیل کنم اما بعد همه چیز صفر شده باید چی کار کنم ؟؟؟

$\\x-y=-2\\\\\\ 2x-3z=-1\\\\\\ 2y-3z=3$

========================================

$\\-3z=-1-2x\: \: \rightarrow \: \: 2y-1-2x=3\: \: \rightarrow -x+y=2\\\\ x-y=-2\\\\ -x+y=2$

========================================

و این که میشه این معادله رو به یک معادله سه مجهولی تبدیل کنیم ، مثل : 2x+3y+z=5

آیا امکان پذیره ؟؟؟

**davy jones** · 10-02-2012, 23:33

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

با تشکر از شما .....

=============

ببخشید اساتید میخواستم بدونم این معادلاتی که همه چیز صفر میشه رو چه جوری باید حل کرد ؟؟؟ الان این معادله رو نگاه کنید .
من 3z- رو بر حسب x و y به دست اوردم که بتونیم به دو معادله تبدیل کنم اما بعد همه چیز صفر شده باید چی کار کنم ؟؟؟

$\\x-y=-2\\\\\\ 2x-3z=-1\\\\\\ 2y-3z=3$

========================================

$\\-3z=-1-2x\: \: \rightarrow \: \: 2y-1-2x=3\: \: \rightarrow -x+y=2\\\\ x-y=-2\\\\ -x+y=2$

========================================

و این که میشه این معادله رو به یک معادله سه مجهولی تبدیل کنیم ، مثل : 2x+3y+z=5

آیا امکان پذیره ؟؟؟

سلام

در دستگاه معادلات خطی داریم:

$\begin{Bmatrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_{1}\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_{2}\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_{3} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{bmatrix}$

که اگر قرار داد کنیم:

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

به A ماتریس ضرایب دستگاه هم گفته میشه. دستگاه معادلات بالا تنها در صورتی در اعداد حقیقی دارای جواب یکتا خواهد بود که داشته باشیم:

$Det (A)= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\neq 0$

که این قضیه در مورد دستگاه های n معادله و n مجهولی هم در حالت کلی قابل تعمیم هستش.

حالا در مورد دستگاه معادلات شما داریم:

$\begin{Bmatrix} x-y=-2\\ 2x-3z=-1\\ 2y-3z=3 \end{Bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & -3 \end{bmatrix}\Rightarrow Det(A)=1\times (0-(-6))-(-1)\times (-6+0)+0\times (4-0)=6-6=0$

در نتیجه شرط لازم و کافی برای وجود جواب یکتا در این دستگاه معادلات وجود نداره.
از دید تجسمی که به این مساله نگاه کنیم، هر یک از معادلات این دستگاه در حقیقت معادله ی یک صفحه در فضای سه بعدی است و جواب دستگاه در حقیقت محل اشتراک این سه صفحه است. اگر دترمینان ضرایب صفر بشه در حقیقت بدان معناست که اشتراک این سه صفحه، یک نقطه را تشکیل میدهد. اما ممکن است سه صفحه در حالت کلی در فضای سه بعدی، فصل مشترکشان، یک خط و یا یک صفحه باشد و یا اصلا اشتراک نداشته باشند. همه ی این حالات رو وقتی بررسی کنیم خواهیم دید که دترمینان ضرایب دستگاه معادلات، صفر خواهد شد.

اما اینکه شما با کمی عملیات مقدماتی جبری به یک معادله ی دارای سه مجهول رسیده اید در حقیقت نشان میدهد که فصل اشتراک صفحات اولیه ی دستگاه معادلات، صفحه ی 2x+3y+x=5 خواهد بود. ممکن بود که به معادله ی یک خط برخورد کنید و یا اصلا نتوانید معادله ای برای آن بیابید و به تناقض برسید.

موفق باشین.
90/11/21

**ali_hp** · 11-02-2012, 02:16

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام محضر همه ی علاقه مندان و ریاضی دانان گرامی!

یک سوال نسبتا آسون مطرح میکنم. هر کس که بلد بود جوابش رو با اثبات کامل بذاره. اگه راهنمایی هم لازم بود در خدمتم. بعد از گذشت یک هفته اگه کسی جواب رو نذاشت، جواب رو خواهم گذاشت.

سوال: (سطح سوال: پیش دانشگاهی رشته ی ریاضی فیزیک)

الف) ثابت کنید که یک عدد طبیعی بر 9 بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن بر 9 بخشپذیر باشد.
ب) با توجه به راه حل اثبات قضیه ی بالا، قضیه ای برای بخش پذیری بر 11 پیدا کنید.

موفق باشین
90/11/21

سلام
شايد ادامه دادن مساله هم جالب باشه ، ايا قاعده هاي مشابهي براي بقيه اعداد نيز وجود دارد؟ مثلا قاعده اي براي بخش پذيري بر هفت؟ يا سيزده؟ يا حتي هر عدد دلخواه ؟
البته منظور از قاعده مشابه دقيقا معلوم نيست كه چيه ، شايد يه قاعده اي كه يازده و نه حالت خاصش باشن و جذاب تر از بقيه حالتها باشن .

**davy jones** · 11-02-2012, 15:42

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
شايد ادامه دادن مساله هم جالب باشه ، ايا قاعده هاي مشابهي براي بقيه اعداد نيز وجود دارد؟ مثلا قاعده اي براي بخش پذيري بر هفت؟ يا سيزده؟ يا حتي هر عدد دلخواه ؟
البته منظور از قاعده مشابه دقيقا معلوم نيست كه چيه ، شايد يه قاعده اي كه يازده و نه حالت خاصش باشن و جذاب تر از بقيه حالتها باشن .

سلام.

درسته. ادامه دادن و کشف قواعد بخشپذیری بر اعداد اول معروف و پر کاربرد یکی از جالبترین بخش نظریه ی اعداده. چند تا از قواعد مربوط به تقسیم پذیری بر 7، 13، 37 رو محاسبه کردم. بفرمایین:

$1001=7\times 143\Rightarrow 1000\overset{7}{\equiv }-1\Rightarrow \overline{a_{n}...a_{3}a_{2}a_{1}}\overset{7}{\equiv }\overline{a_{3}a_{2}a_{1}}-\overline{a_{6}a_{5}a_{4}}+\overline{a_{9}a_{8}a_{7}}-...$

$1001=13\times 77\Rightarrow 1000\overset{13}{\equiv }-1\Rightarrow \overline{a_{n}...a_{3}a_{2}a_{1}}\overset{13}{\equiv }\overline{a_{3}a_{2}a_{1}}-\overline{a_{6}a_{5}a_{4}}+\overline{a_{9}a_{8}a_{7}}-...$

$999=37\times 27\Rightarrow 1000\overset{37}{\equiv }1\Rightarrow \overline{a_{n}...a_{3}a_{2}a_{1}}\overset{37}{\equiv }\overline{a_{3}a_{2}a_{1}}+\overline{a_{6}a_{5}a_{4}}+\overline{a_{9}a_{8}a_{7}}+...$

نکته ی مهم و تکراری در همه ی این حالات پیدا کردن مضربی از عدد اول هستش که یک واحد با توانهای مختلف 10 فاصله داشته باشد.

موفق باشین.
90/11/22

**skyzare** · 11-02-2012, 22:40

با سلام ....
ببخشید اساتید میشه به راهنمایی کنید دنباله های بازگشتی رو بخوایم همگرایی اش رو پیدا کنیم چه جوری هست ؟؟؟؟ اخه نمیشه دقیقا جمله عمومی رو به دست اورد که بخوام حد در بی نهایت ازش بگیرم .

مثلا یه نمونه دنباله بازگشتی :

$a_1=\sqrt{2}\: \: \: \: \: \: \: a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n}$

=======================================

یه چیز دیگه من الان تقریبا دو روز هست که سایت ولفرام برام باز نمیشه ...

شما هم این مشکل رو دارید ؟

**amir_rahmani** · 11-02-2012, 22:50

توی دنباله های بازگشتی تا اونجایی که بنده اطلاع دارم باید تعدادی از جملات را نوشت و بعد دید به چه عددی همگرا می شن(اگر همگرا باشه) سپس حدس می زنیم که به اون عدد همگرا میشه بر اساس یک فرمولی که الان من حضور ذهن ندارم مسئله را میشه حل کرد. فرمول را پیدا کردم همین پست را ادیت می کنم. ولی تا این اندازه می دونم که باید همگرایی را تا حدودی با نوشتن جملات یافت

**davy jones** · 12-02-2012, 01:51

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ....
ببخشید اساتید میشه به راهنمایی کنید دنباله های بازگشتی رو بخوایم همگرایی اش رو پیدا کنیم چه جوری هست ؟؟؟؟ اخه نمیشه دقیقا جمله عمومی رو به دست اورد که بخوام حد در بی نهایت ازش بگیرم .

مثلا یه نمونه دنباله بازگشتی :

$a_1=\sqrt{2}\: \: \: \: \: \: \: a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n}$

=======================================

یه چیز دیگه من الان تقریبا دو روز هست که سایت ولفرام برام باز نمیشه ...

شما هم این مشکل رو دارید ؟

سلام.

پیدا کردن حد دنباله های بازگشتی روش کلاسیک و تعریف شده ی آنچنانی نداره و باید بر طبق شرایط هر مساله جلو رفت. مثلا در مثال شما داریم:

$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^{.}}}}}=x\Rightarrow \sqrt{2}^{x}=x\Rightarrow {\color{Blue} \frac{x}{2}\ln 2-\ln x=0}$

همونطور که میبینین، جمله ی عمومی به خاطر حالت تکرار شونده (به اصطلاح خودمانی تر حالت فراکتال گونه) ای که دارد، میتوان از تناوب دوم به بعدش را معادل خودش در نظر گرفت. (چون دنباله نامتناهی است اشکال ندارد وگرنه نمیشد).
کافیست در اینجا ریشه ی معادله ی آبی رنگ رو تقریب بزنیم (حالا به هر روشی. راهنمایی: بهترین روش به نظرم روش نیوتون خواهد بود)

بقیه ی مراحل رو هم به عهده ی خودتون میذارم.

والفرام برای بنده هم باز نشد.

نمیدونم چرا

موفق باشین.
90/11/23

**ali_hp** · 12-02-2012, 03:35

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ....
ببخشید اساتید میشه به راهنمایی کنید دنباله های بازگشتی رو بخوایم همگرایی اش رو پیدا کنیم چه جوری هست ؟؟؟؟ اخه نمیشه دقیقا جمله عمومی رو به دست اورد که بخوام حد در بی نهایت ازش بگیرم .

مثلا یه نمونه دنباله بازگشتی :

$a_1=\sqrt{2}\: \: \: \: \: \: \: a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n}$

=======================================

یه چیز دیگه من الان تقریبا دو روز هست که سایت ولفرام برام باز نمیشه ...

شما هم این مشکل رو دارید ؟

سلام
همونطور که davy jones عزیز گفتن ، باید بر طبق شرایط مساله رفت جلو.اما نکات و روشهایی هم هست که می تونه توی دسته ای از مسائل مفید باشه.
یک دنباله بازگشتی که به صورت زیر تعریف شده در نظر بگیرید:

$a_1=c\\ a_{n+1}=f(a_n)$

که در ان f تابعی پیوسته است.(یا حد اقل در مجموعه خوبی شامل اعضای دنباله ما پیوسته است)
البته همه نکاتی که گفته میشه برای حالتی رابطه بازگشتیمون به جای اینکه بر حسب یک جمله قبل باشه ، بر حسب k جمله قبل باشه نیز برقراره.برای سادگی ما این حالتو میگیم فقط.
1) اگر دنباله همگرا باشه و حدش برابر L باشه ، داریم:

$L=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(L)$
پس در صورت همگرایی می دانیم که حدش یکی از ریشه های معادله f(L)=L است.
(این همون ایده ی حالت تکرار شونده هست که davy jones عزیز گفتن.)

2)هر دنباله یکنوا و کراندار حد دارد.پس اگه بتونیم ثابت کنیم یکنوا و کرانداره شاید مفید باشه!البته ممکنه دنباله با صرف نظر کردن از چند تا جمله اولش ، بقیش یکنوا باشه ، که اینجوریم خوبه!(کلا تعداد متناهی جمله اول یک دنباله یا سری تاثیری در همگرایی ندارن)

برای بررسی کرانداری و همگرایی هم دو تا ایده خیلی وقتا کار میکنه:
یک.استقرا!(که بعضی وقتا با توجه به رابطه بازگشتیمون خیلی هم سادست!)
دو.اگر f مشتق پذیر هم باشه صعودی بودن دنباله رو میشه از صعودی بودن تابع f(x)-x روی جاهای مناسب!نتیجه گرفت.(واضحه!)و همچنین نزولی بودن دنباله رو... پس اگه بتونیم با ابزارهای مشتق!صعودی یا نزولی بودن f(x)-x ثابت کنیم، این هم خوبه!

حال در مورد مساله ای که شما گفتی:
با استقرا ثابت کنید صعودیه ، باز با استقرا ثابت کنید که جملات دنباله کوچکتر از 2 هستند.پس دنباله ای صعودی و از بالا کراندار داریم ، پس حدی مثل L دارد که این L ریشه معادله زیر است:

$L=\sqrt2^L$ .
خوب اگه بدونیم که این معادله فقط یک ریشه داره ، مساله حله دیگه!معمولا در این مرحله هم قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال و مشتق برای بدست اوردن تعداد ریشه های معادله و محدودشون مفیده...
ا اگه کمی به این معادله دقت کنید و حدس بزنید ، 2 و 4 ریشه های این معادله هستند....ولی این معادله ریشه دیگری ندارد ، چون در اینجا مشتق تابع f(x)-x یک ریشه دارد( طبق نتیجه ای از قضیه رول می دانیم اگر g(x)=0 سه جواب داشته باشد ، g'(x)=0 حداقل دو جواب دارد.)
پس حد دنباله یا باید 2 باشه یا 4 ، که چون جملات همه کمتر از 2 هستن ، 4 نمیتونه باشه ، و بنابر این میشه 2.

یک ایده مفیده دیگه که در قضایایی از انالیز عددی هم استفاده میشه اینه که اگه نقطه ای از دنباله در فاصله خوبی(به مقدار کافی نزدیک!) از ریشه ای از f(x)=x قرار بگیره و شرایط مناسبی روی مشتق تابع در اون محدوده وجود داشته باشیم(مشتقش به مقدار کافی نزدیک یک باشه!) با قضیه مقدار میانگین میشه ثابت کرد دنباله همگرا ست.

**ali_hp** · 12-02-2012, 04:23

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

درسته. ادامه دادن و کشف قواعد بخشپذیری بر اعداد اول معروف و پر کاربرد یکی از جالبترین بخش نظریه ی اعداده. چند تا از قواعد مربوط به تقسیم پذیری بر 7، 13، 37 رو محاسبه کردم. بفرمایین:

$1001=7\times 143\Rightarrow 1000\overset{7}{\equiv }-1\Rightarrow \overline{a_{n}...a_{3}a_{2}a_{1}}\overset{7}{\equiv }\overline{a_{3}a_{2}a_{1}}-\overline{a_{6}a_{5}a_{4}}+\overline{a_{9}a_{8}a_{7}}-...$

$1001=13\times 77\Rightarrow 1000\overset{13}{\equiv }-1\Rightarrow \overline{a_{n}...a_{3}a_{2}a_{1}}\overset{13}{\equiv }\overline{a_{3}a_{2}a_{1}}-\overline{a_{6}a_{5}a_{4}}+\overline{a_{9}a_{8}a_{7}}-...$

$999=37\times 27\Rightarrow 1000\overset{37}{\equiv }1\Rightarrow \overline{a_{n}...a_{3}a_{2}a_{1}}\overset{37}{\equiv }\overline{a_{3}a_{2}a_{1}}+\overline{a_{6}a_{5}a_{4}}+\overline{a_{9}a_{8}a_{7}}+...$

نکته ی مهم و تکراری در همه ی این حالات پیدا کردن مضربی از عدد اول هستش که یک واحد با توانهای مختلف 10 فاصله داشته باشد.

موفق باشین.
90/11/22

واقعا ایده جالبیه!
و خوشبختانه این توانی از ده که شما میگی تقریبا برای همه اعداد وجود داره.به عبارت دقیقتر:

قضیه:اگر m عددی باشد که نسبت به 10 اول است. انگاه توانی از ده وجود دارد که باقیمانده اش بر m یک باشد.
قضیه بالا نتیجه ای از قضیه اویلر(تابع phi اویلر) هست.طبق قضیه اویلر داریم:

$10^{\phi(m)}\equiv1 \mod10$

که البته مستقیما هم با اصل لانه کبوتری می توان قضیه بالا را ثابت کرد.

اون اعداد سه رقمی رو هم میشه به طور خوبی با عبارتهای کوچکتری جایگزین کرد... و اگه اینکارو کنیم برای هر m نسبت به 10اول ، قاعده ای بدست میاد که طبق اون محاسبه باقیمانده یک عدد n رقمی تبدیل میشه به n تا ضربه اعداد یک رقمی در اعداد کوچکتر از m/2 و جمع کردن نتیجه ها و پیدا کردن باقیمانده این حاصل جمع...

**skyzare** · 15-02-2012, 07:24

با سلام .

ببخشید بازه همگرایی و شعاع همگرایی این سری چه جوری هست روش رو میدونم ولی نمیدونم چه جوری باید ساده اش کنم ؟

$\sum_{n=0}^{\infty }(1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{n})x^n$

توی کتاب این جوری نوشته . اون 1/n ( قرمز رنگ ) رو نمیدوم چه جوری نوشته ؟

$\\\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+....+{\color{Red} \frac{1}{n}}+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{n}}\\\\\\ \\ =\lim _{n\rightarrow \infty }(\frac{1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{n}}+\frac{\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{n}})=1$

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

سوالی پیرامون حل دستگاه سه معادله و سه مجهول

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

بررسی همگرایی در دنباله های بازگشتی

این کاربر از amir_rahmani بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

4 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

4 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

4 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

باره همگرایی و شعاع همگرایی

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن