اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 06-02-2012, 02:15

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

خطا که نبود ..........در واقع هنگ میگرد .

مثلا همون انتگرال با این کران ها :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این هم با سری اش :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

به نظر من هنگ کردنش به خاطر استفاده ی بیش از حد دکمه ی spase از جانب شما در نوشتن فرمول سری هستش وگرنه والفرام تو حل عددی سری ها مشکلی نداره.

این [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رو ببینین (همون سری شماست که فاصله های اضافیش رو برداشتم)

موفق باشین.
90/11/18

**skyzare** · 07-02-2012, 00:23

با سلام ...

1-اساتید من این سری متناوب رو داخل ولفرام نوشتم :

این هم [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

چرا اون بالا ( کادر سبز ) نوشته مجموع همگرا نیست ولی پایین گفته با ازمون سری های متناوب ( لایب نیتز ) همگرا هست ؟

منظورش از اون جمله اول ( کادر سبز رنگ ) چی بوده ؟ البته من خودم هم نوشتمش همگرا بود .

==============================================

2-اگر داشته باشیم $f(x)=g(x)\times h(x)$ بخوایم سری مکلورن f رو به دست بیاریم میتونیم سری مکلورن g و h رو به دست اورد و بعد در هم ضرب کرد که سری مکلورن f رو دست بیاریم ؟

==============================================

3-چرا وقتی میخوایم از یه سری مشتق بگیریم اگه شروع سری از صفر باشه بعد از عمل مشتق گیری شروعش میشه از یک ....... توی کتاب این جوری نوشته :

قبل از عمل مشتق گیری این جوری نوشته :

$\sum_{n=0}^{\infty }a_n x^n$

بعد از عمل مشتق گیری این جوری شده : ( شروعش از صفر به یک شده )

$\sum_{n=1}^{\infty }n\: \: a_n x^{n-1}$

**davy jones** · 09-02-2012, 01:11

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

1-اساتید من این سری متناوب رو داخل ولفرام نوشتم :

این هم [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

چرا اون بالا ( کادر سبز ) نوشته مجموع همگرا نیست ولی پایین گفته با ازمون سری های متناوب ( لایب نیتز ) همگرا هست ؟

منظورش از اون جمله اول ( کادر سبز رنگ ) چی بوده ؟ البته من خودم هم نوشتمش همگرا بود .

==============================================

2-اگر داشته باشیم $f(x)=g(x)\times h(x)$ بخوایم سری مکلورن f رو به دست بیاریم میتونیم سری مکلورن g و h رو به دست اورد و بعد در هم ضرب کرد که سری مکلورن f رو دست بیاریم ؟

==============================================

3-چرا وقتی میخوایم از یه سری مشتق بگیریم اگه شروع سری از صفر باشه بعد از عمل مشتق گیری شروعش میشه از یک ....... توی کتاب این جوری نوشته :

قبل از عمل مشتق گیری این جوری نوشته :

$\sum_{n=0}^{\infty }a_n x^n$

بعد از عمل مشتق گیری این جوری شده : ( شروعش از صفر به یک شده )

$\sum_{n=1}^{\infty }n\: \: a_n x^{n-1}$

سلام.

1- به نظرم کادر سبز رنگ رو بدون در نظر گرفتن آلترناتیو بودن جملات سری نوشته و بعد اومده گفته که با آزمون لایپنیتز همگرا میشه. البته در حقیقت دارم توجیه میکنم و واقعیتش اینه که نمیدونم چرا این کار رو کرده. میتونین در پایین صفحه اونجایی که گفته فیدبک خودتون رو از جوابی که دادم بگین براش اشتباهش رو بنویسین و ارسال کنین.

2- بله میشه. به شرطی که قواعد ضرب دو سری در هم رو رعایت کنین:

$(\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}) (\sum_{n=0}^{\infty } b_{n})=\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

3- شما شروعش رو از صفر هم که بگیرین تفاوتی نمیکنه چون ضریب n در سری مربوط به مشتق به ازای n=0 کل عبارت رو صفر میکنه.

موفق باشین.
90/11/20

**skyzare** · 09-02-2012, 08:18

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

1- به نظرم کادر سبز رنگ رو بدون در نظر گرفتن آلترناتیو بودن جملات سری نوشته و بعد اومده گفته که با آزمون لایپنیتز همگرا میشه. البته در حقیقت دارم توجیه میکنم و واقعیتش اینه که نمیدونم چرا این کار رو کرده. میتونین در پایین صفحه اونجایی که گفته فیدبک خودتون رو از جوابی که دادم بگین براش اشتباهش رو بنویسین و ارسال کنین.

2- بله میشه. به شرطی که قواعد ضرب دو سری در هم رو رعایت کنین:

$(\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}) (\sum_{n=0}^{\infty } b_{n})=\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

3- شما شروعش رو از صفر هم که بگیرین تفاوتی نمیکنه چون ضریب n در سری مربوط به مشتق به ازای n=0 کل عبارت رو صفر میکنه.

موفق باشین.
90/11/20

با سلام ..

با تشکر از پاسخ شما .

2-ببخشید من درست متوجه نشدم

این قواعد ضرب در سریهایی چی بود ؟ الان این i که شروع سری دوم گذاشتید چی هست ؟

3- اره حق باشماست

پس به طور کلی طبق متن کتاب این جوری میشه :

اگر r شعاع همگرایی سری توان $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n\: \: x^n$ و K عددی طبیعی باشد ، انگاه مشتق K ام تابع f در هر نقطه $x \: \epsilon (\: \: -r\: \: ,\: \: r\: \: )$ در رابطه زیر صدق میکند :

$f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^{\infty }n(n-1).......(n-k+1)\: \: a_n\: \: x^{n-k}$

به علاوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست برابر با r است .

**davy jones** · 09-02-2012, 13:33

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ..

2-ببخشید من درست متوجه نشدم

این قواعد ضرب در سریهایی چی بود ؟ الان این i که شروع سری دوم گذاشتید چی هست ؟

سلام.

منظور اینه که در ضرب دو سری، همه ی جملات سری اول در همه ی جملات سری دوم ضرب بشه و اشتباها به این صورت در نظر گفته نشه (که بنده با علامت نامساوی نشون میدم):

$(\sum_{n=0}^{\infty }a_{n})(\sum_{n=0}^{\infty }b_{n})\neq \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\neq \sum_{n=0}^{\infty }\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\neq (\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n})^{2}$

برای مطالعه ی بیشتر در این زمینه به لینک زیر مراجعه کنین:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
90/11/20

**davy jones** · 10-02-2012, 00:11

با سلام محضر همه ی علاقه مندان و ریاضی دانان گرامی!

یک سوال نسبتا آسون مطرح میکنم. هر کس که بلد بود جوابش رو با اثبات کامل بذاره. اگه راهنمایی هم لازم بود در خدمتم. بعد از گذشت یک هفته اگه کسی جواب رو نذاشت، جواب رو خواهم گذاشت.

سوال: (سطح سوال: پیش دانشگاهی رشته ی ریاضی فیزیک)

الف) ثابت کنید که یک عدد طبیعی بر 9 بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن بر 9 بخشپذیر باشد.
ب) با توجه به راه حل اثبات قضیه ی بالا، قضیه ای برای بخش پذیری بر 11 پیدا کنید.

موفق باشین
90/11/21

**skyzare** · 10-02-2012, 09:27

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام محضر همه ی علاقه مندان و ریاضی دانان گرامی!

یک سوال نسبتا آسون مطرح میکنم. هر کس که بلد بود جوابش رو با اثبات کامل بذاره. اگه راهنمایی هم لازم بود در خدمتم. بعد از گذشت یک هفته اگه کسی جواب رو نذاشت، جواب رو خواهم گذاشت.

سوال: (سطح سوال: پیش دانشگاهی رشته ی ریاضی فیزیک)

الف) ثابت کنید که یک عدد طبیعی بر 9 بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن بر 9 بخشپذیر باشد.
ب) با توجه به راه حل اثبات قضیه ی بالا، قضیه ای برای بخش پذیری بر 11 پیدا کنید.

موفق باشین
90/11/21

با سلام ....

من یه سرچی زدم بخش پذیری بر 9 رو متوجه شدم . البته خیلی تخصصی بلد نیستم

فرض کنیم عدد به صروت abcd داریم که میشه این جوری نوشت :

$\\abcd=(a\times 10^3)+(b\times 10^2)+(c\times 10)+d\\\\\\ =a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\\\\\ ={\color{Blue} 9(111a+11b+c)}+{\color{Red} (a+b+c+d)}$

خوب حالا اون قسمت ابی رنگ که بر9 بخش پذیر هست . حالا اگه او قسمت قرمز رنگ هم بر 9 بخش پذیر باشه یعنی عدد abcd بر9 بخش پذیر هست . چون هرگاه چند عدد بر n بخشپذیر باشن مجموعشون هم بر n بخشپذیره مجموع این اعداد هم بر 9 بخشپذیره...

**davy jones** · 10-02-2012, 12:42

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ....

من یه سرچی زدم بخش پذیری بر 9 رو متوجه شدم . البته خیلی تخصصی بلد نیستم

فرض کنیم عدد به صروت abcd داریم که میشه این جوری نوشت :

$\\abcd=(a\times 10^3)+(b\times 10^2)+(c\times 10)+d\\\\\\ =a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\\\\\ ={\color{Blue} 9(111a+11b+c)}+{\color{Red} (a+b+c+d)}$

خوب حالا اون قسمت ابی رنگ که بر9 بخش پذیر هست . حالا اگه او قسمت قرمز رنگ هم بر 9 بخش پذیر باشه یعنی عدد abcd بر9 بخش پذیر هست . چون هرگاه چند عدد بر n بخشپذیر باشن مجموعشون هم بر n بخشپذیره مجموع این اعداد هم بر 9 بخشپذیره...

سلام.
ممنون از پاسختون.
قسمت ب سوال چی؟
در مورد بخشپذیری بر 11 چه نتیجه ای میگیرید؟

موفق باشین.
90/11/21

**skyzare** · 10-02-2012, 14:16

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.
ممنون از پاسختون.
قسمت ب سوال چی؟
در مورد بخشپذیری بر 11 چه نتیجه ای میگیرید؟
موفق باشین.
90/11/21

با سلام ....

خواهش میکنم . خودم که بلد نبودم

توی نت دیدم .

حالا برای بخش پذیری بر 11 هم یه جایی این جوری گفته بود که اگر جمع و تفاضل یکی در میان ازقام عدد مورد نظر بر 11 بخش پذیر بود آن عدد بر 11 بخش پذیر است . یعنی :
فرض کنیم عدد abcd رو داریم :

$\\abcd=(a\times 10^3)+(b\times 10^2)+(c\times 10)+d=1001a-a+99b+b+11c-c+d\\\\\\ =(1001a+99b+11c)-(a-b+c-d)={\color{Blue} 11(91a+9b+c)}-{\color{Red} (a-b+c-d)}$

خوب حالا اون قسمت ابی رنگ که بر11 بخش پذیر هست . حالا اگه او قسمت قرمز رنگ هم بر11 بخش پذیر باشه یعنی عدد abcd بر11 بخش پذیر هست . چون هرگاه چند عدد بر n بخشپذیر باشن تفاضلشون هم بر n بخشپذیره تفاضل این اعداد(قرمز و ابی ) هم بر 11 بخشپذیره...
حالا اگه میخواید شما توضیحات کامل تر رو بفرمایید .

===========================================

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

**davy jones** · 10-02-2012, 16:50

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام محضر همه ی علاقه مندان و ریاضی دانان گرامی!

یک سوال نسبتا آسون مطرح میکنم. هر کس که بلد بود جوابش رو با اثبات کامل بذاره. اگه راهنمایی هم لازم بود در خدمتم. بعد از گذشت یک هفته اگه کسی جواب رو نذاشت، جواب رو خواهم گذاشت.

سوال: (سطح سوال: پیش دانشگاهی رشته ی ریاضی فیزیک)

الف) ثابت کنید که یک عدد طبیعی بر 9 بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن بر 9 بخشپذیر باشد.
ب) با توجه به راه حل اثبات قضیه ی بالا، قضیه ای برای بخش پذیری بر 11 پیدا کنید.

موفق باشین
90/11/21

سلام.

با تشکر از جناب skyzare که وقت گذاشتند.

در مبحث نظریه ی اعداد کتاب ریاضیات گسسته ی پیشدانشگاهی در مورد باقیمانده ی تقسیم اعداد صحیح بر اعداد طبیعی، مفصل بحث و بررسی شده است. تعریف مفهوم هم نهشتی و هم باقیماندگی و ... اگر مساله رو از اون دیدگاه بهش نگاه کنیم، قابل فهم تر و ساده تر است و نتایج جامع تری بدست می آید.

در هم نهشتی بین دو عدد داریم:

$if \; (a\; \overset{m}{\equiv}\; b) \Rightarrow\; \; \forall n\in \mathbb{N}\; \; \; :\; \; a^{n}\; \overset{m}{\equiv}\; b^{n}$

رابطه ی بالا به سادگی قابل اثبات است اما به دلیل پراکنده شدن بحث، از اثبات آن خودداری میکنم.

حال اگر داشته باشیم a=10 و m=9 داریم:

$10\; \overset{9}{\equiv}\; b \; \; \; \Rightarrow\; \; \; b=1\; \; \Rightarrow \; \; \forall n\in \mathbb{N}\; \; \; :\; \; 10^{n}\; \overset{9}{\equiv}\; 1^{n}=1$

و این یعنی باقیمانده ی تقسیم هر توان دلخواه از عدد 10 تقسیم بر 9، برابر با 1 است.
در قضیه ی ساده ی دیگری در هم نهشتی داریم:

$if \; \; \; a\overset{m}{\equiv }b\; \; \rightarrow \forall c\in \mathbb{Z}\; \; :\; \; ca\overset{m}{\equiv }cb$

یعنی اگر یک عدد صحیح در دو طرف همنهشتی ضرب شود، هم نهشتی باز هم به همان پیمانه پابرجا خواهد بود.

حال عدد دلخواه $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}$ را درنظر بگیرید (منظور از خطی که بالای ارقام کشیده شده آن است که اینها یک عدد n+1 رقمی را تشکیل میدهند و به صورت حاصلضرب n+1 مجهول نیستند) که در آن $a_{n}$ یکان عدد است. داریم:

$\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}\; \overset{9}{\equiv }\; a_{n}+10a_{n-1}+10^{2}a_{n-2}+...+10^{n}a_{0}\; \overset{9}{\equiv }\; a_{n}+(1)a_{n-1}+(1)a_{n-2}+...+(1)a_{0}\; \overset{9}{\equiv }\;a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{2}+a_{1}+a_{0}$

بنابراین نشان داده شد که عدد $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}$ با مجموع ارقام خودش به پیمانه ی 9 هم نهشت است و این یعنی اگر $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}$ بر 9 بخشپذیر باشد، مجموع ارقام خودش هم بر 9 بخشپذیر اند و بالعکس. یعنی اگر مجموع ارقام عددی بر 9 بخشپذیر شود، ان عدد مطمئنا بر 9 بخشپذیر است. همچنین اگر عدد $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}$ بر 9 بخشپذیر نباشد، مجموع ارقام خودش هم بر 9 بخشپذیر نیستند و بالعکس. (مثلا اگر باقیمانده ی تقسیم $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}$ بر 9 برابر با 2 باشد، باقیمانده ی تقسیم مجموع ارقامش هم بر 9 برابر با 2 است)

حال با استفاده از همین روش در مورد هم نهشتی به پیمانه ی 11 داریم:

$10 \; \overset{11}{\equiv } \; -1\Rightarrow 10^{n}\; \overset{11}{\equiv } \;(-1)^{n}$

$\Rightarrow \overline{a_{0}a_{1}...a_{n-1}a_{n}}\; \overset{11}{\equiv }\; a_{n}+10^{1}a_{n-1}+...+10^{n-1}a_{1}+10^{n}a_{n}\; \overset{11}{\equiv }\;a_{n}+(-1)^{1}a_{n-1}+(-1)^{2}a_{n-2}+...+(-1)^{n-1}a_{1}+(-1)^{n}a_{0}\; \overset{11}{\equiv }\;a_{n}-a_{n-1}+a_{n-2}-...+(-1)^{n}a_{0}$

پس بنابراین نشان داده شد که هر عدد به پیمانه ی 11 با سری آلترناتیو رقمهای خودش (به طوری که یکان را با علامت مثبت در نظر بگیریم و رقمهای بعدی را یکی در میان مثبت و منفی کنیم و با هم جمع کنیم)، هم نهشت است. (یعنی هم باقیمانده است) پس اگر $\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n}}$ بر 11 بخشپذیر باشد، حتما عبارت $a_{n}-a_{n-1}+a_{n-2}-...+(-1)^{n}a_{0}$ هم بر 11 بخشپذیر است و بالعکس.

موفق باشین.
90/11/21

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

همگرایی سری های متناوب

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن