اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**skyzare** · 23-01-2012, 16:34

با سلام ...

اساتید میشه راهنمایی کنند این دو سوال رو چه جوری حل کنم .

1- معادله دایره ای را بنویسید که از سه نقطه $1-i\: \: \: \: \: \:,\: \: \: \: \: \: 2i\: \: \: \: \: \:,\: \: \: \: \: \: 1+i$ بگذرد

2-معادله زیر را حل کنید که در ان x عدد حقیقی است . ( خودم حل کردم ولی به نظرم اشتباه نوشتم .)

$(x+i)^n-(x-i)^n=0$

**hts1369** · 23-01-2012, 20:36

سلام بر دوستان عزیز
این انتگرال دوگانه رو اگه حل کنید خیلی ممنون میشم

**davy jones** · 23-01-2012, 22:28

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

اساتید میشه راهنمایی کنند این دو سوال رو چه جوری حل کنم .

1- معادله دایره ای را بنویسید که از سه نقطه $1-i\: \: \: \: \: \:,\: \: \: \: \: \: 2i\: \: \: \: \: \:,\: \: \: \: \: \: 1+i$ بگذرد

2-معادله زیر را حل کنید که در ان x عدد حقیقی است . ( خودم حل کردم ولی به نظرم اشتباه نوشتم .)

$(x+i)^n-(x-i)^n=0$

سلام.

1- در این مثال خاص واضحه که مرکز دایره روی نقطه ی i هستش و شعاع دایره هم برابر با یک واحد روی صفحه ی S-plane باید باشه. پس معادله ی دایره برابر میشه با:

$r=\left | Z \right |=\sqrt{(Re[Z])^{2}+(Im[Z])^{2}}=1\; \; ,\; \; \theta =\tan^{-1}(\frac{Im[Z]}{Re[Z]})\in \mathbb{R}$

ولی راه حل کلی پیدا کردن مرکز دایره ای که از سه نقطه ی داده شده عبور میکنه اینه که ابتدا باید مثلثی که 3 نقطه ی مورد نظر راسهای اون هستند رو بکشیم. سپس دایره ی مورد نظر در حقیقت دایره ی محاطی مثلث خواهد بود که مرکزش محل تلاقی عمود منصفهای مثلث میشه.

--------------------------

2-

$(x+i)^{n}-(x-i)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}i^{(n-k)}-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}(-i)^{(n-k)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}i^{(n-k)}+\sum_{k=0}^{n}(-1)^{(n-k+1)}\binom{n}{k}x^{k}(i)^{(n-k)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}(i)^{(n-k)}(1+(-1)^{(n-k+1)})={\color{Golden} 2[x^{n}-\binom{n}{2}x^{(n-2)}+\binom{n}{4}x^{(n-4)}-\binom{n}{6}x^{(n-6)}+...+i^{n}(1+(-1)^{n+1})]}$

نمیدونم میشه از این ساده تر کردش یا نه.

====================================

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بر دوستان عزیز
این انتگرال دوگانه رو اگه حل کنید خیلی ممنون میشم

سلام

در حل این انتگرال کافیه که بدونیم تابع $y=\ln (\cos (\tan^{-1}(x)))$ رو آیا میشه براش تابع اولیه پیدا کرد یا نه؟
برای این منظور ابتدا باید به این نکته دقت کنیم که:

$\cos (\tan^{-1}(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

(چرا؟)

سپس با استفاده از نکته ی بالا میشه y رو به این صورت نوشت:

$y=\ln (\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})=\frac{-1}{2}\ln (1+x^{2})$

در مورد تابع اولیه ی y به دست اومده هم کافیه که از جزء به جزء استفاده کنیم:

$\int \ln (1+x^{2})dx=x.\ln (1+x^{2})-\int \frac{x.2x}{1+x^{2}}dx={\color{DarkBlue} x.\ln (1+x^{2})-2\int (1-\frac{1}{1+x^{2}})dx}$

که حاصل نهایی هم دیگه واضح هستش و ادامه اش رو به عهده ی خودتون میذارم.
اما در کل میشه گفت که سوال به شدت خسته کننده و جون داری بود.

موفق باشین.
90/11/3

**hts1369** · 23-01-2012, 23:25

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

در حل این انتگرال کافیه که بدونیم تابع $y=\ln (\cos (\tan^{-1}(x)))$ رو آیا میشه براش تابع اولیه پیدا کرد یا نه؟
برای این منظور ابتدا باید به این نکته دقت کنیم که:

$\cos (\tan^{-1}(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

(چرا؟)

سپس با استفاده از نکته ی بالا میشه y رو به این صورت نوشت:

$y=\ln (\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})=\frac{-1}{2}\ln (1+x^{2})$

در مورد تابع اولیه ی y به دست اومده هم کافیه که از جزء به جزء استفاده کنیم:

$\int \ln (1+x^{2})dx=x.\ln (1+x^{2})-\int \frac{x.2x}{1+x^{2}}dx={\color{DarkBlue} x.\ln (1+x^{2})-2\int (1-\frac{1}{1+x^{2}})dx}$

که حاصل نهایی هم دیگه واضح هستش و ادامه اش رو به عهده ی خودتون میذارم.
اما در کل میشه گفت که سوال به شدت خسته کننده و جون داری بود.

موفق باشین.
90/11/3

دمت گرم داش حمید
من اگه میدونستم این انتگرال اینقدر قصه و حکایت داره نمیپرسیدمش
من اینو تو یه کتاب دیدم حلش هم اونجاست ولی اونجا با تعویض ترتیب انتگرال گیری خیلی راحت این سوال رو حل کرده ولی من اون رو هم خوب متوجه نشدم.
دم شما گرم.

**قاهر - Gahir** · 25-01-2012, 10:17

به نام خدا.
سلام بر دوستان گرامی ؛

سوال 1 :
نشان دهید که تابع زیر :

$\mathbf{u={\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{xf(z)}{x^{2}+(y-z)^{2}}dz}}$

در معادله‌ی :

$\mathbf{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0}$

صدق میکند.

سوال 2 :
جهتی را معین کنید که در آن جهت تغییرات تابع $\texttt{f(x,y)}$ در نقطه‌ی $\mathbf{P_{0}(x_{0},y_{0})}$ ثابت شود.

خواهشا اگه امکان داره یکم سریع بهم جواب بدین.

**hts1369** · 26-01-2012, 22:31

سلام بر دوستان
یه انتگرال دوگانه داشتم خودم حلش کردم و شکلش رو هم کشیدم میخواستم ببینم درسته (اگه درسته چرا وقتی دو تا انتگرال رو با برنامه های کامپیوتری (مثله Maple یا Mathematica 7 ) میزنم جواب نمیده؟؟؟
s1 برای انتگرال اول در خط اول و s2 محدوده ی انتگرال دوم در خط اول رو نشون میده

**lebesgue** · 28-01-2012, 19:36

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

اساتید میشه راهنمایی کنند این دو سوال رو چه جوری حل کنم .

1- معادله دایره ای را بنویسید که از سه نقطه $1-i\: \: \: \: \: \:,\: \: \: \: \: \: 2i\: \: \: \: \: \:,\: \: \: \: \: \: 1+i$ بگذرد

2-معادله زیر را حل کنید که در ان x عدد حقیقی است . ( خودم حل کردم ولی به نظرم اشتباه نوشتم .)

$(x+i)^n-(x-i)^n=0$

1. معادله دایره در صفحه مختلط، به صورت $\left | z-z_0 \right |=r$ بیان میشه که در اون $z_0$ مرکز و $r$ شعاع دایره هست. از اونجایی که دو نقطه ی مزدوج روی دایره وجود داره، میتونید نتیجه بگیرید که $z_0$ روی محور حقیقی هست و از اینجا به بعد مسئله خیلی ساده میشه.

2. به عنوان یک راهنمایی، معادله رو به صورت زیر بنویسید:

$\left (\frac{x+i}{x-i} \right )^n=1$

**lebesgue** · 28-01-2012, 19:46

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بر دوستان عزیز
این انتگرال دوگانه رو اگه حل کنید خیلی ممنون میشم

آیا میتونید ببینید که دو ناحیه انتگرال گیری زیر معادل هم هستند؟

$\\0<x<1,\: \tan^{-1}(x)<y<\frac{\pi}{4}\\\\ 0<y<\frac{\pi}{4},\: 0<x<\tan(y)$

---------- Post added at 07:44 PM ---------- Previous post was at 07:41 PM ----------

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بر دوستان
یه انتگرال دوگانه داشتم خودم حلش کردم و شکلش رو هم کشیدم میخواستم ببینم درسته (اگه درسته چرا وقتی دو تا انتگرال رو با برنامه های کامپیوتری (مثله Maple یا Mathematica 7 ) میزنم جواب نمیده؟؟؟

متمتیکای من نسخه 8.0 هست و همین جواب $1/\pi$ رو میده. البته باید دستور [%]Simplify یا [%]FullSimplify رو بدید تا جواب رو ساده کنه.

**hts1369** · 28-01-2012, 19:59

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آیا میتونید ببینید که دو ناحیه انتگرال گیری زیر معادل هم هستند؟

$\\0<x<1,\: \tan^{-1}(x)<y<\frac{\pi}{4}\\\\ 0<y<\frac{\pi}{4},\: 0<x<\tan(y)$

---------- Post added at 07:44 PM ---------- Previous post was at 07:41 PM ----------

متمتیکای من نسخه 8.0 هست و همین جواب $1/\pi$ رو میده. البته باید دستور [%]Simplify یا [%]FullSimplify رو بدید تا جواب رو ساده کنه.

در مورد سوال اول باید بگم که بله تونستم ببینم.
در مورد سوال دوم هم من هم با متمتیکای 7 و با استفاده از همون دستور Simplify تونستم جواب بگیرم.
دستت درد نکنه

**hts1369** · 29-01-2012, 18:41

سلام بر دوستان
میخواستم ببینم من این انتگرال رو درست حل کردم.

توی شکل مربوط به انتگرال که کشیدم یه جا رو با s نشون دادم و از اون به عنوان حدود انتگرال گیری استفاده کردم و یه قسمت رو که توی ربع سوم هست و با رنگ سیاه نشونش دادم رو حساب نکردم.میخوام ببینم باید اون ناحیه رو هم حساب کرد و اگه جواب مثبته میشه جواب اخر رو دو برابر کرد یا نه باید توی اون قسمت هم حدود انتگرال گیری رو بدست بیارم و انتگرال رو حساب کنم.
ممنون که وقت میزارید.

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن