اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 16-01-2012, 21:20

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ....

ببخشید میشه اساتید راهنمایی کنند که جواب عبارت زیر چی میشه ؟ من تا حدودی اش رو رفتم ولی بقیه اش رو نمیدونم

فقط میدونم باید بره توی فرم مثلثاتی تا راحت به توان برسه .

1-

$(1+cos(\alpha )+i\: \: sin(\alpha ) )^n$

دیگه نمیدونم .

سلام.

من هم از این راه رفتم:

$(1+\cos \alpha +i\sin \alpha )^{n}=(1+e^{i\alpha })^{n}=1+\binom{n}{1}e^{i\alpha }+\binom{n}{2}e^{2i\alpha }+...+\binom{n}{n}e^{ni\alpha }=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}e^{ki\alpha }=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos (k\alpha )+i\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sin (k\alpha )$

فکر نکنم که دیگه ساده تر از این بشه نوشت.
منم دیگه نمیدونم

--------------

برای قسمت دومش هم میتونیم اینجوری بنویسیم:

$\sum_{k=1}^{n}\sin (kx)=\frac{-i}{2}\sum_{k=1}^{n}[e^{ikx}-e^{-ikx}]=\frac{-i}{2}[\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}-\sum_{k=1}^{n}e^{-ikx}]={\color{DarkBlue} \frac{-i}{2}(\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}-\frac{1-e^{-i(n+1)x)}}{1-e^{-ix}})}$

که مطمئنا باز هم قابل ساده سازی است ولی حوصله اش دیگه نیست.

موفق باشین.
90/10/26

**قاهر - Gahir** · 18-01-2012, 14:26

سلام بر تمامی دانشمندان عزیز و ارجمند؛

خواهشا یکی به این سوال بنده جواب بده !

درستی این رابطه را اثبات کنید :

$\mathbf{\bigtriangledown \times (\bigtriangledown \times A )= \bigtriangledown (\bigtriangledown \cdot A)-\bigtriangledown ^2A}$

خواهشا یکم زود بهم جواب بدین؛ ممنون میشم.

بنا به تعریف کرل داریم :

$div A = \bigtriangledown \times A := det \begin{pmatrix} i & j & k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ a & b& c \end{pmatrix}$
$\left ( \frac{\partial }{\partial z}b \right - \frac{\partial }{\partial y}c)i+ \left ( \frac{\partial }{\partial z}a -\frac{\partial }{\partial x}c \right )j + \left ( \frac{\partial }{\partial y}c-\frac{\partial }{\partial z}b \right )k$

**lebesgue** · 18-01-2012, 14:52

با در نظر گرفتن عملگر

به صورت بردار

میتوانید گرادیان، دیورژانس و کرل را به ترتیب بر اساس ضرب اسکالر، ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها بدست آورید. در این صورت کافیست از اتحاد برداری زیر استفاده شود:

$A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$

**lebesgue** · 18-01-2012, 15:01

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ....

ببخشید میشه اساتید راهنمایی کنند که جواب عبارت زیر چی میشه ؟ من تا حدودی اش رو رفتم ولی بقیه اش رو نمیدونم

فقط میدونم باید بره توی فرم مثلثاتی تا راحت به توان برسه .

1-

$(1+cos(\alpha )+i\: \: sin(\alpha ) )^n$

===========================================

$\\(1+cos(\alpha )+i\: \: sin(\alpha ) )^n=\left [ (1+cos (\alpha ))+i\: \: sin(\alpha ) \right ]^n\\\\\\$

$\theta =tan^{-1}(\frac{sin(\alpha )}{1+cos(\alpha )})\\\\\\$

$\left | r \right |=\sqrt{1+cos^2(\alpha )+2cos(\alpha )+sin^2(\alpha )}=\sqrt{2(1+cos(\alpha ))}$

دیگه نمیدونم .

===========================================

2-

مجموع عبارت زیر چی میشه ؟

( فقط این مربوط به اعداد مختلط هست هر چی هست به همون مربوط میشه اما من ربطش رو نمیدونم

)

$sinx+sin2x+sin3x+sin4x+.....+sinnx=??$

===========================================

با تشکر .

1. میتوانید از اتحادهای مثلثاتی زیر استفاده کنید:

$\\\sin x=2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\\\\1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$

همچنین میشد اینگونه نوشت:

$\\1+\cos\alpha+i\sin\alpha=e^{i\alpha}+1\\\\ =2e^{i\alpha/2}\left (\frac{e^{i\alpha/2}+e^{-i\alpha/2}}{2} \right )\\\\ =2e^{i\alpha/2}\cos\frac{\alpha}{2}$

2. از سایت والفرام:

**قاهر - Gahir** · 19-01-2012, 20:25

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با در نظر گرفتن عملگر

به صورت بردار

میتوانید گرادیان، دیورژانس و کرل را به ترتیب بر اساس ضرب اسکالر، ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها بدست آورید. در این صورت کافیست از اتحاد برداری زیر استفاده شود:

$A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$

سلام بابت جوابتون ممنونم ... ولي منظورم اين بود كه به طور مستقيم صرفا از يكي از دو طرف تساوي با توجه به تعريف به طرف ديگه‌ي تساوي رسيد ...

$\mathbf{\bigtriangledown \times (\bigtriangledown \times A )= \bigtriangledown (\bigtriangledown \cdot A)-\bigtriangledown ^2A}$

فقط خواهشا اگه ميتونيد بنويسيد ... من خودم رفتم ولي نتونستم اون طرف ديگه رو نتيجه بگيرم ... (چرايي مسئله مهمه )

**قاهر - Gahir** · 19-01-2012, 23:03

آقا واقعا مرسي كه لطف كردين جواب داديد . من خودم به جواب مورد نظرم رسيدم : (يعني همون چرايي و اثبات اتحاد مذكور )

باتوجه به تذكر دوست گراميمون آقاي : 1233445566 ؛

و بنا به تعريف ضرب خارجي دو بردار ،‌اگر $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ ، $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ و $C=(c_{1},c_{2},c_{3})$ به ترتيب سه تا بردار دلخواه باشند : آنگاه براي مؤلفه‌ي $x$ (اول) حاصل‌ضرب $A\times (B\times C)$ داريم :

$a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})=b_{1}(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})-c_{1}(a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})$

با اضافه و كم كردن $a_{1}b_{1}c_{1}$ به طرف راست تساوي بالا داريم :

$b_{1}(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})-c_{1}(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})=b_{1}(A \cdot C)+c_{1}(A \cdot B)$

به همين ترتيب براي مؤلفه‌هاي $y$ (دوم) و $z$ (سوم) حاصل‌ضرب $A\times (B\times C)$ نيز به ترتيب خواهيم داشت :

$b_{2}(A \cdot C)+c_{2}(A \cdot B)$
و
$b_{3}(A \cdot C)+c_{3}(A \cdot B)$

سرانجام با جمع كردن اين مؤلفه‌ها خواهيم داشت :

$B(A\cdot C)-C(A\cdot B)=A\times (B\times C)$

و چون عملگر

نيز خود يك بردار است ، اگر $A$ ‌يك بردار دلخواه باشد آنگاه همانند اثبات فوق براي حاصل‌ضرب سه‌تايي خارجي زير نيز خواهيم داشت‌:

$\mathbf{\bigtriangledown \times (\bigtriangledown \times A )= \bigtriangledown (\bigtriangledown \cdot A)-\bigtriangledown ^2A}$

و اين يعني همان چيزي كه برقرار است.

باتشكر از شما :‌
قاهر - 29/10/1390

**lebesgue** · 20-01-2012, 00:06

نوشته شده توسط قاهر - Gahir [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

و چون عملگر

نيز خود يك بردار است ، اگر $A$ ‌يك بردار دلخواه باشد آنگاه همانند اثبات فوق براي حاصل‌ضرب سه‌تايي خارجي زير نيز خواهيم داشت‌:

$\mathbf{\bigtriangledown \times (\bigtriangledown \times A )= \bigtriangledown (\bigtriangledown \cdot A)-\bigtriangledown ^2A}$

و اين يعني همان چيزي كه برقرار است.

باتشكر از شما :‌
قاهر - 29/10/1390

فقط توجه کنید که A یک میدان برداری است و اصلاً کرل برای یک بردار تنها تعریف نمی شود. (مشابه آنکه مشتق برای یک تابع تعریف می شود و نه یک نقطه تنها.)

***M!L4D*** · 20-01-2012, 12:45

سلام دوستان یه سوال !

ممنون میشم اگه تشریحی حلش کنید

**davy jones** · 20-01-2012, 14:12

نوشته شده توسط *M!L4D* [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوستان یه سوال !

ممنون میشم اگه تشریحی حلش کنید

سلام میلاد خان!
چه خبرا؟ از این ورا؟

بفرمایین:

$\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\frac{\cos x}{\cos x}\times \frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{{\color{Red} 1}+\tan x}{1-\tan x\times {\color{Red} 1}}=\frac{{\color{Red} \tan \frac{\pi }{4}}+\tan x}{1-\tan x\times \color{Red} \tan \frac{\pi }{4}}{\color{Golden} =\mathbf{\tan (x+\frac{\pi }{4})}}$

هر جاش رو که متوجه نشدین بپرسین.

موفق باشین.
90/10/30

***M!L4D*** · 20-01-2012, 14:24

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام میلاد خان!
چه خبرا؟ از این ورا؟

بفرمایین:

$\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\frac{\cos x}{\cos x}\times \frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{{\color{Red} 1}+\tan x}{1-\tan x\times {\color{Red} 1}}=\frac{{\color{Red} \tan \frac{\pi }{4}}+\tan x}{1-\tan x\times \color{Red} \tan \frac{\pi }{4}}{\color{Golden} =\mathbf{\tan (x+\frac{\pi }{4})}}$

هر جاش رو که متوجه نشدین بپرسین.

موفق باشین.
90/10/30

سلام حمید جان . چطوری ؟!
سلامتی .
هیچی بابا مثلثات بدبختمون کرد

ممنون بابت حل کردن سوال

! توضیحات هم واضح بود

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از قاهر - Gahir بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن