اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 13-01-2012, 20:36

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرمولش اینه :
$\int \sqrt[2 ]{1+F(X)^ 2} dx$
البته مشتق FX

سئوال 7 رو میشه تا یه جایی ببرید ...راسش گیج شدم !
اینه فرمولش
$\int 2Py\sqrt[]{1+(fx)^ 2}dx$
هم این هم طول خم بازشون از a تا b
همینطور مشتق fx
p همون عدد پی

ابتدا دو خم رو با هم برخورد میدیم:

$5y^{3}+y^{2}-6=0\Rightarrow (y-1)(5y^{2}+6y+6)=0\Rightarrow y=1$

سایر ریشه های پرانتز دوم موهومی هستش.

در نتیجه: $x^{2}+1=6\Rightarrow x_{0,1}=\pm \sqrt{5}$

از طرفی باید مشتق f رو حساب کنیم:

$y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{5}}\Rightarrow {y}'=\frac{2x}{15\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{25}}}$

در نتیجه طول خم مورد نظر در بازه ی اشاره شده برابر با جواب این انتگرال میشه:

$L=\int_{-\sqrt{5}}^{+\sqrt{5}}\sqrt{1+(\frac{2x}{15\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{25}}})^{2}}\; \, dx=\int_{-\sqrt{5}}^{+\sqrt{5}}\sqrt{1+(\frac{2}{15\sqrt[3]{\frac{x}{25}}})^{2}}\; \, dx$

البته برای حل این انتگرال دیگه راهی به نظرم نمیرسه.

(از والفرام کمک بگیرین)

---------------------------------------------

در مورد سوال 7 هم کل نمودار رو یک واحد به سمت بالا شیفت میدیم. برای این منظور سمت راست معادله ی خم رو به علاوه ی یک میکنیم. حالا اینبار به جای خط y=-1، حول خط y=0 (یا به عبارت بهتر همون محور x ها) باید دوران بدیم.

حالا فرض میکنیم که دوران دادیم. مساحت جانبی مورد نظر برابر با مساحت نوارهای استوانه ای شکل هستش که شعاع دایره ی قاعده اش برابر با y هستش و ارتفاع استوانه برابر با dx میشه. پس مساحت جانبی مورد نظر برابر میشه با:

$S=\int_{1}^{3}2\pi rdx=2\pi\int_{1}^{3}(\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{4x}+1)dx=2\pi[\int_{1}^{3}\frac{x^{3}}{3}dx+\int_{1}^{3}\frac{dx}{4x}+\int_{1}^{3}dx]$

حل کامل انتگرالها رو هم به عهده ی خودتون میذارم.

موفق باشین.
90/10/23

**mjorh** · 13-01-2012, 21:51

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ابتدا دو خم رو با هم برخورد میدیم:

$5y^{3}+y^{2}-6=0\Rightarrow (y-1)(5y^{2}+6y+6)=0\Rightarrow y=1$

سایر ریشه های پرانتز دوم موهومی هستش.

در نتیجه: $x^{2}+1=6\Rightarrow x_{0,1}=\pm \sqrt{5}$

از طرفی باید مشتق f رو حساب کنیم:

$y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{5}}\Rightarrow {y}'=\frac{2x}{15\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{25}}}$

در نتیجه طول خم مورد نظر در بازه ی اشاره شده برابر با جواب این انتگرال میشه:

$L=\int_{-\sqrt{5}}^{+\sqrt{5}}\sqrt{1+(\frac{2x}{15\sqrt[3]{\frac{x^{4}}{25}}})^{2}}\; \, dx=\int_{-\sqrt{5}}^{+\sqrt{5}}\sqrt{1+(\frac{2}{15\sqrt[3]{\frac{x}{25}}})^{2}}\; \, dx$

البته برای حل این انتگرال دیگه راهی به نظرم نمیرسه.

(از والفرام کمک بگیرین)

---------------------------------------------

در مورد سوال 7 هم کل نمودار رو یک واحد به سمت بالا شیفت میدیم. برای این منظور سمت راست معادله ی خم رو به علاوه ی یک میکنیم. حالا اینبار به جای خط y=-1، حول خط y=0 (یا به عبارت بهتر همون محور x ها) باید دوران بدیم.

حالا فرض میکنیم که دوران دادیم. مساحت جانبی مورد نظر برابر با مساحت نوارهای استوانه ای شکل هستش که شعاع دایره ی قاعده اش برابر با y هستش و ارتفاع استوانه برابر با dx میشه. پس مساحت جانبی مورد نظر برابر میشه با:

$S=\int_{1}^{3}2\pi rdx=2\pi\int_{1}^{3}(\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{4x}+1)dx=2\pi[\int_{1}^{3}\frac{x^{3}}{3}dx+\int_{1}^{3}\frac{dx}{4x}+\int_{1}^{3}dx]$

حل کامل انتگرالها رو هم به عهده ی خودتون میذارم.

موفق باشین.
90/10/23

مرسی
اون اولش گفتین دو تا خمو با هم برخورد میدیم مگه اینجوری نمیشه ؟:
$x^2+y^2-6=5y^3-x^2$
خب اگه اینو حل کنیم ،اونی ک شما نوشتین نمیاد ...
تو سئوال هفت تو فرمول یه مشتق داریم زیر رادیکال ،چرا اونو ننوشتین؟

**davy jones** · 13-01-2012, 22:02

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مشتق سوئی تابع f(x, y) = x^2+Sinxy در نقطه(2و1) در چه جهت هایی برابر با مقدار 1 است.

سلام.
در مشتق سویی اگه جهت کلی رو به صورت $U=(u_{x},u_{y})$ در نظر بگیریم، مشتق سویی تابع f در جهت بردار U برابر میشه با:

$\frac{\partial f}{\partial x}.u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}.u_{y}$

در نتیجه داریم:

$(2x+y\sin (xy))u_{x}+(x\sin (xy))u_{y}|_{(x=1\, ,\, y=2)}=1\Rightarrow (2+2\sin 2)u_{x}+(\sin 2)u_{y}=1\Rightarrow u_{y}=1-(2+2\sin 2)u_{x}$

پس در نتیجه، همه ی بردارهایی به فرم $U=(a,1-(2+2\sin 2)a)$ جواب مساله خواهند بود.

=======================================

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مرسی
اون اولش گفتین دو تا خمو با هم برخورد میدیم مگه اینجوری نمیشه ؟:
$x^2+y^2-6=5y^3-x^2$
خب اگه اینو حل کنیم ،اونی ک شما نوشتین نمیاد ...
تو سئوال هفت تو فرمول یه مشتق داریم زیر رادیکال ،چرا اونو ننوشتین؟

من برای برخورد دادن اومدم و هر دو خم رو بر حسب x به توان دو نوشتم:

$\left.\begin{matrix} x^{2}=6-y^{2}\\ \\ x^{2}=5y^{3} \end{matrix}\right\}\Rightarrow 5y^{3}=6-y^{2}\rightarrow 5y^{3}+y^{2}-6=0$

تو سوال هفت هم نمیدونم شما اون فرمول رو از کجا آوردین ولی به نظرم فرمولتون غلطه و اون عبارت رادیکال رو نداره. اگه خواستین میتونم فرمول محاسبه ی مساحت جانبی توابع حاصل از دوران حول محور x رو از ابتدا براتون ثابت کنم. در هر صورت من به فرمول خودم مطمئنم.

موفق باشین.
90/10/23

**mjorh** · 13-01-2012, 22:33

مرسی
فرمول شما راحتره ...

اما اون فرمولی ک من نوشتم درسه آخه تو یه سایته خارجیم دیدم ،این لینکش (یه ویدئو هس همون صفحه ی اولش میشه این فرمولو دید،نیازی ب دان کردن نیس)

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

**davy jones** · 13-01-2012, 22:56

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مرسی
فرمول شما راحتره ...

اما اون فرمولی ک من نوشتم درسه آخه تو یه سایته خارجیم دیدم ،این لینکش (یه ویدئو هس همون صفحه ی اولش میشه این فرمولو دید،نیازی ب دان کردن نیس)

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لینکتون برای من باز نشد.

اگه واقعا هنوز شک دارین بگین تا فرمول رو از ابتدا اثباتش رو بنویسم.

**mjorh** · 13-01-2012, 23:06

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لینکتون برای من باز نشد.

اگه واقعا هنوز شک دارین بگین تا فرمول رو از ابتدا اثباتش رو بنویسم.

نه شک ندارم ...مرسی
اون لینکم باید از چیز پی ان استفاده کنید

قسمت 15 همگراست. شرط لازم که صفر بودن حد جمله ی عمومی است برقراره. و چون همه ی جملات سری مثبته و همچنین داریم: بنابراین سری اولیه همگرای مطلقه.

تو اینجا این n رو از کجا اوردین ؟ آخه n نداره...

**davy jones** · 14-01-2012, 00:02

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نه شک ندارم ...مرسی
اون لینکم باید از چیز پی ان استفاده کنید

تو اینجا این n رو از کجا اوردین ؟ آخه n نداره...

اون n در حقیقت یه جور شرط کافی برای همگرایی مطلقه. اگه حد جمله عمومی صفر باشه و همه ی جملات جمله ی عمومی هم مثبت باشه و حد جمله ی عمومی وقتی که یه n توش ضرب بشه هم برابر با صفر باشه پس حتما همگرایی از نوع مطلقه.

البته این یه جورایی روشی تستیه و اثبات خاصی براش بلد نیستم.

موفق باشین.
90/10/24

**zr1** · 14-01-2012, 01:00

ممنون دیوی اما باور کن این مثالارو اگه جواباشونو ندونم احتمال اینکه تو امتهان کم بیارم زیاده.

**mjorh** · 14-01-2012, 11:11

آقا حمید (دیوی(هم اسمیم

)) تو قسمت دوم ک همگرا شده ،میشه یه مقدار توضیح بدید چجوری شده...

(سئوال 8تایی ک جوابشو دادین ،سئوال دومش)
منظورم اون طرز نوشتنش...خودش ک عدد شده پس همگراس

**davy jones** · 14-01-2012, 11:22

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممنون دیوی اما باور کن این مثالارو اگه جواباشونو ندونم احتمال اینکه تو امتهان کم بیارم زیاده.

یکی از اون 4 تا سوال رو براتون به همون روش قطبی که توضیح دادم حل میکنم تا روش کار دستتون بیاد و بقیه اش رو به عهده ی خودتون میذارم.

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$(\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})^{10}$

فک کنم این یکی سخت ترین سوال بین اون 4 تا بود.

ابتدا میایم صورت و مخرج کسر رو به فرم قطبی در میاریم:

$1+\sqrt{3}i=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}\: e^{i(\tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1}))}=2e^{\frac{\pi i}{3}}$

$1-\sqrt{3}i=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}\: e^{i(\tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1}))}=2e^{\frac{-\pi i}{3}}$

حالا اینها رو در صورت سوال جاگذاری میکنیم:

$(\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})^{10}=(\frac{2e^{\frac{\pi i}{3}}}{2e^{\frac{-\pi i}{3}}})^{10}=(e^{\frac{2\pi i}{3}})^{10}=e^{\frac{20\pi i}{3}}=\cos (\frac{20\pi }{3})+i\sin (\frac{20\pi }{3})=\cos (6\pi +\frac{2\pi }{3})+i\sin (6\pi +\frac{2\pi }{3})=\cos (\frac{2\pi }{3})+i\sin (\frac{2\pi }{3})={\color{Golden} \frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$
موفق باشین.
90/10/24 مصادف با اربعین حسینی

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

4 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن