اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 29-12-2011, 19:15

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

اساتید میشه این صفحه رو یه نگاهی بندازند . به همین موضوع مربوط میشه طبق فرمولی که نوشته یعنی :

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

بادید این جوری نوشت :

$\frac{1}{\Gamma (1-\frac{3}{2})} \frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{sint}{\sqrt[3]{\left (x-t \right )^2}}dt$

حالا این انتگرال چه جوری میشه حل کرد ؟

سلام. نتایج زیر خاصل شد. البته با استفاده از والفرام:

$D^{\frac{3}{2}}\sin x=D^{0.5}\frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x}=D^{0.5}\cos x=\frac{1}{\Gamma (0.5)}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{0}^{x}\frac{\cos t}{\sqrt{x-t}}dt\rightarrow$

$\Gamma (0.5)=1.77245\; \; \; ,\; \; \; \int_{0}^{x}\frac{\cos t}{\sqrt{x-t}}dt=$

$\sqrt{2\pi }[C(\sqrt{\frac{2x}{\pi }})\cos (x)+S(\sqrt{\frac{2x}{\pi }})\sin (x)]$

که در حاصل انتگرال همونطور که میبینین دو تابع C و S آورده که تعریف این دو تابع رو هم از لینک زیر میتونین ببینین:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
90/10/8

**~~BF.Me~~** · 30-12-2011, 17:09

سلام بر ریاضیدانان گرام .

میشه بگید این معادله چه جوری ساده شده (ریاضی 1 کلا یادم رفته

) :

$r^{3}-5r^{2}+7r{}-3=0 \to \ (r-3)(r-1)^{2}=0$

**davy jones** · 30-12-2011, 17:44

نوشته شده توسط BF.Me [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بر ریاضیدانان گرام .

میشه بگید این معادله چه جوری ساده شده (ریاضی 1 کلا یادم رفته

) :

$r^{3}-5r^{2}+7r{}-3=0 \to \ (r-3)(r-1)^{2}=0$

سلام.

عبارت سمت چپ تساوی رو خودتون به r-3 تقسیم کنید، متوجه خواهید شد.
البته راه های تستی و سریع تری هم برای پیدا کردن ریشه های چندجمله ای ها وجود داره مث حاصل جمع ضرایب و ...

موفق باشین.
90/10/9

**~~BF.Me~~** · 30-12-2011, 17:49

r-3 رو از کجا بفهمیم

**davy jones** · 30-12-2011, 18:44

نوشته شده توسط BF.Me [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

r-3 رو از کجا بفهمیم

اینکه r-3 رو از کجا بفهمیم یه سوال دیگه است. شما پرسیدین که چطوری ساده شده بنده هم گفتم که تقسیم کنین ببینین چطوری ساده شده. اما اینکه چطوری باید عوامل ریشه ی چند جمله ایها رو پیدا کنیم سوال دیگه ایه. اصولی ترین راه اینه که از 1 شروع میکنیم و تو چندجمله ای جاگذاری میکنیم و چک میکنیم که حاصل چندجمله ای به ازای 1 صفر میشه یا نه. اگه شد یعنی 1 ریشه ی چندجمله ای هست و میتونیم یک r-1 از کل چند جمله ای فاکتور بگیریم. اگه 1 ریشه نبود، 2 رو امتحان میکنیم و همین طور الی آخر. البته قرینه ی اعداد طبیعی ای رو که جاگذاری میکنیم رو هم همزمان چک کنیم کارمون راحت تره.

چند تا نکته تستی هم این وسط به راحتی به دست میآد:
1- اگه چند جمله ای حاوی تک جمله ی بدون متغیر نباشه، حتما صفر ریشه است و میشه از کل عبارت چندجمله ای یک x فاکتور گرفت.
2- اگه حاصل جمع ضرایب چند جمله ای برابر با صفر بشه یعنی 1 ریشه ی چند جمله ایه و میشه x-1 رو از چند جمله ای فاکتور گرفت.
3- اگه مجموع ضرایب توانهای زوج برابر با مجموع ضرایب توانهای فرد باشه یعنی 1- ریشه است و عبارت x+1 رو میشه از کل چند جمله ای فاکتور گرفت.

حالا فرض میکنیم که یه جوری بالاخره فهمیدیم عدد a ریشه است. پس x-a رو میتونیم از عبارت کل فاکتور بگیریم. اما سوالی که پیش میآد اینکه آیا بدون استفاده از روش تقسیم چندجمله ایها که در ریاضی دبیرستان آموزش داده میشه(که انصافا روش طولانی ای هستش) راه تستی هم وجود داره با نه؟ جواب مثبته.
مثلا در مثال خودتون فرض میکنیم که بهمون گفتن که x-3 یک عامل چند جمله ای $x^{3}-5x^{2}+7x-3$ باشه. برای پیدا کردن خارج قسمت تقسیم چندجمله ای به x-3 اینطوری عمل میکنیم:

$x^{3}-5x^{2}+7x-3=(x-3)(Ax^{2}+Bx+C)$

و میخوایم که ضرایب A و B و C رو پیدا کنیم. (مطمئنا دیگه جمله ای با توان 3 در خارج قسمت نخواهیم داشت)
چون عبارت $x^{3}$ در مقسوم تنها با ضرب شدن x در $Ax^{2}$ ساخته میشه پس A=1.
همچنین چون عبارت 3- در مقسوم هم فقط از حاصلضرب C در 3- ساخته میشه پس C=1
تا اینجا داریم:

$x^{3}-5x^{2}+7x-3=(x-3)(x^{2}+Bx+1)$

حالا دقت میکنیم که عبارت $-5x^{2}$ واقع در مقسوم از مجموع حاصلضرب 3- در $x^{2}$ و حاصلضرب x در Bx بدست میآد. بنابراین B-3=-5 و در نتیجه B=-2. پس عبارت خارج قسمت میشه: $x^{2}-2x+1$

-----------------
یه نکته ی مهم هم وجود داره و اون اینکه ممکنه اصلا عبارت چند جمله ای ریشه ی صحیح نداشته باشه (حتی موقعی که ضرایب جمله ها اعداد صحیح باشه) بنابراین روشهایی رو باید به کار ببریم که ریشه رو تقریب بزنیم مثل روش نصف کردن یا روش نیوتون و ... که همگی این روشها رو در درس محاسبات عددی در دانشگاه می آموزید اما اگه علاقه مند بودین بگین تا سر فرصت براتون توضیحات مختصری در مورد اونها بدم.

موفق باشین.
90/10/9

**~~BF.Me~~** · 30-12-2011, 19:28

دمت گرم . تقسیمو بلدم مشکلم سر همون r-3 بود که گفتین با جایگذاری باید بفهمیم . طراحی الگوریتم داریم رسیدم به معادله مشخصه گیر کردم سر این چند جمله ای درجه 3

از جواب کاملت ممنونم.

**skyzare** · 30-12-2011, 19:44

با سلام ....

ببخشید من نمیدونم چرا بعضی از انتگرال هایی که میخوام از راه جزبه جز حل کنم اخر کار همه چیز صفر میشه . راستش توی قبلی ها این جوری نبود !

اخر کار یه چیزی میموند ولی نمیدونم چرا یه چند تایی رو که حل کردم اخر کار این جوری همه چیزی صفر میشه یکی اش رو میزارم .

مثلا این :

$\int \frac{sin t}{\sqrt{x-t}}dt$

نگاه کنید من این جوری نوشتم ولی نمیدونم چرا اخر کار همه چیز صفر میشه !!!

کجاش اشتباه رفتم ؟

$sint=u \;\: \rightarrow \; \; \; \; \; costdt=du\\\\ \frac{dt}{\sqrt{x-t}}=dv\: \: \rightarrow \: \: -2\sqrt{x-t}=v$

$\int \frac{sint}{\sqrt{x-t}}=-2\sqrt{x-t}\; \; sint+2\underbrace{\int \sqrt{x-t}\; \; cost \: dt}$

خوب حالا اون قسمتی که زیرش خط کشیدم رو دوباره جز به جز رفتم یعنی این جوری :

$\\\sqrt{x-t}=u\: \: \:\: \: \: \: \: \: -\frac{1}{2\sqrt{x-t}}dt=du\\\\ costdt=dv\: \: \: \: \: \: \: sint=v$

$\int \sqrt{x-t}costdt=\sqrt{x-t}\: \: \: sint+\frac{1}{2}\int \frac{sint}{\sqrt{x-t}}dt$

خوب حالا این انتگرال بالا رو داخل اونی که زیرش آکولاد کشیدم گذاشتم اما همه چیز صفر میشه !!!!!!!!!

$\int \frac{sint}{\sqrt{x-t}dt}=-2\sqrt{x-t}\: \: sint+2(\sqrt{x-t}\: \: \: sint+\frac{1}{2}\int \frac{sint}{\sqrt{x-t}}dt )$

**zr1** · 01-01-2012, 01:58

دیوی جونز تو صفحه 400 جواب مثال انتگرال 5 بر (x+2)(x-3) رو اشتباهی گفتین درسته. ln ها ضریبشون که 5 نوشتم درست نیست.یعنی بدون ضریب درسته.یه نگاه بنداز.

**davy jones** · 01-01-2012, 10:05

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دیوی جونز تو صفحه 400 جواب مثال انتگرال 5 بر (x+2)(x-3) رو اشتباهی گفتین درسته. ln ها ضریبشون که 5 نوشتم درست نیست.یعنی بدون ضریب درسته.یه نگاه بنداز.

سلام.

درسته. ضرایبشون یک و منفی یک میشه.

$\frac{5}{(x+2)(x-3)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}\Rightarrow \frac{(a+b)x+2b-3a}{(x+2)(x-3)}=\frac{5}{(x+2)(x-3)}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=0\rightarrow a=-b\\ 2b-3a=5\rightarrow 2b+3b=5b=5\rightarrow b=1\; \; \; \rightarrow \; \; \; a=-1\\ \end{matrix}\right.\; \; \; \; \Rightarrow {\color{Golden} \frac{5}{(x+2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}}$

موفق باشین.
90/10/11

**hamid_diablo** · 02-01-2012, 21:00

سلام دوستان

اگه براتون ممکنه این 5 تا سئوال رو برام حل کنید.

بزرگ نمایی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از BF.Me بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن