اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 28-12-2011, 11:44

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

جواب این انتگرالارو میخام با توضیح.
$\int lnxdx$
$\int \frac{1}{e^x+e^-x}dx$
$\int \frac{1}{1+e^x}dx$

سلام.
چون به وضوح مشخصه که سطح سوالهایی که میذارین بالا رفته و حس میکنم که هنوز تو انتگرال جزء به جزء یکمی مشکل دارین، این سری رو کامل حلشو میذارم ولی فقط برای راه افتادن دستتون و رویه ی کلی همون راهنمایی خواهد بود.

سوال اول:

$y=\int \ln (x)dx\Rightarrow [x=e^{t}\rightarrow dx=e^{t}dt]\Rightarrow y=\int te^{t}dt=te^{t}-\int e^{t}dt=te^{t}-e^{t}+c={\color{Golden} x(\ln (x)-1)+c}$

سوال دوم:

$y_{2}=\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}\Rightarrow [u=e^{x}\rightarrow du=e^{x}dx\rightarrow dx=\frac{du}{u}]\Rightarrow y_{2}=\int \frac{\frac{du}{u}}{u+\frac{1}{u}}=\int \frac{1}{u^{2}+1}du=\tan^{-1}(u)+c={\color{Golden} \tan^{-1}(e^{x})+c}$

سوال سوم:

$y_{3}=\int \frac{dx}{e^{x}+1}\Rightarrow [u=e^{x}\rightarrow du=e^{x}dx\rightarrow dx=\frac{du}{u}]\Rightarrow y_{3}=\int \frac{\frac{du}{u}}{u+1}=\int \frac{1}{u(u+1)}du=\int (\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1})du=\ln (u)-\ln (u+1)+c=x-\ln (e^{x}+1)+c=x-\ln (e^{x}(1+e^{-x}))+c=x-\ln (e^{x})-\ln (1+e^{-x})+c={\color{Golden} -\ln (1+e^{-x})+c}$

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تو مثال دومم که جوابشو دادی تا اینجا موندم
$\int tan(1+tan^2x)dx-\int tanxdx=?$

انتگرال اول که کاملا واضحه (تابع تانژانت در کنار مشتق خودش زیر انتگرال وجود داره. انتگرال دوم رو هم همونطور که قبلا هم راهنمایی کردم باید به صورت سینوس تقسیم بر کسینوس بنویسین و مخرج رو u فرض کنین.
نقل قول از خودم:

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در اینجا باید عبارت زیر انتگرال رو به صورت $\tan (x).\tan ^{2}(x)$ در نظر بگیرین و فقط به $\tan ^{2}(x)$ ، عدد 1 رو اضافه و کم کنین تا مشتق tan x ساخته بشه. تازه در اونصورت یک انتگرال منهای تانژانت ایکس هم ایجاد میشه که باید به صورت سینوس تقسیم بر کسینوس در نظر گرفت تا اینجوری صورت کسر مشتق مخرج بشه و ادامه تا آخر (دیگه تقریبا جوابو کامل گفتم

)

موفق باشین.
90/10/7

**zr1** · 28-12-2011, 12:23

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تو مثال دومم که جوابشو دادی تا اینجا موندم
$\int tan(1+tan^2x)dx-\int tanxdx=?$

من جواب اینو این نوشتم درسته؟
$\int tan(1+tan^2x)dx-\int tanxdx=tanx-\int \frac{sinx}{cosx}dx+c=tanx-cosx+c$
که البته انتگرال تانژانت ضربدر یک +تانژانت به توان 2 dxرو زود انتگرالشو گرفتنم

**davy jones** · 28-12-2011, 13:49

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

من جواب اینو این نوشتم درسته؟
$\int tan(1+tan^2x)dx-\int tanxdx=tanx-\int \frac{sinx}{cosx}dx+c=tanx-cosx+c$
که البته انتگرال تانژانت ضربدر یک +تانژانت به توان 2 dxرو زود انتگرالشو گرفتنم

اتفاقا چون زود جوابو ذهنی نوشتین اشتباه کردین. در هر دو قسمت انتگرال هم اشتباه دارین. تو رو خدا بعد از هر مثالی که حل میکنین از جواب آخرتون مشتق بگیرین و خودتون جواب آخرتون رو چک کنین.

موفق باشین.
90/10/7

**zr1** · 28-12-2011, 14:12

انگاری باید خودم

این زیرو ببین.دیگه دارم دیوانه میشم
$sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$
و اینو حالا نگاه کن خوصوصا توان و کسر که تو تبدیل فرق داره!
$\int sin^3xdx=\int sinxsinx^2dx=\int sinx(1-cos^2x)=\int sinxdx-\int cos^2xsinxdx=-cosx+\frac{cos^3}{3}+c$
پس چرا تو تبدیل یه فرق اساسی هست!

**editor_70** · 28-12-2011, 14:36

چــرا سوال من اینجــا نیست ؟؟؟؟؟؟؟؟

**davy jones** · 28-12-2011, 14:47

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

انگاری باید خودم

این زیرو ببین.دیگه دارم دیوانه میشم
$sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$
و اینو حالا نگاه کن خوصوصا توان و کسر که تو تبدیل فرق داره!
$\int sin^3xdx=\int sinxsinx^2dx=\int sinx(1-cos^2x)=\int sinxdx-\int cos^2xsinxdx=-cosx+\frac{cos^3}{3}+c$
پس چرا تو تبدیل یه فرق اساسی هست!

دوست عزیز! $\cos ^{2}x$ با $\cos 2x$ فرق داره! اولی توان هستش و دومی ضریب داخل آرگومان!
امیدوارم منظورمو متوجه شده باشین.

90/10/7

**skyzare** · 28-12-2011, 15:06

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$\int \frac{dx}{1-9x^2}=\int \frac{dx}{1+(3x)^2}=tan^-1(3x)+c$

با سلام ...

با تشکر از جناب davy jone که زحمت کشدید و پاسخ دادند . فقط یه مورد این جا من هم بگم .

اگه توی مخرج کسر صورت سوال منفی باشه جواب نهایی اشتباه هست بجز ضریب 1/3 یه h (منظورم tanh هست )
هم جا انداختید .

اگه هم که جمع هست که فقط همون 1/3 رو جا انداختید که اساتید اشاره کردند .

**zr1** · 28-12-2011, 15:22

اینو منم میدونم ولی موندم که استاد این 2تا مطلب رو خودش گفته ولی چرا اینتوری شده!
جالب کار اینجاست.
فرق این 2تا
$sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$
$cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}$
با این 2تا
$sin^2x=1-cos^2x$

$cos^2x=1-sin^2x$
تو چیه؟شاید من قاط زدم!اخه چرا انقد فرق دارن؟از هرکدوم کی استفاده میشه؟خدای من ببین کارم کجا کشیده!

**davy jones** · 28-12-2011, 15:51

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینو منم میدونم ولی موندم که استاد این 2تا مطلب رو خودش گفته ولی چرا اینتوری شده!
جالب کار اینجاست.
فرق این 2تا
$sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$
$cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}$
با این 2تا
$sin^2x=1-cos^2x$

$cos^2x=1-sin^2x$
تو چیه؟شاید من قاط زدم!اخه چرا انقد فرق دارن؟از هرکدوم کی استفاده میشه؟خدای من ببین کارم کجا کشیده!

رابطه ی $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ که به راحتی از روی فیثاغورس به دست میآد و با اون میشه 2 رابطه ی دومی که نوشتین رو نتیجه گرفت.

همچنین طبق فرمول کسینوس مجموع دو زاویه داریم: $\cos (x+y)=\cos y\cos x-\sin y\sin x$

که اگه در اینجا y=x فرض بشه داریم:

$\cos (x+x)=\cos 2x=\cos x\cos x-\sin x\sin x={\color{Golden} \cos ^{2}x-\sin ^{2}x}$

که با استفاده از رابطه ی $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ میشه جواب آخر رو به دو صورت زیر هم نوشت:

$\begin{matrix} 1)\; \; \cos 2x= 2\cos ^{2}x-1\rightarrow\cos ^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2} \\ \\ 2)\; \; \cos 2x= 1-2\sin ^{2}x\rightarrow\sin ^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \end{matrix}$

به همین سادگی ..

محتوای مخفی: به دل نگیرین ولی

موفق باشین.
90/10/7

**zr1** · 28-12-2011, 17:56

این سوالام واسه خاطر انتگراله بود.فرقی نمیکنه از هر کدومش استفاده کنیم؟

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن