اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**skyzare** · 12-12-2011, 20:11

نوشته شده توسط sepehr_x50 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

ممنون میشم این انتگرال رو واسم کامل حل کنید:

$\int \sqrt{tanx} dx$

با سلام ...

قضیه چیه همه دنبال این انتگرال هستند !

این رو قبلا جناب davy jones پاسخ دادند .

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**davy jones** · 12-12-2011, 20:19

نوشته شده توسط b.s.m [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام تورو خدا یکی اینو تا شب حل کنه . من فردا امتحان دارم . رفع ابهامشو بلد نیستم..

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

سلام.

مقدار مشتق در نقطه ی (0,0) تعریف نشده است چون حد چپ و راستش به ازای x و y های منفی و مثبت در همسایگی صفر فرق میکنه و برابر با هم نمیشه.

================

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

دوستان میشه یه راهنمایی کنید این حد ها رو چه جوری حل کنم ؟؟

$\\\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{[x^2]-[x]^2}{x^2-1}\\\\\\\\ \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}\\\\\\\\ \lim_{x\rightarrow0 }\frac{\sqrt[4]{x^4+1}-\sqrt{x^2+1}}{x^2}\\\\\\\\ \lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}-\sqrt{x}$

سلام.

سوال سوم که واضحه باید از اتحاد ناقص مزدوج استفاده کرد. (سوال سوم که همینطوری ذهنی واضحه که جواب آخر میشه منفی یک دوم. چون دست آخر بعد از دوبار مزدوج زدن میرسیم به تقسیم 2x^2- بر x^2 ی مخرج که به ازای هر بار مزدوج زدن یک 2 در مخرج ضرب شده)

سوال چهارم هم واضحه که حد به سمت مثبت بینهایت میل میکنه چرا که جمله ی اول از جمله ی دوم بزرگتره. فکر کنم همین استدلال برای سوال 2 هم صادق باشه.

و اما سوال 1! اگه از منفی یک که در مخرج هستش صرف نظر کنیم (که اینکار در جواب آخر هیچ تاثیری نمیذاره) میتونیم کسر رو به دو کسر تفکیک کنیم که حاصل حد هر کدوم برابر با یک میشه و جواب کلی به نظرم برابر با صفره.

امیدوارم درست باشه جوابام.

موفق باشین.
90/9/21

**skyzare** · 12-12-2011, 22:06

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

سوال سوم که واضحه باید از اتحاد ناقص مزدوج استفاده کرد. (سوال سوم که همینطوری ذهنی واضحه که جواب آخر میشه منفی یک دوم. چون دست آخر بعد از دوبار مزدوج زدن میرسیم به تقسیم 2x^2- بر x^2 ی مخرج که به ازای هر بار مزدوج زدن یک 2 در مخرج ضرب شده)

و اما سوال 1! اگه از منفی یک که در مخرج هستش صرف نظر کنیم (که اینکار در جواب آخر هیچ تاثیری نمیذاره) میتونیم کسر رو به دو کسر تفکیک کنیم که حاصل حد هر کدوم برابر با یک میشه و جواب کلی به نظرم برابر با صفره.
90/9/21

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما .

ببخشید اتحاد ناقص مزدوج چیه ؟؟؟ اتحاد مزدوج رو شنیدم این ناقصه دیگه چیه ؟!

خوب درسته میشه همونی که شما فرمودید .

$\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[4]{x^4+1}-\sqrt{x^2+1}}{x^2}\times \frac{\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1}}=\\\\\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[4]{(x^4+1)^2}-(x^2+1)}{x^2(\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1})}=\\\\\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4+1-(x^2+1)^2}{x^2(\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1})(\sqrt[4]{(x^4+1)^2}+(x^2+1))}=-\frac{1}{2}$

سوال یک رو هم بعد از تفکیک چرا حاصل هر کسر میشه یک ؟ اخه مگه میشه با هم ساده کرد ؟ پس اون جرء صحیح چی مشه ؟

**sepehr_x50** · 12-12-2011, 22:08

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام. سوالش اصلا مبتدی نیست

جواب انتگرال رادیکال تانژانت که خودم نوشتم:

$y=\int \sqrt{\tan (x)}dx\Rightarrow \sqrt{\tan (x)}=u\rightarrow du=\frac{(1+\tan ^{2}(x))}{2\sqrt{\tan (x)}}dx\rightarrow dx=\frac{2u}{1+u^{4}}du\Rightarrow y=2\int \frac{u^{2}}{1+u^{4}}du=2\int \frac{u^{2}}{u^{4}+2u^{2}-2u^{2}+1}du=2\int \frac{u^{2}}{(u^{4}+2u^{2}+1)-2u^{2}}du=2\int \frac{u^{2}}{(u^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}u)^{2}}du=2\int \frac{u^{2}}{(u^{2}+1+\sqrt{2}u)(u^{2}+1-\sqrt{2}u)}du=2\int [\frac{\frac{u}{2\sqrt{2}}}{(u^{2}+1+\sqrt{2}u)}+\frac{\frac{u}{2\sqrt{2}}}{(u^{2}+1-\sqrt{2}u)}]du=\frac{\sqrt{2}}{4}[\int \frac{(2u+\sqrt{2}-\sqrt{2})}{u^{2}+1+\sqrt{2}u}du+\int \frac{(2u+\sqrt{2}-\sqrt{2})}{u^{2}+1-\sqrt{2}u}du]=\frac{\sqrt{2}}{4}[\int \frac{2u+\sqrt{2}}{u^{2}+1+\sqrt{2}u}du-\int \frac{-\sqrt{2}}{u^{2}+1+\sqrt{2}u}du+\int \frac{2u-\sqrt{2}}{u^{2}+1-\sqrt{2}u}du+\int \frac{\sqrt{2}}{u^{2}+1+\sqrt{2}u}du]=\frac{\sqrt{2}}{4}[\ln (u^{2}+1+\sqrt{2}u)+\ln (u^{2}+1-\sqrt{2}u)+\sqrt{2}(\int \frac{du}{u^{2}+1-\sqrt{2}u}-\int \frac{du}{u^{2}+1+\sqrt{2}u})]$

که دو انتگرال آخر هم با استفاده از اتحاد ناقص و تبدیل مخرج ها به فرم $(u-a)^{2}+b^{2}$ که به راحتی هم امکان پذیره به تابع اولیه ی آرک تانژانت تبدیل میشه و مساله به صورت کلی حل میشه.

در ضمن در زیر حل این انتگرال رو به یه روش دیگه هم میتونین ببینین:

محتوای مخفی: *

در لینک زیر هم باز به یه روش دیگه حل کرده. البته تقریبا همه ی روشها یکسانه:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

صد بار اگر توبه شکستی باز آی ...

موفق باشین.
90/9/14

ممنون.

در روش دوم ln نباید به جای لگاریتم به کار برده شه؟!

چون:

$\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{x+a}{x-a} \right | + C$

**b.s.m** · 12-12-2011, 22:36

سلام دوست عزیز

نه این مشتق جزیی هستش. وجود داره. این سوال استادمون هست.

من رفع ابهامشو بلد نیستم. یعنی یه دور نسبت به x مشتق بگیریم بعد بخواهیم ازش lim بگیریم که x و y رو به سمت صفر ببره. اون lim رو مشکل دارم. اگه میشه تا اخر شب یه نگاه بندازین جواب بدین . مرسی

**ali_hp** · 13-12-2011, 00:14

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در حالت کلی اگه تابع f و g طوری باشند که داشته باشم:
[CENTER] $\lim_{x \to a}f(x)\rightarrow 0$ , $\lim_{x \to a}g(x)\rightarrow \infty$
[RIGHT]
در اینصورت حد عبارت:
[CENTER] $\lim_{x \to a}(1+m\times f(x))^{n\times g(x)}=e^{m.n}$
[RIGHT]
که در اینجا m و n لزوما از ابتدا عدد ثابت نیستند و خود میتونند حاصل میل کردن توابع دلخواه به سمت a باشند. مهم اینه که در اون توابع ابهامی در میل کردن به a وجود نداره و حاصل اونها برابر با m و n میشه.

خوب اينجوري كه فكر نمي كنم درست باشه! مثلا
g(x)=x/2 , n= 1 , f(x)=1/x , m=2
با اين روش جواب مجذور e بدست مياد ، در صورتي كه جواب خود e هست.
البته اگه اين فرضو اضافه كنيم كه حد حاصلضرب f , g هم يك بشه ، درست ميشه! وقتي هم كه m , n حدي باشن لازمه كه ناصفر باشن.
كلا ميتونيم اين نكته رو اينجوري بيان كنيم كه بهتره فكر كنم:
اگر
$\lim_{x \to a}f(x)\rightarrow 0$
انگاه :

$\lim_{x\rightarrow a} (1+f(x))^{g(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow a}g(x)f(x)}$

که با توجه به رابطه زیر میشه ثابتش کرد:

$\lim_{x\rightarrow a} (1+f(x))^{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}((1+\frac{1}{\frac{1}{f(x)}})^{\frac{1}{f(x)}})^{g(x)f(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow a}g(x)f(x)}$

**ali_hp** · 13-12-2011, 02:14

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ....

خودم هم تعریف درست حسابی ازش نمیدونم .

توی این کتابی که میخونم فقط این رو گفته که :

دو تابع f و g را در نقطه a هم ارز یکدیگر گوییم که داشته باشیم :

$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

هم ارزی باید مفهومی از نزدیک بودن توابع به هم باشه ، پس همانند بیان نزدیکی دو عدد،حد اقل این دو تا راه راداریم:
یک. دو تابع را در نقطه a هم ارز گوییم هر گاه حد نسبتشان در a یک شود.
دو.دو تابع را در نقطه a هم ارز گوییم هر گاه حدتفاضلشان در a صفر شود.
تعریف اول به درد مسائل ضربی می خورد!و دومی برای مسائل جمعی!
حال این دو تعریف چه ارتباطی به هم دارند؟
اگر هر دو تابع کراندار باشند تعریف یک از تعریف دو قویتر است.به این معنی که وقتی توابع کراندارند، از یک شدن حد نسبت،صفر شدن حد تفاضل نیز نتیجه می شود،پس اگر دو تابع کراندار با تعریف یک هم ارز باشند،هم حد تفاضلشان صفر است و هم حد نسبتشان یک است.
اگر هر دو تابع به مثبت یا منفی بینهایت میل کنند تعریف دو قویتر از تعریف یک است.به این معنی که وقتی توابع به بینهایت میل می کنند، از صفر شدن حد تفاضل،یک شدن حد نسبت نیز نتیجه می شود،پس اگر دو تابع به بی نهایت میل کنند و با تعریف دو هم ارز باشند،هم حد تفاضلشان صفر است و هم حد نسبتشان یک است.
حال اگر بخواهیم با تعریف یک مساله را حل کنیم :
برای n های فرد داریم:

$\sqrt[n]{ax^n+bx^{n-1}+...} \approx \sqrt[n]ax \\ \\ \sqrt[n]ax \approx \sqrt[n]a (x+\frac{b}{an})$

با توجه به دو هم ارزی بالا هم ارزی مساله نتیجه میشود.

برای n های زوج نیز باید داشته باشیم a>0 یک قدر مطلق اضافه می شود.برای اثبات هم میشه از رابطه زیر استفاده کرد:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{ax^n+bx^{n-1}+...}}{\sqrt[n]ax}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+\frac{b}{ax}+...}=1$
اما خوب با توجه به توضیحات بالا و با توجه به اینکه f و g به بی نهایت میل می کنند، اگر بتوانیم هم ارزی از نوع دو را ثابت کنیم مفید تر است،و در مسائل بیشتری می توانیم از ان استفاده کنییم.
پس باید ثابت کنیم(فرض می کنیم n فرد است،برای n زوج یکم ریزه کاری علامتو اینا اضافه میشه فقط)حد عبارت زیر در بی نهایت برابر صفر می شود:

$\sqrt[n]{ax^n+bx^{n-1}+...}-\sqrt[n]a (x+\frac{b}{na})$

قرار دهید

$y=\sqrt[n] a(x+\frac{b}{na})$

حال اگر عبارت را بر حسب y باز نویسی کنیم داریم:

$\sqrt[n]{ax^n+bx^{n-1}+...}-\sqrt[n]a (x+\frac{b}{na}) =\\ \sqrt[n]{y^n+By^{n-2}+...}-y$

دقت کنید که ضریب y^(n-1)l در زیر رادیکال برابر صفر می شود....
برای محاسبه حد عبارت بدست امده نیز هم می توان با استفاده از تعمیم اتحاد چاق و لاغر و ضرب تقسیم عبارت در جمله چاق! رادیکال را حذف و مساله را حل کرد هم می توان با فاکتور گیری از y و بازنویسی عبارت به صورت زیر از هوپیتال استفاده کرد:

$\sqrt[n]{y^n+By^{n-2}+...}-y=\frac{\sqrt[n]{1+\frac{B}{y^2}+\frac{C}{y^3}+...}-1}{\frac{1}{y}}$

**davy jones** · 13-12-2011, 02:40

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما .

ببخشید اتحاد ناقص مزدوج چیه ؟؟؟ اتحاد مزدوج رو شنیدم این ناقصه دیگه چیه ؟!

خوب درسته میشه همونی که شما فرمودید .

$\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[4]{x^4+1}-\sqrt{x^2+1}}{x^2}\times \frac{\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1}}=\\\\\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[4]{(x^4+1)^2}-(x^2+1)}{x^2(\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1})}=\\\\\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^4+1-(x^2+1)^2}{x^2(\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt{x^2+1})(\sqrt[4]{(x^4+1)^2}+(x^2+1))}=-\frac{1}{2}$

سوال یک رو هم بعد از تفکیک چرا حاصل هر کسر میشه یک ؟ اخه مگه میشه با هم ساده کرد ؟ پس اون جرء صحیح چی مشه ؟

سلام.

منظورم از اتحاد ناقص چیز جدیدی نیست. منظورم اینه که باید یه چیزی توش ضرب کنیم که بشه اتحاد مزدوج و همینجوریش ناقصه

یعنی همین روشی که شما نوشتین و من هم در پست قبلیم اشاره کردم.

و اما در مورد سوال یک! به نظر شما حاصل براکت بینهایت چند میشه؟ آیا نمیشه در بینهایت، x^n رو با [x^n] مساوی فرض کرد؟؟ مثلا اشکالش میتونه اونجا باشه که اگه عدد x در بینهایت، اعشار داشته باشه، براکتش با خود x تفاوت داره؟ (آخه مگه مثلا بینهایت و چهارده صدم هم معنی میده؟

)
در حالت کلی اگه فرض کنیم که جزء صحیح x^n برابر با k باشه، قطعا در اعداد مثبت، مقدار x^n برابر با k+a خواهد بود که همواره به ازای n های متناهی، مقدار a شمارا و محدود خواهد بود. بنابراین حاصل تقسیم جزء صحیح x^n ؛ تقسیم بر x^n ؛ وقتی که x به بینهایت میل میکنه با کسر k/(k+a) a وقتی که k به سمت بینهایت میل کنه هم ارزه.

بنابراین تابع جزء صحیح در صورتی که داخل آرگومانش به سمت بینهایت بره عملا بی معنی میشه.

===========================

نوشته شده توسط sepehr_x50 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممنون.

در روش دوم ln نباید به جای لگاریتم به کار برده شه؟!

چون:

$\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{x+a}{x-a} \right | + C$

فکر کنم منظورش از log همون ln باشه. چون در بسیاری از سایتها برای لگاریتم طبیعی (یعنی در پایه ی e) همون log خالی رو استفاده میکنن و برای لگاریتم در مبنای 10 مینویسن: log10 x
همین شرایط قراردادی در ماشین حسابهای مهندسی هم برقراره اگه دقت کرده باشین. در سایت والفرام آلفا هم شرایط از همین قراره و جالبه که زیرش برای گمراه نشدن ذهن خواننده مینویسه که منظور از log لگاریتم طبیعی (natural logarithm) هستش. در سایت لاتکس که فرمول نویسی رو بنده و سایر کاربران از اونجا انجام میدیم هم در قسمت functions هم log وجود داره و هم log10

موفق باشین.
90/9/22

**ali_hp** · 13-12-2011, 15:58

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

دوستان میشه یه راهنمایی کنید این حد ها رو چه جوری حل کنم ؟؟

راهنمایی اولی:با استفاده از نامساوی l[x]<x<[x]+1 کرانی درجه یک برای صورت بدست اورید!و نتیجه بگیرید حد صفر است.

و یا اینکه همانطور که davy jons عزیز گفتن تفکیک کنید و از اینکه حد نسبت l[a] , a در بینهایت یک است استفاده کنید.(به عبارت دیگر با تعریف یک هم ارزند)

راهنمایی دومی:

صورت و مخرج را بر رادیکال x تقسیم کرده و تقریبا مشابه اولین هم ارزی که در دو پست قبل ثابت شد عمل کنید ....!جواب نهایی یک است.

راهنمایی چهارمی:سعی کنید مساله را به اخرین هم ارزی رادیکالی که در دو پست قبل ثابت شد ربط دهید!که البته خیلی هم کار ساده ای نیست.جواب نهایی یک دوم است.

**hts1369** · 13-12-2011, 20:16

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

تمام اعداد صحیح ناصفر x و y و z را که در معادله ی زیر صدق می کنند، پیدا کنید:

$\150dpi x^3+y^3=z^3$

موفق باشید.

24 تیر ماه 1390

شرمنده قضییه ی اخر فرما همین سوالی هست که اقای مفیدی مطرح کردن؟؟

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از sepehr_x50 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

4 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن