اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 05-12-2011, 22:15

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوست عزيز دمت گرم كه اين همه وقت گذاشتي تا جواب منو بدي ازت ممنونم بسيار

فقط چنتا سوال:
1-از كجا به اين نتيجه رسيدي كه از نكته تستي نميشه قسمت د رو حل كرد(البته خودم از روش معمولي حلش كرده بودم)

2-قسمت ح راه ديگه نداره؟ چون من بسط مك لورن رو زياد استفاده نكردم و يادم نيست و بلد نيستم اگه ميشه يه كم اين بسط رو ياداوري كنيد ممنون ميشم

3-قسمت (ط) و همچنين( ج) و نيز(ي) رو ميشه از روش معموليم حلش كنيد چون كه قرار نيست هميشه از اون نكته استفاده كرد به خصوص توي امتحانات كه فك ميكنم بايد با روش معمولي حلش كرد اصلا استادمون اين نكنه رو نگفته كه بخام ازش استفاده كنم و به نظر من به درد اين ميخوره كه جواب اخر رو امتحان كرد كه ببينيم درسته يا نه

پ.ن:احساس كردم اين پستم تو شلوغي تاپيك گم شد برا همين دوباره نوشتم و به شدت دنبال جوابشم
اينم يه بار ديگه سوالات:

سلام.
ببخشید که پست قبلیتون رو ندیدم.

1- از اونجایی که نمیشد داخل پرانتز رو به فرمی که گفتم در آورد مگر اینکه بجای ساده تر شدن سوال، به سوال سخت تری می رسیدیم.

2- راه دیگه ای به نظرم نداره. جهت مطالعه در مورد سری مک لورن و سری تیلور به لینکهای زیر مراجعه کنین:

محتوای مخفی: سری مک لورن

محتوای مخفی: سری تیلور که خود حالت کلی تر سری مک لورن است

3-

محتوای مخفی: قسمت ج

محتوای مخفی: قسمت ط

محتوای مخفی: قسمت ی

موفق باشین.
90/9/14 مصادف با روز تاسوعای و شب عاشورای حسینی!

**lebesgue** · 05-12-2011, 22:28

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

1. معکوس این تابع رو چه جوری باید به دست بیاریم من خودم محاسبه کردم ولی جواب توی گزینه ها نبود

$y=x-\sqrt{4-x^2}$

$(y-x)^2=\left | 4-x^2 \right |$

$\\y^2+x^2-2yx=4-x^2\\\\ y^2+x^2-2yx=x^2-4\\\\$

برا ی معادله اولی x به دست میاد :

$x=\frac{2y\pm \sqrt{32-4y^2}}{4}$

که این جا دلتا رو یعنی عبارت زیر رادیکال رو بزرگتر از 0 قرار دادم که جواب شد :

$y=2\sqrt{2}$

حالا معادله دومی رو حل کردم که شد :

$\\y^2-2yx=-4\\\\ x=\frac{4+y^2}{2y}$

که این جا هم y فقط مخالف صفر هست . بعد اجتماع این y ها رو به عنوان جواب نهایی در نظر گرفتم . ولی جوابم توی گزینه ها نبود جوابی که داده این هست :

$\left [ -2\sqrt{2}\: \: ,\: \: 2 \right ]$

من کجا اشتباه کردم ؟؟؟

========================================

2. دامنه این تابع چی میشه ؟ این رو هم حل کردم ولی باز جواب توی گزین ها نیست !!

$y=log(sin(x-3))+\sqrt{16-x^2}$

$\\sin(x-3)> 0\\\\ 0<x-3< \pi \\\\ 3< x< \pi +3$

خوب برای عبارت زیر رادیکال هم میشه :

$-4\leq x\leq 4$

خوب حالا اشتراکش میشه جواب دامنه نهایی . که میشه :

$D_y=(3\: \: ,\: \: 4]$

ولی جواب تست این هست :

$(3-2\pi,3-\pi)$

========================================

4. دور ه تناوب این تابع چیه ؟

$(-1)^{\left [\frac{x}{\pi} \right ]}cos(x)$

میشه بگیم همواره یکی از این دو عبارت زیر رو داریم ؟

$\\-cos(x)\\\\ cos(x)$

از طرقی ظریب هم که توی دوره تناوب تاثیر نداره پس برای هر دو تاش دوره تناوب میشه $2\pi$ ولی پاسخ تست $\pi$ هست .

چرا ؟؟

1. شما حاصل $\left (\sqrt{x} \right )^2$ را برابر $\left | x \right |$ یا همان $\sqrt{x^2}$ گرفتید که درست نیست. درستش اینست که $\left (\sqrt{x} \right )^2$ برای x های نامنفی می شود همان x و برای x های منفی تعریف نشده است.

2. اگر صورت سوال دقیقاً همین باشد که نوشتید، پاسخ تست که نمی تواند درست باشد، چون عبارت داده شده دستکم به ازای x=4 تعریف شده است، بنابراین 4 باید عضو دامنه محسوب شود. همچنین پاسخ شما هم درست نیست، چرا که تنها بازه 0 تا π نیست که تابع سینوس در آن مثبت است.

3.

4. آن ضریب ثابت است که در دوره تناوب تاثیر ندارد، تازه به شرطی که مخالف صفر باشد. در اینجا ضریب، خود یک تابع متناوب است. با رسم نمودار میتوانید ببینید که دوره تناوب π است، سپس می توانید با استفاده از روابط مثلثاتی، به سادگی نشان دهید که (f(x+π)=f(x.

**MasterGeek** · 05-12-2011, 23:33

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

من با نوتیشن های مبحث مربوطه آشنایی ندارم، اما گمان می کنم با استفاده از کانوولوشن دو بعدی (مبحث پردازش سیگنال، دستور conv2 در MATLAB) میشود.

ممنون دوست عزیز، پیشنهاد خوبی بود، روش کار میکنم احتمالا جواب بده...(هرچند بیشتر دنبال چیزی تو مایه های Toeplitzی چیزی بودم...)

$\begin{bmatrix} x(1) & x(2) & \dots & x(N+K) \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x(1) & x(2) & \dots & x(K) \\ x(2) & x(3) & \dots & x(K+1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x(M) & x(M+1) & \dots & x(M+K) \\ \end{bmatrix}$

راجع به نوتیشن هم میتونین اندیس فرضش کنین، مهم این هست که فرض بشه x(1) با x(2) فرق میکنه و داخل آرگومان هم سبب میشه که با یه سری زمانی طرف باشین...

بازم ممنون اگر جوابی پیدا کردم اینجا میذارم.

**emgjey** · 06-12-2011, 06:05

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حل این مسائل کمی طولانی و وقت گیر است، لطفاً بفرمایید خودتان تا کجا پیش رفتید، اینگونه بهتر می توان راهنمایی کرد.

بنده جواب رو به صورت یک ضرب دو تابع بر حسب r و تتا مینویسم و جاگذاری میکنم
به دو معادله معمولی میرسم.
مشکلم اینه که شرایط مرزی رو نمیدونم چطور باید اعمال کنم.
اگه لطف کنید صرفاً مراحل کار رو برام توضیح بدید فکر میکنم کمک بزرگی باشه
ممنون

**lebesgue** · 06-12-2011, 14:56

نوشته شده توسط emgjey [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بنده جواب رو به صورت یک ضرب دو تابع بر حسب r و تتا مینویسم و جاگذاری میکنم
به دو معادله معمولی میرسم.
مشکلم اینه که شرایط مرزی رو نمیدونم چطور باید اعمال کنم.
اگه لطف کنید صرفاً مراحل کار رو برام توضیح بدید فکر میکنم کمک بزرگی باشه
ممنون

دو معادله دیفرانسیل معمولی که بدست آوردید، باید به فرم زیر باشد:

$\\\frac{\mathrm{d^2}\Theta (\theta ) }{\mathrm{d} \theta^2}+k^2\Theta (\theta)=0\\\\ r^2\frac{\mathrm{d^2}R(r) }{\mathrm{d} r^2}+r\frac{\mathrm{d}R(r) }{\mathrm{d} r}-k^2R(r)=0$

k در حالت کلی میتواند حقیقی یا موهومی باشد. برای k≠0 (حقیقی)، اگر جواب عمومی این معادلات را بدست آورید، در نهایت عبارت زیر برای u بدست می آید:

$u(r,\theta)=\left (A_1r^k+B_1r^{-k} \right )\left (C_1\sin k\theta+D_1\cos k\theta \right )$

برای k=0، عبارت زیر برای u بدست می آید:

$u(r,\theta)=\left (A_2\ln r+B_2 \right )\left (C_2\theta+D_2 \right )$

از آنجا که ما با یک معادله دیفرانسیل خطی سروکار داریم، ترکیب خطی هر کدام از این پاسخ ها نیز خود یک پاسخ معادله دیفرانسیل است. پس مسئله ما یافتن ترکیب خطی ای از این پاسخ هاست که بتواند شرایط مرزی را برآورده سازد.

برای دو شرط اول، پاسخ دوم میتواند جوابگو باشد، کافی است که ضرایب مجهول را پیدا کنید. اما این پاسخ، دو شرط آخر را نمی تواند برآورده سازد. همچنین پاسخ اول، شرط سوم را به سادگی میتواند برآورده سازد، اما برای شرط چهارم توجه کنید که حاصلجمع چند تابع سینوسی نمی تواند تابع (f(θ را بسازد، مگر اینکه تعداد این جملات سینوسی بینهایت باشد و به عبارت دیگر، سری فوریه تابع (f(θ را تشکیل دهد. بنابراین برای ارضای شرط چهارم، لازم است که بینهایت پاسخ برای k های مختلف با هم جمع شوند.
در نهایت، ترکیبی خطی از پاسخ اول و دوم، جواب کامل مسئله خواهد بود.

**emgjey** · 06-12-2011, 16:53

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دو معادله دیفرانسیل معمولی که بدست آوردید، باید به فرم زیر باشد:

$\\\frac{\mathrm{d^2}\Theta (\theta ) }{\mathrm{d} \theta^2}+k^2\Theta (\theta)=0\\\\ r^2\frac{\mathrm{d^2}R(r) }{\mathrm{d} r^2}+r\frac{\mathrm{d}R(r) }{\mathrm{d} r}-k^2R(r)=0$

k در حالت کلی میتواند حقیقی یا موهومی باشد. برای k≠0 (حقیقی)، اگر جواب عمومی این معادلات را بدست آورید، در نهایت عبارت زیر برای u بدست می آید:

$u(r,\theta)=\left (A_1r^k+B_1r^{-k} \right )\left (C_1\sin k\theta+D_1\cos k\theta \right )$

برای k=0، عبارت زیر برای u بدست می آید:

$u(r,\theta)=\left (A_2\ln r+B_2 \right )\left (C_2\theta+D_2 \right )$

از آنجا که ما با یک معادله دیفرانسیل خطی سروکار داریم، ترکیب خطی هر کدام از این پاسخ ها نیز خود یک پاسخ معادله دیفرانسیل است. پس مسئله ما یافتن ترکیب خطی ای از این پاسخ هاست که بتواند شرایط مرزی را برآورده سازد.

برای دو شرط اول، پاسخ دوم میتواند جوابگو باشد، کافی است که ضرایب مجهول را پیدا کنید. اما این پاسخ، دو شرط آخر را نمی تواند برآورده سازد. همچنین پاسخ اول، شرط سوم را به سادگی میتواند برآورده سازد، اما برای شرط چهارم توجه کنید که حاصلجمع چند تابع سینوسی نمی تواند تابع (f(θ را بسازد، مگر اینکه تعداد این جملات سینوسی بینهایت باشد و به عبارت دیگر، سری فوریه تابع (f(θ را تشکیل دهد. بنابراین برای ارضای شرط چهارم، لازم است که بینهایت پاسخ برای k های مختلف با هم جمع شوند.
در نهایت، ترکیبی خطی از پاسخ اول و دوم، جواب کامل مسئله خواهد بود.

ممنون از پاسختون
فقط دو تا مشکل دارم:
آیا مقدار K^2 منفی هم میتونه باشه یا فقط باید حالات مثبت و صفر رو در نظر گرفت؟
قسمت قرمز رو اگه میشه کمی بیشتر توضیح بدید
مثلاً چرا نمیشه شرط چهارم رو با پاسخ دوم ارضا کرد؟

**lebesgue** · 06-12-2011, 21:57

نوشته شده توسط emgjey [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممنون از پاسختون
فقط دو تا مشکل دارم:
آیا مقدار K^2 منفی هم میتونه باشه یا فقط باید حالات مثبت و صفر رو در نظر گرفت؟
قسمت قرمز رو اگه میشه کمی بیشتر توضیح بدید
مثلاً چرا نمیشه شرط چهارم رو با پاسخ دوم ارضا کرد؟

k^2 می تواند منفی باشد، اما پاسخهایی که در این حالت بدست می آید، بدرد مسئله ما نمی خورد، یعنی نمی تواند در ارضای شرایط مرزی کمکی کند. توجه کنید که این شیوه برخورد با مسئله، متکی بر قضیه یکتایی پاسخ معادله لاپلاس است؛ اگر شرایط مرزی کاملاً مشخص باشند، کافی است شما (به هر طریقی که شده!) پاسخی بیابید که شرایط مرزی را ارضا کند و همچنین در معادله لاپلاس صدق کند، تنها پاسخ قطعاً همین خواهد بود.

پاسخ دوم تابعی خطی از θ است، در حالی که تابع (f(θ در حالت کلی لزوماً تابعی خطی نیست. البته اگر (f(θ به صورت تابعی خطی مشخص شده بود، در آنصورت پاسخ دوم میتوانست این شرط را ارضا کند، اما احتمالاً ارضای این شرط با شرایط دیگر ناسازگاری می داشت، در نتیجه لازم می شد پاسخ اول را نیز وارد کنید.

---------- Post added at 09:57 PM ---------- Previous post was at 09:53 PM ----------

توضیح بیشتر:

برای اینکه پاسخ دوم شرط اول را برآورده سازد، لازم است داشته باشیم:

$u(r,0)=\left (A_2\ln r+B_2 \right )D_2=u_1\Rightarrow A_2=0\\\\ \Rightarrow u(r,\theta)=B_2C_2\theta+B_2D_2=B'\theta+C'\\\\ u(r,0)=C'=u_1\Rightarrow u(r,\theta)=B'\theta+u_1$

برای اینکه پاسخ دوم شرط دوم را برآورده سازد، لازم است داشته باشیم:

$u(r,\alpha)=B'\alpha+u_1=u_2\Rightarrow B'=\frac{u_2-u_1}{\alpha}\\\\ \Rightarrow u(r,\theta)=\frac{u_2-u_1}{\alpha}\theta+u_1$

حال میتوان دید که چرا این پاسخ نمی تواند شرط سوم و چهارم را برآورده سازد.

**emgjey** · 06-12-2011, 22:38

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

k^2 می تواند منفی باشد، اما پاسخهایی که در این حالت بدست می آید، بدرد مسئله ما نمی خورد، یعنی نمی تواند در ارضای شرایط مرزی کمکی کند. توجه کنید که این شیوه برخورد با مسئله، متکی بر قضیه یکتایی پاسخ معادله لاپلاس است؛ اگر شرایط مرزی کاملاً مشخص باشند، کافی است شما (به هر طریقی که شده!) پاسخی بیابید که شرایط مرزی را ارضا کند و همچنین در معادله لاپلاس صدق کند، تنها پاسخ قطعاً همین خواهد بود.

پاسخ دوم تابعی خطی از θ است، در حالی که تابع (f(θ در حالت کلی لزوماً تابعی خطی نیست. البته اگر (f(θ به صورت تابعی خطی مشخص شده بود، در آنصورت پاسخ دوم میتوانست این شرط را ارضا کند، اما احتمالاً ارضای این شرط با شرایط دیگر ناسازگاری می داشت، در نتیجه لازم می شد پاسخ اول را نیز وارد کنید.

---------- Post added at 09:57 PM ---------- Previous post was at 09:53 PM ----------

توضیح بیشتر:

برای اینکه پاسخ دوم شرط اول را برآورده سازد، لازم است داشته باشیم:

$u(r,0)=\left (A_2\ln r+B_2 \right )D_2=u_1\Rightarrow A_2=0\\\\ \Rightarrow u(r,\theta)=B_2C_2\theta+B_2D_2=B'\theta+C'\\\\ u(r,0)=C'=u_1\Rightarrow u(r,\theta)=B'\theta+u_1$

برای اینکه پاسخ دوم شرط دوم را برآورده سازد، لازم است داشته باشیم:

$u(r,\alpha)=B'\alpha+u_1=u_2\Rightarrow B'=\frac{u_2-u_1}{\alpha}\\\\ \Rightarrow u(r,\theta)=\frac{u_2-u_1}{\alpha}\theta+u_1$

حال میتوان دید که چرا این پاسخ نمی تواند شرط سوم و چهارم را برآورده سازد.

ممنون از پاسخ کاملتون

**skyzare** · 07-12-2011, 12:45

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

1. شما حاصل $\left (\sqrt{x} \right )^2$ را برابر $\left | x \right |$ یا همان $\sqrt{x^2}$ گرفتید که درست نیست. درستش اینست که $\left (\sqrt{x} \right )^2$ برای x های نامنفی می شود همان x و برای x های منفی تعریف نشده است.

2. اگر صورت سوال دقیقاً همین باشد که نوشتید، پاسخ تست که نمی تواند درست باشد، چون عبارت داده شده دستکم به ازای x=4 تعریف شده است، بنابراین 4 باید عضو دامنه محسوب شود. همچنین پاسخ شما هم درست نیست، چرا که تنها بازه 0 تا π نیست که تابع سینوس در آن مثبت است.

با سلام ...

با تشکر از پاسختون .

1-با توجه به گفته های شما پس این دو تا تابع با هم مساوی و برابر نیستند .

$\sqrt{x^2}=\left ( \sqrt{x} \right )^2$

خوب یعنی باید این جوری بنویسیم ؟؟ ولی این جواب توی گزینه ها نیست .

باز کجاش اشتباه هست ؟؟

$\\y=x-\sqrt{4-x^2}\\\\ \left (y-x \right )^2=4-x^2\\\\ 2x^2-2yx+(y^2-4)=0 \\\\ x=\frac{2y\pm \sqrt{32-4y^2}}{4}$

خوب حالا دامنه تابع معکوس میشه برد تابع اصلی ؛ یعنی :

$\\32-4y^2\geq 0\\\\ \left | y \right |\leq 2\sqrt{2}$

2-بله تنها بازه 0 تا n نیست که sin داخلش مثبت هست در واقع برای sin باید این جوری بنویسیم :

درسته ؟

$\\2K\pi\leq x-3\leqslant 2K\pi+\pi\\\\ 2K\pi+3\leq x\leqslant 2K\pi+\pi+3\\\\$

از طرفی برای عبارت زیر ردیکال هم دامنه اش میشه :

$-4\leq x\leq 4$

حالا یابد چه جوری بینشون اشتراک بگیرم ؟

**hts1369** · 07-12-2011, 13:52

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

منم دقيقا چندبار هوپيتال گرفته بودم و يه جواب بدست اورده بودم شما اگه ميشه حداقل جواب اخر رو اينجا بذار ببينم درست حل كردم يا كه نه؟ ممنون ميشم

باید دو بار هوپیتال بزنی.

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن