اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**lebesgue** · 03-11-2011, 17:14

نوشته شده توسط emgjey [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام محضر اساتید
اثبات رابطه ی زیر را به کمک قضیه ی مانده ها میخواستم:

$\int_{0}^{\pi }\sin ^{2n}\theta d\theta =\pi \frac{(2n)!}{2^{2n-1}(n!)^{2})}$

$z=e^{ix}\Rightarrow dx=\frac{dz}{iz}\\\\ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{z-z^{-1}}{2i}$

$\Rightarrow \int_{0}^{\pi}\sin^{2n} (x)dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2n} (x)dx=\oint_{\left | z \right |=1}\left ( \frac{z-z^{-1}}{2i} \right )^{2n}\frac{dz}{2iz}$

حال کافی است که مانده اینتگرند در 0 محاسبه شود.

**Ship Storm** · 03-11-2011, 18:07

سلام بر متفکران و ریاضی دانان عزیز
2 تا سوال دارم ممنون میشم جوابش رو بدید
===

1-اگر 8 تاس متمایز را بریزیم احتمال اینکه تمام اعداد از 1 تا 6 ظاهر شود چقدر است ؟
2-از جعبه ای که دارای 5 مهره قرمز و 5 مهره سفید و 5 مهره آبی است 2 مهره به تصادف بیرون میکشیم ، به ازای هر مهره آّی 1 دلار و هر مهره سفید 2 دلار برنده میشویم ، اما به ازای هر مهره قرمز 3 دلار می بازیم ، اگر X میزان برد و باخت ما باشد مقادیر ممکن X و احتمال های متناظر با آن ها چقدر است ؟ تابع توزیع X را بدست بیاورید

**emgjey** · 04-11-2011, 01:53

ضمن تشکر از 1233445566 عزیز
بنده مشکل اصلیم محاسبه ی مقادیر مانده ها بود. به مشتق زیر میرسم که نمیدونم اونو چطور ساده کنم که بشه طرف دوم تساوی
$\frac{d^{2n}}{dz^{2n}}(-(z)^{4}+2z^{2}+1)^{n}$

**lebesgue** · 04-11-2011, 19:22

راهنمایی: از قضیه دو جمله ای استفاده کنید:

$(z-z^{-1})^{2n}=z^{2n}+\cdots +\begin{pmatrix}2n \\ n \end{pmatrix}(-1)^{n}z^0+\cdots +z^{-2n}$

در ضمن، جواب صحیح، یک ضریب 2 با آنچه که شما نوشتید، تفاوت دارد.

**MasterGeek** · 05-11-2011, 23:51

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.
سوال ایشون غلط نیست و در واقع یه عبارت وجود دارد رو تو متن باید به جای به ازای هر می نوشتند. در واقع اصل سوال اینه که اگه تابع پیوسته ی f ، بازه [a,b] رو در دامنه ی خودش بر روی بازه ی [a,b] تصویر کنه، ثابت کنید وجود دارد حداقل یک عضو بازه ی دامنه مانند c که: f(c)= c .

دوستانی که تمایل به حل این سوال با شرایط جدیدی که عرض کردم رو دارند این نکته رو هم بررسی کنند که در این مساله حداقل یک d عضو بازه ی مذکور وجود دارد به طوری که مشتق تابع f در نقطه ی d برابر با یک میشود.

اگه کسی جواب نداد خودم در آینده جوابش رو میذارم به شرط حیات!!

سلام.

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

موفق باشین.
90/8/12

بازم به نظرم ممکن نیست هنوز مگر اینکه شرط اینکه یکنوا بودن رو هم اضافه کنید....
چون مثلا در بازه.ی 0 تا 1 تابع زیر رو در نظر بگیرید:

$f(x)= \left\{\begin{matrix} -4x+2 \;\;\;\; x<0.5 \\ 0 \;\;\;\; x\ge 0.5 \end{matrix}\right.$

پس من شرط یکنوا بودن رو اضافه میکنم:
این قضیه
$f:[a\;\; b] \to [a\;\; b] \;\; \& f \;\;is \; monolitic \Rightarrow \exists \; c \in [a\;\;b] : \; f(c)=c$

پس باید در این صورت معادله.ی f(c)=c باید جوابی در بازه.ی a,b داشته باشد. چون تابع f یکنواست پس حتما خط y=c تابع f رو قطع میکنه...
اثبات رسمی تر این قضیه فکر کنم همون قضیه رول میشه یا همچین چیزی.....

---------- Post added at 11:51 PM ---------- Previous post was at 11:50 PM ----------

البته شرط پیوسته بودن هم به طور ضمنی میشه در یکنوائی جاش داد....

**SuperSt@r** · 06-11-2011, 14:51

سلام به همه دوستان عزیز
چنتا سوال داشتم که الان دوتاش رو میپرسم امیدوارم و ازتون خواهش میکنم جوابم رو بدید خیلی فوریه

1-فرض کنید دو تابع f و g از R به R هستند و پیوسته نیز هستند به طوری که برای هر x عضو اعداد گویا f(x=g(x ثابت کنید برای هر x عضو R نیز رابطه f(x=g(x برقرار است

2-ثابت کنید هیچ تابع پیوسته ای وجود ندارد که هر مقدار از بردش را دقیقا دو بار اختیار کند. و ایا تابع پیوسته ای وجود دارد که هر مقدار از بردش را دقیقا سه بار اختیار کند؟

ممنون میشم جوابم رو بدید خیلی فوریه

**ali_hp** · 07-11-2011, 02:25

نوشته شده توسط MasterGeek [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بازم به نظرم ممکن نیست هنوز مگر اینکه شرط اینکه یکنوا بودن رو هم اضافه کنید....
چون مثلا در بازه.ی 0 تا 1 تابع زیر رو در نظر بگیرید:

$f(x)= \left\{\begin{matrix} -4x+2 \;\;\;\; x<0.5 \\ 0 \;\;\;\; x\ge 0.5 \end{matrix}\right.$

پس من شرط یکنوا بودن رو اضافه میکنم:
این قضیه
$f:[a\;\; b] \to [a\;\; b] \;\; \& f \;\;is \; monolitic \Rightarrow \exists \; c \in [a\;\;b] : \; f(c)=c$

پس باید در این صورت معادله.ی f(c)=c باید جوابی در بازه.ی a,b داشته باشد. چون تابع f یکنواست پس حتما خط y=c تابع f رو قطع میکنه...
اثبات رسمی تر این قضیه فکر کنم همون قضیه رول میشه یا همچین چیزی.....

---------- Post added at 11:51 PM ---------- Previous post was at 11:50 PM ----------

البته شرط پیوسته بودن هم به طور ضمنی میشه در یکنوائی جاش داد....

سلام
مثالي كه شما زدي بازه صفر و يك به خودش تصوير نمي كنه، مثلا f(0)=2
و ٢ در بازه صفر و يك نيست.
نيازي به شرط يكنوايي هم نيست.
اين قضيه رو با به كار بردن قضيه مقدار مياني براي تابع f(x)-x روي بازه [a,b] ميشه ثابت كرد.

**ali_hp** · 07-11-2011, 03:26

نوشته شده توسط Ship Storm [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

1-اگر 8 تاس متمایز را بریزیم احتمال اینکه تمام اعداد از 1 تا 6 ظاهر شود چقدر است ؟

سلام
فرض کنید A پیشامد ظاهر نشدن حداقل یکی از اعداد یک تا شش در ریختن 8 تاس باشد.(که مکمل پیشامد مطلوب مساله است!)
فرض کنید A_i پیشامد ظاهر نشدن عدد i در ریختن این 8 تاس باشد.پس داریم:

$P(A)=P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup A_5\cup A_6)=\\\\ \sum P(A_i)- \sum_{i\neq j} P(A_i\cap A_j) + ... -P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap A_5\cap A_6)\\$

$=\sum_{k=1}^6 (-1)^{k-1}\binom{6}{k}(\frac{6-k}{6})^8$

پس احتمال اینکه همه اعداد یک تا شش ظاهر شوند می شود:

$1-P(A)=1-\frac{5167}{5832}=\frac{665}{5832}$

**ali_hp** · 07-11-2011, 04:19

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام به همه دوستان عزیز
چنتا سوال داشتم که الان دوتاش رو میپرسم امیدوارم و ازتون خواهش میکنم جوابم رو بدید خیلی فوریه

1-فرض کنید دو تابع f و g از R به R هستند و پیوسته نیز هستند به طوری که برای هر x عضو اعداد گویا f(x=g(x ثابت کنید برای هر x عضو R نیز رابطه f(x=g(x برقرار است

2-ثابت کنید هیچ تابع پیوسته ای وجود ندارد که هر مقدار از بردش را دقیقا دو بار اختیار کند. و ایا تابع پیوسته ای وجود دارد که هر مقدار از بردش را دقیقا سه بار اختیار کند؟

ممنون میشم جوابم رو بدید خیلی فوریه

1-برای هر x حقیقی یک دنباله از اعداد گویا مثل q_n در نظر بگیرید که به x میل کند(چنین دنباله ای وجود دارد،چرا؟) داریم:

$f(q_n)=g(q_n)\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} f(q_n)=\lim_{n\rightarrow \infty} g(q_n)\\\Rightarrow f(x)=g(x)$

که در نتیجه گیری اخر از پیوستگی f , g استفاده شده است.

2-فرض می کنیم دامنه توابع ما بازه باشن یا کل R ...
فرض کنید چنین تابعی وجود دارد x را یک مقدار در برد این تابع در نظر بگیرید،پس a,b وجود دارند که f(a)=f(b)=x و a<b . چون f پیوسته است،پس ماکسیمم مقدار خود را روی [a,b] در نقطه ای مثل c میگیرد.و f(c)>x .
حال باید یک نقطه دیگر مثل d موجود باشد که f(d)=f(c)l.(اینجا اگه شکل تابع رو در نظر بگیرین میبینین که d چه خارج [a,b]باشه چه داخلش با توجه به پیوسته بودن نمودار باعث میشه بعضی از مقادیر بیشتر از دوبار گرفته بشن!)
اگر d خارج از [a,b] باشه و مثلا d>b:
با استفاده از قضیه مقدار میانی روی بازه [b,d] برای هر t که f(b) < t < f(c)=f(d)l عدد حقیقی s وجود دارد که f(s)=t همچنین با بکاربردن مقدار میانگین روی بازه های [a,c] , [c,b] دو مقدار دیگر مثل s بدست می اید که f(s)=t باشد پس مقدار t را تابع f حداقل سه بار میگیرد که تناقض است.
حالت d داخل بازه [a,b] باشه هم تقریبا مشابه حل میشه.
برای قسمت دوم مساله هم نمودار چنین تابعی رو معرفی میکنیم!
حرف انگلیسی N رو در صفحه مختصات بنویسید!(البته N ای که یکم مایل باشه،نه قاِئم!)
از نقطه انتهایی شمال شرقی این N یک N دیگه بنویسید و این روندو ادامه بدین...همینطور انتهای جنوب غربی این N یک N دیگه بزارین و ادامه بدین...این نمودار تابعی رو نشون میده که پیوستست،با دامنه R وهر مقدار حقیقی رو دقیقا سه بار می گیره!البته میشه ضابطه هم براش بدست اورد...

**davy jones** · 07-11-2011, 13:07

نوشته شده توسط MasterGeek [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بازم به نظرم ممکن نیست هنوز مگر اینکه شرط اینکه یکنوا بودن رو هم اضافه کنید....
چون مثلا در بازه.ی 0 تا 1 تابع زیر رو در نظر بگیرید:

$f(x)= \left\{\begin{matrix} -4x+2 \;\;\;\; x<0.5 \\ 0 \;\;\;\; x\ge 0.5 \end{matrix}\right.$

پس من شرط یکنوا بودن رو اضافه میکنم:
این قضیه
$f:[a\;\; b] \to [a\;\; b] \;\; \& f \;\;is \; monolitic \Rightarrow \exists \; c \in [a\;\;b] : \; f(c)=c$

پس باید در این صورت معادله.ی f(c)=c باید جوابی در بازه.ی a,b داشته باشد. چون تابع f یکنواست پس حتما خط y=c تابع f رو قطع میکنه...
اثبات رسمی تر این قضیه فکر کنم همون قضیه رول میشه یا همچین چیزی.....

البته شرط پیوسته بودن هم به طور ضمنی میشه در یکنوائی جاش داد....

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
مثالي كه شما زدي بازه صفر و يك به خودش تصوير نمي كنه، مثلا f(0)=2
و ٢ در بازه صفر و يك نيست.
نيازي به شرط يكنوايي هم نيست.
اين قضيه رو با به كار بردن قضيه مقدار مياني براي تابع f(x)-x روي بازه [a,b] ميشه ثابت كرد.

سلام. با تشکر از دوستان بابت بحث و بررسی روی این مساله.
جواب نهایی رو جناب ali_hp دادند.

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوستانی که تمایل به حل این سوال با شرایط جدیدی که عرض کردم رو دارند این نکته رو هم بررسی کنند که در این مساله حداقل یک d عضو بازه ی مذکور وجود دارد به طوری که مشتق تابع f در نقطه ی d برابر با یک میشود.

برای اثبات این قسمت هم این شرط رو باید اضافه کرد که ابتدا فراموش کرده بودم و اون اینکه علاوه بر شروط قبلی بایستی f(a)=a و f(b)=b فرض شود.

موفق باشین.
90/8/16 مصادف با عید سعید قربان. عید همگی مبارک!!

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن