اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**ALt3rnA** · 08-08-2011, 02:01

- بله، همینطور است.
- در مورد این معادله، تابع [f(x) = [2x] + [3x را در نظر بگیرید. این تابع صعودی است. در نتیجه به سادگی میتوان نشان داد که مقدار تابع به ازای x<1/2 کمتر از 2 و به ازای x≥2/3 بزرگتر از 2 بوده
و همچنین در بازه (2/3 , 1/2] برابر 2 است.
- آن سوالی که میفرمایید را در صورت تمایل، بنویسید.

بله میشه همچین چیزی رو نشون داد ولی چطور میشه مجموعه جواب رو بدست آورد ؟ من تنها روشی که دیدم عدد گذاری یا رسم نمودار بوده که به نظر من روش محکمی نیست . روش جبری وجود نداره ؟
سوالی که بود [2x] + [3x] + [5x] رو مساوی 9 قرار داده بود و مجموعه جواب رو میخواست

**hts1369** · 08-08-2011, 10:26

من دو تا سوال تو این پست پرسیدم و دنبال جواب اخر این تستها هستم . راه حل اینها رو بلدم ولی در مورد اولی هر کاری کردم به جواب نرسیدم ودر مورد دومی به جوابی که تو گزینه ها بود رسیدم ولی اطمینان ندارم اگه دوستان راه حل و جواب اخر رو بدن ممنون میشم.

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**lebesgue** · 08-08-2011, 18:16

نوشته شده توسط dkhatibi [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سوال آزمون دکترای امسال بوده.
خط اول و دوم به کاربرده شده از کجا به دست آمده اند؟

البته با استقرای ریاضی میتوان درستی آن را نشان داد، اما از ابتدا میتوان اینگونه شروع کرد:
از نرخ رشد دنباله میتوان پاسخ را به فرم $a_n=A^{2^n}+B^{2^n}$ حدس زد. با صدق این پاسخ در رابطه بازگشتی داده شده بدست می آید:

$A^{2^{n+1}}+B^{2^{n+1}}=\left (A^{2^{n}}+B^{2^{n}} \right )^2-2\\\\ \Rightarrow A^{2^{n+1}}+B^{2^{n+1}}=A^{2^{n+1}}+B^{2^{n+1}}+2(AB)^{2^{n}}-2\\\\ \Rightarrow (AB)^{2^{n}}=1\\\\ \Rightarrow B=\frac{1}{A}\\\\ \Rightarrow a_1=A^2+\left (\frac{1}{A} \right )^2=\sqrt{5}$

و با حل این معادله بر حسب $A^2$ بدست می آید:

$A^2=\frac{\sqrt5+1}{2}=\varphi\Rightarrow A=\varphi^{\frac{1}{2}},B=\varphi^{-\frac{1}{2}}\\\\ a_n=\left (\varphi^{\frac{1}{2}} \right )^{2^n}+\left (\varphi^{-\frac{1}{2}} \right )^{2^n}=\varphi^{2^{n-1}}+\varphi^{-2^{n-1}}$

از آنجا که رابطه $\varphi^{-1} =\varphi-1$ برقرار است، این پاسخ معادل همان پاسخ پست قبلی است. می توان آن را به صورت زیر نوشت:

$a_n=\left (\varphi ^{2^{n-1}}+\varphi ^{-2^{n-1}} \right )\frac{\varphi ^{2^{n-1}}-\varphi ^{-2^{n-1}}}{\varphi ^{2^{n-1}}-\varphi ^{-2^{n-1}}}=\frac{\varphi ^{2^{n}}-\varphi ^{-2^{n}}}{\varphi ^{2^{n-1}}-\varphi ^{-2^{n-1}}}$

و از اینجا میتوان عبارت مورد نظر را به صورت زیر ساده کرد :

$g_n=a_1a_2\cdots a_n\frac{1}{a_{n+1}}\\\\ =\left (\frac{\varphi ^{2^{1}}-\varphi ^{-2^{1}}}{\varphi ^{2^{0}}-\varphi ^{-2^{0}}} \right )\left (\frac{\varphi ^{2^{2}}-\varphi ^{-2^{2}}}{\varphi ^{2^{1}}-\varphi ^{-2^{1}}} \right )\cdots \left (\frac{\varphi ^{2^{n}}-\varphi ^{-2^{n}}}{\varphi ^{2^{n-1}}-\varphi ^{-2^{n-1}}} \right )\left (\frac{\varphi ^{2^{n}}-\varphi ^{-2^{n}}}{\varphi ^{2^{n+1}}-\varphi ^{-2^{n+1}}} \right )\\\\ =\frac{\left (\varphi ^{2^{n}}-\varphi ^{-2^{n}} \right )^2}{\left (\varphi ^{2^{n+1}}-\varphi ^{-2^{n+1}} \right )\left (\varphi ^{2^{0}}-\varphi ^{-2^{0}} \right )}=\frac{\varphi ^{2^{n+1}}+\varphi ^{-2^{n+1}}-2}{\varphi ^{2^{n+1}}-\varphi ^{-2^{n+1}}}$

و اکنون به سادگی میتوان دید که :

$\lim_{n\rightarrow \infty}g_n=1$

**lebesgue** · 08-08-2011, 18:40

نوشته شده توسط ALt3rnA [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بله میشه همچین چیزی رو نشون داد ولی چطور میشه مجموعه جواب رو بدست آورد ؟ من تنها روشی که دیدم عدد گذاری یا رسم نمودار بوده که به نظر من روش محکمی نیست . روش جبری وجود نداره ؟
سوالی که بود [2x] + [3x] + [5x] رو مساوی 9 قرار داده بود و مجموعه جواب رو میخواست

خب اگر چنین چیزی را نشان بدهید، نشان داده اید که مجموعه جواب، بازه (2/3 , 1/2] است، چرا که مجموعه جواب، یعنی مجموعه اعدادی برای x که به ازای آنها معادله برقرار باشد.
برای مسئله دوم، در حالت کلی تابع $f(x)=\left \lfloor a_1x \right \rfloor+\left \lfloor a_2x \right \rfloor\cdots \left \lfloor a_nx \right \rfloor$ که در آن $a_i$ ها اعداد صحیح مثبت هستند را در نظر بگیرید.
مقدار این تابع، تنها در مضارب صحیح $1/a_i$ ها تغییر می کند و در میان آنها ثابت است. در نتیجه میتوان با عدد گذاری در نقاط مناسب، به سرعت بازه جواب را پیدا و سپس با توجه به صعودی بودن تابع، اثبات نمود.

**ALt3rnA** · 08-08-2011, 19:09

خب اگر چنین چیزی را نشان بدهید، نشان داده اید که مجموعه جواب، بازه (2/3 , 1/2] است، چرا که مجموعه جواب، یعنی مجموعه اعدادی برای x که به ازای آنها معادله برقرار باشد.

بله این که بدیهیه ! سوال من اینه که بازه رو از کجا باید پیدا کرد ؟ کدوم معادله رو باید حل کرد تا به این بازه رسید ؟ منظورم به جز عدد گذاری یا رسم نموداره !

برای مسئله دوم، در حالت کلی تابع $f(x)=\left \lfloor a_1x \right \rfloor+\left \lfloor a_2x \right \rfloor\cdots \left \lfloor a_nx \right \rfloor$ که در آن $a_i$ ها اعداد صحیح مثبت هستند را در نظر بگیرید.
مقدار این تابع، تنها در مضارب صحیح $1/a_i$ ها تغییر می کند و در میان آنها ثابت است. در نتیجه میتوان با عدد گذاری در نقاط مناسب، به سرعت بازه جواب را پیدا و سپس با توجه به صعودی بودن تابع، اثبات نمود.

بله خوب اینم مسلما با عدد گذاری حل میشه ولی عدد گذاری روش جالبی نیست .
مثلا توی این سوال مجموعه جواب تهی هست .
میخوام ببینم هیچ گونه راه حل جبری برای حل این طور سوالات نیست ؟

یه سوال دیگه هم داشتم . معیار خاصی برای تغییر یک تابع بصورت کلی وجود داره ؟ مثلا آیا با روشی غیر از نمودار یا استقرا میشه تشخیص داد که 2^n و دو به توان n در چه بازه هایی از هم بیشتر میشن ؟ یا لاقل تعداد جواب ها ؟

**lebesgue** · 08-08-2011, 20:07

نوشته شده توسط ALt3rnA [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بله این که بدیهیه ! سوال من اینه که بازه رو از کجا باید پیدا کرد ؟ کدوم معادله رو باید حل کرد تا به این بازه رسید ؟ منظورم به جز عدد گذاری یا رسم نموداره !
بله خوب اینم مسلما با عدد گذاری حل میشه ولی عدد گذاری روش جالبی نیست .
مثلا توی این سوال مجموعه جواب تهی هست .
میخوام ببینم هیچ گونه راه حل جبری برای حل این طور سوالات نیست ؟

معادله $f(x)=\left \lfloor a_1x \right \rfloor+\left \lfloor a_2x \right \rfloor+\cdots+ \left \lfloor a_nx \right \rfloor=m$ که در آن m و $a_i$ ها اعداد صحیح مثبت هستند را در نظر بگیرید. فرض کنید $b_1,b_2,\cdots$ دنباله مضارب صحیح مثبت $1/a_i$ ها باشد که به صورت صعودی مرتب شده است. می توان نشان داد که پاسخ معادله برابر است با بازه $[b_m,b_{m+1})$ .
اگر $b_m=b_{m+1}$ باشد، به این معناست که مجموعه جواب تهی است. اینکه آیا میتوان $b_m$ و $b_{m+1}$ را برحسب m و $a_i$ ها نوشت یا خیر را نمیدانم، اما گمان می کنم به سادگی شدنی نیست.
در ضمن، بسیاری از مسائل در ریاضیات، راه حل تحلیلی ندارند. بسیاری از معادلات نیز (مانند x = cosx) تنها به روش عددی حل می شوند.

**ali1234** · 09-08-2011, 04:25

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

من لقمه رو برات جویدم گذاشتم دهنت

سلام
دستت درد نكنه جويدي گذاشتي دهنم

اما مي خوام برام بيشتر بجويش !

اين يكي از تمرينهاي كتاب رياضي سوم دبيرستان اونهم رشته تجربيه

هنوز مشتق نخونده كه بتونه از هوپيتال استفاده كنه و از هم ارزي و ..... به همان دليلي كه گفتم نميشه استفاده كرد

فقط از محاسبات جبري ساده مثل فاكتور گيري و تجزيه و .... ميشه استفاده كرد

**ALt3rnA** · 09-08-2011, 12:22

نوشته شده توسط ali1234 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
دستت درد نكنه جويدي گذاشتي دهنم

اما مي خوام برام بيشتر بجويش !

اين يكي از تمرينهاي كتاب رياضي سوم دبيرستان اونهم رشته تجربيه

هنوز مشتق نخونده كه بتونه از هوپيتال استفاده كنه و از هم ارزي و ..... به همان دليلي كه گفتم نميشه استفاده كرد

فقط از محاسبات جبري ساده مثل فاكتور گيري و تجزيه و .... ميشه استفاده كرد

از اتحاد های مثلثاتی که میتونن استفاده کنن ؟ رابطه ی طلایی

**lebesgue** · 09-08-2011, 13:28

البته باز هم در انتها از هم ارزی sinx~x استفاده شده است.
من با یک تغییر در پاسخ بالا، راه حلی را در زیر می آورم که در چارچوب کتاب ریاضی سوم دبیرستان تجربی قابل پذیرش باشد!

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}\\\\\\=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}(2\sin^2 \frac{x}{2})}{x^3\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^3 \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\left (\frac{x}{2} \right )^3\cos x}$

با استفاده از قضیه مربوط به حد ضرب دو تابع، می توان نوشت:

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos \frac{x}{2}}{2\cos x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^3$

از قضیه مربوط به توان توابع (که نتیجه ساده از همان قضیه ضرب است) ، نتیجه می شود:

$L=\frac{1}{2}\left (\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^3=\frac{1}{2}$

**Samba** · 09-08-2011, 14:00

سلام

اين سوالو تو آموزش عالي گذاشته بودم و اونجا هم بهش جواب دادم

گفتم اينجا هم بذارمش تا ببينيم راه حل ديگه اي هم داره؟

دنباله زير به چه عددي همگراست؟

${a_{n}}=\frac{\sqrt[n]{n!} }{n}$

محتوای مخفی: اينم جواب من به اين سوال !

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن