اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[قله بلند]

سلام

سوال: فرض کنید n1 و n2 و n3 و n4 دو به دو نسبت به هم اولند اگر و فقط اگر
gcd(n1n2,n3n4)=gcd(n1n3,n2n4)=1

یعنی با دونستن همین دو تا ب.م.م، میشه ثابت کرد که این 4 تا، دو به دو نسبت به هم اولند.

حالا در قسمت دوم سوال یه جورایی می خواد که با دونستن این مطلب، این قضیه رو تعمیم بدیم که:

در حالت کلی تر نشان دهید که n1,n2,….,nk دو به دو نسبت به هم اولند اگر و فقط اگر مجموعه ای از سقف logk جفت از اعداد مشتق شده از ni، نسبت به هم اول باشند.

یعنی منظورش از سقف log4 همون دو تا ب.م.م ای هست که در خط سوم آوردم.

1-مثلاً سقف log2=1 یعنی با gcd(n1,n2)=1 مساله حله.
2-مثلاً سقف log3=2 یعنی با gcd(n1n2,n3)=1 و gcd(n1n3,n2)=1مساله حله.
3-مثلاً سقف log4=2 و ....

حالا اگر بخواهیم برای k=5 این قضیه رو اثبات کنیم، باید 3 تا از این gcd ها داشته باشیم و برای k=6 و 7 و 8.
اگر من بتونم حداقل برای 8 تای اول این 3 تا gcd رو بنویسم خوبه.

یه جورایی موندم چه طوریه n1n2n3 رو به دو قسمت تقسیم کنم و با دو نیمه n4n5n6 مقایسه کنم؟ و همچنین برای n5 و n7 و n8 که بتونم ازشون 3 تا gcd بیرون بیارم.

مثلاً با حساب و کتاب که وقت گیر هم هست برای k=5 به این سه تا gcd رسیدم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

و برای k=6

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

ولی با اون لم نمی دونم چه طوری می شه به این سه تا gcd رسید؟

[msm43njn]

جواب این سوال رو بطور مفصل می‌خوام:
تابع مولد معمولی مساله یافتن تعداد طرق انتخاب یک زیر مجموعه n>=11 عضوی {n,...3,2,1} به طوری که این مجموعه‌ها شامل هیچ دو عدد صحیح متوالی نباشد.
مطلب مربوط به ریاضیات گسسته بخش توابع مولد هست.

[farzaneh*f]

بچه ها منم دو تا سوال دارم که تا شنبه باید جوابشو ببرم سر کلاس ممنون می شم اگه یکی لطف کنه کمکم کنه :

1. lim 1/x(cot x - 1/x) , x-->0
حد 1 روی x در (کتانژانت x منهای 1 روی x ) و x میل می کنه به صفر

2. f(x) = 5(X^2) + a/(X^5) , X,a>0
کوچکترین a را پیدا کنید که به ازای هر x ،مقدار این تابع (5 در xبه توان 2 + a روی xبه توان 5) بزرگتر یامساوی 24 باشه

پیشاپیش ممنون

[قله بلند]

سلام
من برای n1 و n2 و n3 و n4 و n5 و n6 به این سه تا gcd رسیدم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

که وقتی تجزیه یک عنصری روش انجام می شه:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

[/SIZE]
به جای 15 ب.م.م دو عضوی.

حالا اگر برای 5 عضوی بخواهیم، n6 را از سه تا gcd بالا، حذف می کنیم و سه تا ب.م.م پایین هم حذف می شوند.
در ضمن، گام هایی که بر می دارند نیز به سقف logk ارتباط دارد.

درست گفتم؟

---------- Post added at 08:12 PM ---------- Previous post was at 08:11 PM ----------

بچه ها منم دو تا سوال دارم که تا شنبه باید جوابشو ببرم سر کلاس ممنون می شم اگه یکی لطف کنه کمکم کنه :

1. lim 1/x(cot x - 1/x) , x-->0
حد 1 روی x در (کتانژانت x منهای 1 روی x ) و x میل می کنه به صفر

2. f(x) = 5(X^2) + a/(X^5) , X,a>0
کوچکترین a را پیدا کنید که به ازای هر x ،مقدار این تابع (5 در xبه توان 2 + a روی xبه توان 5) بزرگتر یامساوی 24 باشه

پیشاپیش ممنون

سلام
آیا تقسیم عدد 1- بر عدد صفرف احتیاج به رفع ابهام داره؟ من این رو یادم رفته. اگر احتیاج داره، که جواب می شه عدد صفر و اگر احتیاج نداره می تونه، منهای بی نهایت و مثبت بی نهایت باشه.

[farzaneh*f]

سلام
آیا تقسیم عدد 1- بر عدد صفرف احتیاج به رفع ابهام داره؟ من این رو یادم رفته. اگر احتیاج داره، که جواب می شه عدد صفر و اگر احتیاج نداره می تونه، منهای بی نهایت و مثبت بی نهایت باشه.

می شه راه حل تونم توضیح بدین

[davy jones]

بچه ها منم دو تا سوال دارم که تا شنبه باید جوابشو ببرم سر کلاس ممنون می شم اگه یکی لطف کنه کمکم کنه :

1. lim 1/x(cot x - 1/x) , x-->0
حد 1 روی x در (کتانژانت x منهای 1 روی x ) و x میل می کنه به صفر

2. f(x) = 5(X^2) + a/(X^5) , X,a>0
کوچکترین a را پیدا کنید که به ازای هر x ،مقدار این تابع (5 در xبه توان 2 + a روی xبه توان 5) بزرگتر یامساوی 24 باشه

پیشاپیش ممنون

1- :

این حد به سمت بینهایت میره و در حقیقت حد نداره. (درستش این بود که بنویسم: limit is not exist )

-------------------

2- :

موفق باشین.
89/9/23

[lebesgue]

بچه ها منم دو تا سوال دارم که تا شنبه باید جوابشو ببرم سر کلاس ممنون می شم اگه یکی لطف کنه کمکم کنه :

1. lim 1/x(cot x - 1/x) , x-->0
حد 1 روی x در (کتانژانت x منهای 1 روی x ) و x میل می کنه به صفر

2. f(x) = 5(X^2) + a/(X^5) , X,a>0
کوچکترین a را پیدا کنید که به ازای هر x ،مقدار این تابع (5 در xبه توان 2 + a روی xبه توان 5) بزرگتر یامساوی 24 باشه

پیشاپیش ممنون

راهنمایی:
برای اولی، صورت و مخرج رو در xsinx ضرب کنید و با دو بار استفاده از قاعده هوپیتال، جواب بدست میاد 1/3-
برای دومی، مینیمم تابع رو با مشتق گیری بدست بیارید (بر حسب a) و برابر با 24 قرار بدید.

ویرایش:
البته من فرض کردم (cot x - 1/x) در صورت کسر هست وگرنه پاسخ davy jones عزیز درسته.

[lebesgue]

دوست عزیز قله بلند،
من در پست #3189 مسئله رو برای حالت خاصی که k=16 هست حل کردم.
با استقرای ریاضی میتونید قضیه:

نشان دهید که n1,n2,….,nk دو به دو نسبت به هم اولند اگر و فقط اگر مجموعه ای از سقف logk جفت از اعداد مشتق شده از ni، نسبت به هم اول باشند.

برای حالت خاصی که k توانی از 2 هست (یعنی k=2^t) اثبات کنید.

حالتی که k توانی از 2 نباشه رو هم میتونید به حالتی که باشه تبدیل کنید، کافیه تعدادی 1 به مجموعه تون اضافه کنید تا تعداد اعضای مجموعه برابر با توانی از 2 بشه.

به عنوان مثال، قضیه برای حالت k=8 به این صورت هست:

n1,n2,….,n8 دو به دو نسبت به هم اولند اگر و فقط اگر مجموعه ای از 3 جفت از اعداد مشتق شده از ni، نسبت به هم اول باشند.

اون سه جفت میتونن اینها باشن:

---------- Post added at 09:47 PM ---------- Previous post was at 09:44 PM ----------

برای حالت k=6 ، میتونید فرض کنید که n7 و n8 برابر 1 هستن، در اینصورت همون روابط بالا تبدیل میشن به:

[farzaneh*f]

راهنمایی:
برای اولی، صورت و مخرج رو در xsinx ضرب کنید و با دو بار استفاده از قاعده هوپیتال، جواب بدست میاد 1/3-
برای دومی، مینیمم تابع رو با مشتق گیری بدست بیارید (بر حسب a) و برابر با 24 قرار بدید.

ویرایش:
البته من فرض کردم (cot x - 1/x) در صورت کسر هست وگرنه پاسخ davy jones عزیز درسته.

بله درسته تو صورت کسر بود من نتونستم خوب تایپ کنم

خیییییییییییلی ممنون بچه ها ؛ قله ی بلند ، davy jones ، و 1233445566 از هر سه نفرتون بی نهایت ممنونم

2- :

موفق باشین.
89/9/23

فقط ببخشید یه اشکال دیگه برام پیش اومده ، من متشق این عبارت رو من خودم به صورت به دست میارم که نهایتش جوابم می شه 149.25 (به طور تقریبی) می شه بگین اشکال کارم کجاست؟ ممنون

[قله بلند]

سلام
جناب 1233445566 عزیز، خدا خیرتون بده. اگه بدونید، دیگه بریده بودم. قبل از اینکه به این تاپیک سر بزنم، با خودم گفتم که خدا کنه پاسخی اومده باشه.
وقتی پاسخ رو دیدم و فهمیدم چه اشتباهی می کردم، از ته دل دعاتون کردم.

می دونید چه اشتباهی می کردم؟ من گمان می کردم از اون ب.م.م های دو تایی با این روش کم می شه یعنی مثلاً برای اثبات اینکه 16 عدد صحیح، دو به دو اول باشند، به صورت ساده می تونی 120 تا ب.م.م. بنویسیم که من گمان می کردم باید تعداد اینها کم بشه تا بهینه بشن که اشتباه فکر می کردم .
درست این بود که با چهار تا ب.م.م کاری کنیم که اون 120 تا پوشش داده بشن نه اینکه از اون 120 تا کم بشن.