اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[davy jones]

به نظر من که درسته. اگه چند عدد رو به عوامل اولشون تجزیه کنیم (که حالا هر کدوم از این عوامل اول میتونه دارای توان بزرگتر از 1 هم باشه) بزرگترین مقسوم علیه مشترک بین این اعداد میشه اشتراک پایه ها (منظور از پایه همون عوامل اول هستش) که توان هر پایه برابر با کمترین توان موجودیه که در بین چند عدد اولیه وجود داره. بنابراین وقتی دو عدد نسبت به هم اولند (مثل 10 و 21) هر مقسوم علیه این دو عدد هم نسبت به هم اولند.

دوستا دیگه هم نظراتشون رو بگن و ما رو از سیاهی جهالت به نور معرفت رهنمون بشن

موفق باشین.
89/9/5

[قله بلند]

سلام
جناب davy jones عزیز
وقتی ما دو تا عدد اول داریم(مثلاً 2 و3) می گویم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حالا وقتی 4 تا عدد اول داریم(مثلاً 2 و3 و5 و7) می تونیم بگیم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

اکنون فرض کنیم 8 عدد اول داریم یعنی 2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13 و 17 و19
می توانیم بگوییم

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

یعنی انگار یه جورایی لگاریتم تعداد اعداد اول را در پایه 2 به دست می آوریم که طول دسته های ما می شود.
مثلاً با وجود 2 تا عدد اول داریم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

پس می نویسیم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

و برای 4 تا عدد اول می نویسیم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

و برای 8 تا عدد اول می نویسیم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

چه طوری این گفته ثابت می شه؟

[davy jones]

با برهان خلف به راحتی ثابت میشه. فرض کن که مثلا (n1n2,n3n4) برابر با یک نشه. پس حتما یه عامل اول مشترک بین قسمت اول و دوم هست. پس بنابراین مثلا n1 و n4 نسبت به هم اول نیستند که این تناقض داره چون اعدادی که در ابتدا انتخاب کرده بودیم همگی جزء اعداد اول بودند

موفق باشین.
89/9/5

[قله بلند]

سلام. ممنونم.
ولی من در پست قبلی ام به این مساله رسیدم که مثلاً اگر 8 تا عدد اول داشته باشیم می تونیم اینجوری هم از اونها ب.م.م بگیریم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

مثلاً اگر 16 تا عدد اول داشته باشیم می تونیم اینجوری هم از اونها ب.م.م بگیریم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

این رو می خواستم بدونم چه طوری ثابت می شه؟ یعنی چه طوری می شه با شمارش تعداد اعداد اول به این نتیجه رسید؟

[davy jones]

یعنی چه طوری می شه با شمارش تعداد اعداد اول به این نتیجه رسید؟

فکر نکنم به تعدادشون و اون لگاریتم ربطی داشته باشه. اعداد اول به هر تعداد و با هر تقسیم بندی همیشه و همواره نسبت به هم اولند. مثل این میمونه که شما 16 تا بار الکتریکی همنام رو در دو دسته ی 8 تایی (یا بعضی از اونها رو که تصادفی هم انتخابشون میکنین در دو دسته 4 تایی) قرار بدین و بگین چون دسته اول داره دسته دوم رو دفع میکنه پس هر کدوم از بارهای دسته ی اول هر کدوم از بارهای دسته ی دوم رو باید دفه کنه که این نتیجه گیری درست نیست چون بارهای همنام همواره و در هر شرایط و در هر تقسیم بندی که قرار بگیرن همواره همدیگه رو دفع میکنن. اعداد اول هم تا حدودی همینطور هستن. اونها همیشه نسبت به هم اولند و به خاطر این دسته بندی نیست که این نتیجه حاصل شده. امیدوارم مثالم گویا بوده باشه.

موفق باشین.
89/9/5

[قله بلند]

سلام.
دقیقاً صحبت شما درسته و قاعدتاً نباید قید logn در کار باشه ولی نمی دونم منظور از این قسمت سوال چیه؟
[QUOTE]
سوال:
در حالت کلی تر نشان دهید که n1,n2,….,nk دو به دو نسبت به هم اولند اگر و فقط اگر مجموعه ای از سقف logk جفت از اعداد مشتق شده از ni، نسبت به هم اول باشند.
[/QUOTE]

منظورش از logk جفت از اعداد مشتق شده از ni چیه؟

1-وقتی n1 ,n2 داریم، داریم:
[CODE]
gcd(n1,n2)=1
و log2=1
[/CODE]
یعنی 1 جفت از اعداد مشتق شده از ni
یعنی فقط می توانیم یک ب.م.م بنویسیم؟


2-وقتی n1 ,n2, n3 ,n4 داریم، داریم:
[CODE]
gcd(n1n2,n3n4)=1
gcd(n1n3,n2n4)=1
gcd(n1n4,n2n3)=1
[/CODE]


و log4=2
یعنی 2 جفت از اعداد مشتق شده از ni
یعنی فقط می توانیم دو تا ب.م.م بنویسیم؟ که در اینجا توانستیم 3 تا ب.م.م بنویسیم
یا اینکه به معنی حاصضلرب دو تا عدد اول هست؟

هر مدلی که فکر می کنم، منظورش رو از logn نمی فهمم چون بی معنی هست. ما می تونیم بنویسیم:
[CODE]gcd(n1,n2n3n4)=1[/CODE]

و یا حتی بنویسیم:
[CODE]gcd(n1n2n3n4)=1[/CODE]

به نظر شما منظور سوال از logk چیه؟

[davy jones]

به نظرم قبل از پرداختن به مساله ای که مطرح کردین بهتره اول این نکته رو برای خودمون روشن کنیم که آیا وقتی میگیم که n1 تا nk دو به دو نسبت به هم اولند، میشه نتیجه گرفت که n1 تا nk خودشون همگی عضو مجموعه ی اعداد اول هستند یا نه؟ که جواب منفیه. هر کدوم از ni ها میتونن خودشون جزء اعداد اول نباشن ولی با هیچیک از اعداد دیگه عامل مشترک نداشته باشند. مثل اعداد 6 ، 55 ، 91 ، 323 که اگه دقت کنیم هیچکدوم از این 4 عدد، اول نیستند ولی اینها 2 به 2 نسبت به هم اولند. توی این قضیه هم داره میگه که اگه k تا عدد داشته باشیم که دو به دو نسبت به هم اول باشند به هر روشی که به 2 دسته تقسیم بندی شون کنیم و اعداد هر دسته رو تو هم ضرب کنیم (اتفاقا مهم هم نیست که تعداد اعضای دو دسته با هم مساوی باشه) حاصلضرب اول نسبت به حاصلضرب دوم، اول هستش. یعنی ب.م.م حاصلضرب اول و دوم برابر با یک میشه. البته تو قضیه اثبات اینو از ما میخواد که به نظرم ساده ترین راه ممکن برای اثباتش استفاده از برهان خلفه. (اثبات مستقیم درسرش بیشتره) البته چون لفظ اگر و فقط اگر به کار رفته بنابراین باید یبار از فرض به حکم نتیجه بگیریم و قضیه رو ثابت کنیم و یه بار هم بالعکس. چون قضیه دوطرفه است. فکر کنم که مراحل اثبات از راه برهان خلف هم واضح باشه. دیگه من نمینویسم چون الان حال و حوصله فکر کردن ندارم

موفق باشین.
89/9/6

[javad2015]

کسی نیست؟..

[davy jones]

سلام.
قرار بود تو تاپیک اتاق ریاضیات بپرسین. من الان تازه متوجه شدم. دیگه به بزرگواری خودتون ببخشین
همونطور که واضحه هر عددی مانند x=2k به غیر از خودش که مقسوم علیه خودش هست، نزدیکترین مقسوم علیه بعدی اون عدد مطمئنا عدد k خواهد بود و اعداد بین k و 2k مطمئنا نمیتوانند مقسوم علیه عدد x باشند. بنابراین اعداد 2k , 2k-1 , 2k-2 , ... , k+1 مطمئنا اعدادی هستند که هیچکدام مقسوم علیه همدیگر نیستند. بدیهی است که بیشترین تعداد اعداد موجود در این رشته ی اعداد که همانطور که گفتیم هیچکدامشان مقسوم علیه همدیگه نیستند هنگامی رخ خواهد داد که ما بزرگترین عدد موجود در بین اعداد 1 , 2 , 3 , 4 , ... , 2n را که همان 2n هست را انتخاب کنیم. در این صورت مجموعه ی اعداد 2n , 2n-1 , ... n+1 هیچکدام مطمئنا مقسوم علیه یکدیگر نخواهند بود. تعداد اعداد این رشته برابر با n تاست. و اما در ادامه بدیهی است که هر کدام از اعداد بین 1 تا n را که انتخاب کنیم (مانند y) از آنجایی که 2y قطعا از 2n بزرگتر نیست، پس حتما 2y برابر با یکی از اعداد 2n , 2n-1 , ... n+1 خواهد بود و بنابراین عدد n+1 ام را نمیتوان طوری انتخاب کرد که مقسوم علیه هیچکدام از اعداد انتخاب شده ی قبلی نباشد.

موفق باشین.
89/9/6

[davy jones]

سلام. برای عوض شدن حال و هوای تاپیک هم که شده، این سوال آسون رو طرح کردم. دوستان هر کی مایله جواب بده.

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید:

موفق باشین.
89/9/6