اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[saeedta]

دیوی جونز عزیز (تو دزدان دریایی کارائیب این شکلی نبودی!)
میشه راهنمایی کنی چطور میشه تو متلب رسمش کرد

[arash7960]

سلام .
مسئله به همراه پاسخ:

Martina has three weeks to prepare for a tennis tournament. She decides to play at least one set every day but not more than 36 sets in all. Show that there is a period of consecutive days during which she will play exactly 21 sets.?
Soln. Let a1 represent # sets played on day 1, a2, … a21 defined similarly. Then create a list of 21 natural numbers: { a1, a1 + a2, … , a1 + a2 + … + a21 }. Since she plays at least one set each day, each ai ≥ 1. Also a1 + a2 + … + a21 represents the total number of sets she will play, which is at most 36. Therefore 1 ≤ a1 < a1 + a2 < … < a1 + a2 + … + a21 ≤ 36. There is only one natural number between 1 and 36 that is divisible by 21, namely 21. So if a1 + a2 + … + ai = 21 for some i, then we are done. Otherwise all the sums are not divisible by 21 so they must fall into the 20 congruence classes of the integers mod 21 = 20 , , 2 , 1 K . However, we have 21 numbers and 20 congruence classes, so by the Pigeon-Hole Principle, at least two terms,
bs = a1 + a2 + … + as and bt = a1 + a2 + … + at, belong to the same congruence class, and so are divisible by 21. Therefore bs − bt = at+1 + at+2 + … + as and she plays 21 games on the days t+1 through s
.

پس اگر بازیکن در روز 21 1م 16 بازی انجام بده و 20 روز قبلی را روزی فقط 1 بازی بکنه چگونه بر خلاف خواسته مسئله ، دنباله‌ای از روزهای متوالی که بازیکن طی آنها دقیقاً 21 بار بازی کرده ، نخواهیم داشت!.
البته مطمئنم که صورت سوال و پاسخش رو خوب متوجه نشدم.
لطفآ یه پاسخ قانع کننده بدید.
ممنون.

[Iron]

سلام

چرا دیگه، از روز 16 ام تا بیست و یکم 21 بازی انجام داده.

میگه فرض می کنیم a1 تعداد بازی در روز اول و به همین ترتیب a2 تا a21 تعداد بازی در هر روز باشه.
بعد یه دنباله b تعریف می کنیم بصورت:

{ a1, a1 + a2, … , a1 + a2 + … + a21 }

از اونجا که کمترین مقدار ai برابر با یک هست، مسلمه که این دنباله صعودیه.
حالا یا حاصل تقسیم یکی از اعضای این دنباله بر 21 صفره که از اونجاییکه اعضای این دنباله بین 1 تا 36 هستن، پس اون عضو برابر با 21ه. پس حکم در این حالت صادقه.
یا اینطور نیست، پس اگر یک دنباله دیگه تعریف کنیم که اعضای اون باقیمانده تقسیم دنباله قبلی بر عدد بیست و یک باشه، اعضای اون اعداد طبیعی بین 1 تا بیست خواهند بود. پس بنابر اصل لانه کبوتری حداقل دوتا از این باقیمانده ها با هم برابر خواهند بود. (21 عدد که میتونن مقدار طبیعی بین 1 تا بیست داشته باشن)
اگر ایندوتا دنباله s ام و t ام باشن داریم:

bs = a1 + a2 + … + as
bt = a1 + a2 + … + at

پس باقیمانده تقسیم تفاضل ایندو بر 21 بخشپذیره و از اونجا که تفاضل بین اعضای دنباله b همیشه 1 تا 35ه میشه نتیجه گرفت که باقیمانده این تفاضل برابر با 21ه. یعنی

bs-bt=a(t+1)+...+as=21
منظور از a(t+1) همون a با اندیس t+1 هست.

پس در این حالت هم حکم اثبات شد.

[arash7960]

سلام

چرا دیگه، از روز 16 ام تا بیست و یکم 21 بازی انجام داده.

میگه فرض می کنیم a1 تعداد بازی در روز اول و به همین ترتیب a2 تا a21 تعداد بازی در هر روز باشه.
بعد یه دنباله b تعریف می کنیم بصورت:

{ a1, a1 + a2, … , a1 + a2 + … + a21 }

از اونجا که کمترین مقدار ai برابر با یک هست، مسلمه که این دنباله صعودیه.
حالا یا یکی از اعضای این دنباله بر 21 صفره که از اونجاییکه اعضای این دنباله بین 1 تا 36 هستن، پس اون عضو برابر با 21ه. پس حکم در این حالت صادقه.
یا اینطور نیست، پس اگر یک دنباله دیگه تعریف کنیم که اعضای اون باقیمانده تقسیم دنباله قبلی بر عدد بیست باشه، اعضای اون اعداد طبیعی بین 1 تا بیست خواهند بود. پس بنابر اصل لانه کبوتری حداقل دوتا از این باقیمانده ها با هم برابر خواهند بود. (21 عدد که میتونن مقدار طبیعی بین 1 تا بیست داشته باشن)
اگر ایندوتا دنباله s ام و t ام باشن داریم:

bs = a1 + a2 + … + as
bt = a1 + a2 + … + at

پس باقیمانده تقسیم تفاضل ایندو بر 21 بخشپذیره و از اونجا که تفاضل بین اعضای دنباله b همیشه 1 تا 35ه میشه نتیجه گرفت که باقیمانده این تفاضل برابر با 21ه. یعنی

bs-bt=at+...+as=21

پس در این حالت هم حکم اثبات شد.

ممنون از توضیحت.( تازه عضو شدم. دکمه تشکر داریم؟ کجاست؟)
در مورد پاسخ سوال، فکر کنم چون هنوز با بعضی مفاهیم آشنایی کامل ندارم( پایه دوم دبیرستان هستم ) یکم گیج میزنم. البته اصل لانه کبوتر رو خوندم.
اگر دنباله { 36, 20 ,..., 1,2,3} = { a1, a1 + a2, … , a1 + a2 + … + a21 } را داشته باشیم، اونوقت اگر یک دنباله دیگه تعریف کنیم که اعضای اون باقیمانده تقسیم دنباله قبلی بر عدد بیست باشه، چگونه اعضای اون اعداد طبیعی بین 1 تا بیست خواهند بود؟. منظورم اینه که باقیمانده 0 هم داریم! (باقیمانده 20 بر 20(.
اگر برای دنباله ای که گفتم یکبار دیگر توضیح دهید ممنون خواهم شد.
یک خواهش دیگه: متن سوال را ترجمه دقیقش را بنوسید.

[davy jones]

دیوی جونز عزیز (تو دزدان دریایی کارائیب این شکلی نبودی!)
میشه راهنمایی کنی چطور میشه تو متلب رسمش کرد

راستش من خیلی به متلب وارد نیستم.

باید ماتریسهای مجاورت رو به صورت string تعریف کنی (با استفاده از loop هر درایه ای رو سر جای خودش بنشونی)
بعد به هر روشی که بلدی (یا از خودت ابتکار میزنی) به ازای هر راس گراف، یک مختصات تعریف کنی (میتونه تو فضای سه بعدی هم باشه)
بعد با استفاده از دستور plot ، راسهایی که قرارن به هم وصل بشن رو وصل کنی.

شاید دستورهای مستقیمی برای گراف وجود داشته باشه ولی من بلد نیستم.
ببخشین که دیر جواب دادم. پستتون رو دیر دیدم.

موفق باشین.
89/8/19

[hamedlo]

من در خصوص درونیابی چند گانه به شیوه تفاضلات متناهی سوال دارم و می خوام بدونم برای یک حالت سه متخیره فرمول عمومی به چه شکل خواهد بود. یک نفر به من گفت باید درونیابی لاگرانژ چند متغیره رو جستجو کنم ولی چیزی پیدا نکردم ممنون میشم اگه راهنمایی کنید.

با تشکر

[panizir]

يكي هم جواب اينو بده لطفا:
اگر f مشتق پذير باشد و

ثابت كنيد وجود دارد c به طوري كه

[kian99]

سلام اگر یک کاغذ را 12 بار تا کنیم ضخامت آن 41 سانتیمتر میشود برای ارتفاع اورست کاغذ را چند بار تا کنیم؟

[Mohammad Hosseyn]

يكي هم جواب اينو بده لطفا:
اگر f مشتق پذير باشد و

ثابت كنيد وجود دارد c به طوري كه

سادست دوست من ...

اول گفته مشتق پذیر باشه ... شروط مشتق پذیری اینه :

در دامنه پیوشته و شکستگی نداشته باشه. شکستگی رو فرض می کنیم نداشته باشه. ولی پیوسته بودن مهمه.

مثلا این نمودار رو نگاه کن :



شرط اون حدود بی نهایت رو داره. ولی پیوسته نیست.

حالا اگر پیوسته باشه ، چرا باید یه c باشه با مشخصات مسئله ؟

علت اینه که اگه پیوسته باشه و در دو بینهایت به صفر میل کنه در واقع تابع نمی تونه یکنوا باشه (اکیدا صعودی یا نزولی). به همین خاطر حتما باید یه نقطه اکسترمم درش پیدا بشه. نقطه اکسترمم هم می دونیم که اگر در اون نقطه مشتق وجود داشته باشه ، باید مشتقش صفر باشه. طبق فرض هم شکستگی نداریم (نقاطی که مشتق پذیر نیستند ولی می تونن اکسترمم باشند.).

شکل ساده و کلی این نوع توابع اینجوریه... ممکنه تابعی باشه که چندین نقطه مثل c داره. یا تابع خطی y=0 باشه که بازم در مسئله صدق میکنه و بی نهایت c در اون یافت میشه.



حالا نمی دونم به زبان ریاضی راه حلی داره یا نه . ولی این توضیح مسئله هست . اگه این توضیح رو می دونستی و دنبال راه حل ریاضی بودی ، عذر خواهی میکنم.

[Mohammad Hosseyn]

سلام اگر یک کاغذ را 12 بار تا کنیم ضخامت آن 41 سانتیمتر میشود برای ارتفاع اورست کاغذ را چند بار تا کنیم؟

برای مسئله تابع باید بسازی ... تابع ارتفاع برای کاغذ های تا شده هست :



n هم تعداد دفعات تا زدن هست. L هم طول اولیه. حالا طول اولیه رو نداریم. از همون 41 سانت شدن بعد 12 بار تا زدن میشه طول اولیه رو بدست آورد.





حالا طول اورست (884800 سانتی متر) به عنوان h میزاریم تو معادله که n جواب مسئله بدست بیاد.





n هم میشه لگاریتم عدد سمت راست در پایه 2 !!!

جواب نهایی هم با ماشین حساب ، حساب کردم ، شده :

26.397439855391348034443923210629

حالا شما 27 بار تا بکن درست میشه

امیدوارم جایی در قرار دادن اعداد مشکل نبوده باشه. وگرنه راه حل فکر میکنم همینه .