◄◄ اتــاق اثبــات فــرمــول ها،قــضــایــا و احــکام هــنــدســه ►►

[ali_hp]

راستش من نقد راه حل قبليرو همون يك ماه پيش كامل تايپ كرده بودم ، ولي ارسال نشد ، و بعدش هم فراموش كردم كه ارسالش كنم!
دوست عزيز ، من تمسخر نكردم! واقعا تبريك گفتم! همونطوري كه وقتي خودم چيز جديديرو مي فهمم به خودم تبريك ميگم!من واقعا هدفم تحسين روند فكري شما بود فقط!نه چيز ديگه اي.
براي اثبات قضيه تون كافي است عمودي از K بر BC رسم كنيد ، و محل برخورد امتداد اين عمود با AC را D بناميد ، حال با توجه به منفرجه بودن زواياي BKD و CKD و يا همانطور كه خودتان مشابها ثابت كرديد مي دانيم كه
BK+CK < BD + CD
حال با توجه به نامساوي مثلث ، داريم :
BD < BA + DA
كه با جمع زدن اين دو نامساوي حكم قضيه نتيجه ميشه .
دقت كنيد كه در اين راه حل هم ما با دنباله اي از تغييرات مثلث KBC رو اهلي تر كرديم!
حالا برگرديم به مساله اصلي :
اول اينكه منظور من از سادگي اين بود لحظه اولي كه اين سوالو ميبينيم فكر مي كنيم حكمش چيز واضحييه و ما حس مي كنيم كه مساله سادست .
مشابه ايده اثبات قضيه عمل مي كنيم!
هرچند ظاهرا در مورد مثلثهاي محاط در يك مثلث ، اونايي كه راسهاشون روي اضلاع مثلث بيروني هست ميتونن محيطهاي بيشتري داشته باشن ، اما مساله در مورداينها ساده تره ، چون اينا مثلثهايي اهلي ترن!
در مورد مثلثهايي كه راسهاشون روي ضلعهاي مثلث اصلي هست ، كافيه سه بار نامساوي مثلث نوشته و با هم جمع كنيم تا حكم ثابت شه.
در مورد يك مثلث دلخواه داخل مثلث بيروني ، هدف اينه كه سعي كنيم با يه تغييراتي كه محيطو كم نمي كنن راس هاشو بندازيم روي اضلاع ( مثل كاري كه در مورد قضيه كرديم!)
مثلث داخلي رو xyz مي ناميم ارتفاع xh رو رسم كنيد تا امتدادش از طرف x محيط مثلث در نقطه q قطع كنه ، حال طبق قضيه ( البته اگه xyz زواياش حاده باشه) qyz محيطش بيشتر از xyz است و با ادامه روند مي توان همه راسها رو روي ضلعها انداخت!
در حالتي هم كه بعضي از مثلثهاي اين روند زاويه منفرجه داشته باشن به سادگي قابل اصلاحه.
البته از همون اول هم ميشه يه جوري مثلث داخلي xyz رو به مثلث بيروني به طور خوبي ربط داد، كافيه ضلع xy رو از طرف y و ضلع yz رو از طرف z و ضلع zx رو از طرف x امتداد بديم تا اضلاع مثلث ABC رو قطع كنن ، حالا با نوشتن چند تا نامساوي مناسب !و جمع كردن اونها ميشه حكمو نتيجه گرفت!

[Kesel]

بسیار هوشمندانه بود ! به نظر خودم تنها نقطه ی تاریک اثبات قضیه ی * اثبات وجود نقطه ی D بود که به قول شما اثباتش به دشواری اثبات خود حکم هست . ایده ی استفاده از قضیه ی حمار برای اثبات قضیه ی * خیلی محدودیت ها رو به نظرم کنار می گذاره .
راه حلی که شما فرمودید استفاده ی چندین و چند باره از این قضیه ی * هست که جالب بود و تونسته بودید مثلث T2 رو اهلی کنید.
یعنی هر سه راس مثلث T2 رو انداختید روی اضلاع T1 .
حالا که از نامساوی مثلثی برای اثبات قضیه ی * استفاده کردید راه زیر به نظرم ساده تر از چند بار استفاده کردن از قضیه ی * و در نهایت استفاده ی مجدد از قضیه ی حمار هست و این که برهان خلف هم داره آخرش (برهان مورد علاقه ی من!) :

می دونیم که هم دوران و هم انتقال ایزومتری هستند . یعنی فاصله ی نقاط رو تغییر نمی دن و در نتیجه محیط تغییری نمی کنه . یکی از رئوس غیر منفرجه ی مثلث T2 رو انتقال می دیم روی یکی از اضلاع T1 (مهم نیست کدوم ضلع). حالا حول همون راس ، مثلث T2 رو دوران می دیم تا ضلع رو به رو به زاویه ی منفرجه یا قائمه (اگر زاویه ی منفرجه یا قائمه داشتیم در غیر این صورت ضلع رو به رو به هر زاویه ای) ، منطبق بر ضلع مثلث T1 بشه . و به شکل زیر از از قضیه ی * برای اثبات حکم استفاده می کنیم :





مثلث ABC همان مثلث T1 است و DEF همان دوران و انتقال یافته ی مثلث T2 .
خط HJ عمود بر ضلع BC و قطع کننده ی ضلع AC در نقطه ی J است. نقطه ی J را به دو نقطه B و C وصل می کنیم (B و C نقاط ابتدا و انتهای ضلعی هستند که در قسمتی از این ضلع مثلث ها با هم مشترکند)
با استفاده از قضیه ی * داریم :



قبلا شرط کردم که زوایای D و F حق منفرجه یا قائمه بودن را ندارند در غیر این صورت دوران داده می شدند تا جای نقطه ی کنونی E رو پر کنند .

زوایای BDJ و CFJ منفرجه هستند .(چون EFH و HDE حاده هستند (چون ارتفاع EH درون مثلث است)) بنابراین : (در هر مثلث ضلع رو به رو به زاویه ی منفرجه بزرگترین ضلع است)



با جمع زدن دو نامساوی بالا داریم :



که بنا بر قضیه ی * نتیجه می شود :



با با جمع زدن دو نامساوی سبز رنگ بالا ثابت می شود :



حال این نامساوی را با نامساوی قرمز رنگ بالا جمع می زنیم تا به دست بیاید :



حالا با توجه به عبارت بالا اگر قرار باشد محیط مثلث T2 بزرگتر از محیط مثلث T1 باشد ، ایجاب می کند که ضلع DF بزرگتر از ضلع BC باشد (به سادگی می توان نشان داد) که این با فرض در تناقض است . ما فرض کردیم مثلث T2 درون مثلث T1 باشد که موجب این است که هیچ یک از اضلاع T2 از T1 خارج نشود .

البته از همون اول هم ميشه يه جوري مثلث داخلي xyz رو به مثلث بيروني به طور خوبي ربط داد، كافيه ضلع xy رو از طرف y و ضلع yz رو از طرف z و ضلع zx رو از طرف x امتداد بديم تا اضلاع مثلث ABC رو قطع كنن ، حالا با نوشتن چند تا نامساوي مناسب !و جمع كردن اونها ميشه حكمو نتيجه گرفت!

این قسمت رو متوجه نشدم.یعنی می گید محل برخورد رئوس T2 و اضلاع T1 رو به هم وصل کنیم ؟ از کجا معلوم محیط این مثلث جدید بیشتر از T2 باشه؟ نامساوی مثلث رو برای چه چیزی می نویسید ؟

[ali_hp]

انتقال و دوران ایده جالبیه ، فقط باید بگین که چرا میشه با انتقال و دوران طوری دو راس مثلث داخلی رو روی یک ضلع مثلث بیرونی انداخت که " تمام مثلث داخلی" همچنان داخل مثلث بیرو نی باقی بمونه!
در مورد اون راه حل دیگه هم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[Kesel]

انتقال و دوران ایده جالبیه ، فقط باید بگین که چرا میشه با انتقال و دوران طوری دو راس مثلث داخلی رو روی یک ضلع مثلث بیرونی انداخت که " تمام مثلث داخلی" همچنان داخل مثلث بیرو نی باقی بمونه!
در مورد اون راه حل دیگه هم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگر داخل هم نیفته باز هم مشکلی ایجاد نمی کنه :
فرض می کنیم در هیچ صورتی ممکن نباشد که با دوران و انتقال ، مثلث T2 کاملا درون T1 قرار گیرد لذا ایجاب می کند :



چون مثلث T2 درون T1 واقع شده ، لذا مساحت کمتری دارد :





با جمع زدن سه نامساوی سبز حکم اثبات می شه و دیگه نیازی هم به قضیه * و حمار نخواهد بود.
ضمنا این راه حلی که توضیح دادید هم کوتاهه هم خیلی شیرینه.به نظرم از این راه حل شما ساده تر نداشته باشه این مساله.
با تشکر

[ali_hp]

اگر داخل هم نیفته باز هم مشکلی ایجاد نمی کنه :
فرض می کنیم در هیچ صورتی ممکن نباشد که با دوران و انتقال ، مثلث T2 کاملا درون T1 قرار گیرد لذا ایجاب می کند :

اين قسمت استدلال كامل نيست ، دقيقا چرا ايجاب مي كنه؟
دقت كنيد كه براي اينكه بتوانيم مثلث داخلي رو به شكلي كه شما مد نظرتونه در بياريم ، مشكل فقط بزرگ بودن انداز ارتفاع مثلث داخلي نيست!

[Kesel]

اين قسمت استدلال كامل نيست ، دقيقا چرا ايجاب مي كنه؟
دقت كنيد كه براي اينكه بتوانيم مثلث داخلي رو به شكلي كه شما مد نظرتونه در بياريم ، مشكل فقط بزرگ بودن انداز ارتفاع مثلث داخلي نيست!

واضحه . شما اگر محور طول ها رو روی ضلع CB در نظر بگیرید ، برای این که مثلث T2 بیرون از T1 باشه لازمه که نقطه ای در مثلث T2 وجود داشته باشه که عرض بیشتری از عریض ترین نقطه ی T1 داشته باشه. ضمن این که توجه کنید که هر سه ارتفاع T2 باید بزرگتر از هر سه ارتفاع T1 باشد . در صورتی که فقط دو ارتفاع یا فقط یک ارتفاع بلند تر داشته باشیم با دوران می تونیم T2 رو درون T1 جا بدیم (چون یک یا دو ارتفاعش کوچک تر از T1 خواهد شد)

دقت كنيد كه براي اينكه بتوانيم مثلث داخلي رو به شكلي كه شما مد نظرتونه در بياريم ، مشكل فقط بزرگ بودن انداز ارتفاع مثلث داخلي نيست!

چه مشکل دیگه ای می تونه وجود داشته باشه ؟

[ali_hp]

واضح نيست ! باز هم اثباتي از ادعاتون ارايه نكردين!خطرناكترين كلمه رياضيات " واضح " هست!
البته از نظر شهودي هم حرفتون واضح نيست ، ممكنه نقاطي از مثلث داخلي بدون اينكه ارتفاع بيشتري از ارتفاع مثلث بيروني داشته باشن ، خارج از مثلث بيروني قرار بگيرن ، بخصوص وقتي قاعده مثلث داخلي خيلي جاي مانور نداشته باشه و یکی از زوایای قاعده مثلث داخلی از زاویه نظیرش (؟) در مثلث بیرونی بزرگتر باشه!
البته اينارو من براي شهود ميگم و حتي حل اين مشكلات به منزله اثبات نيست!به نظر من بايد يكم دقيقتر فكر و صحبت كنيد، يعني يكم به زبون رياضي!
بررسي حالتهاي ممكنه از نظر خودمون ، و بدترين حالتها از نظر خودمون ، و ديدن درستي حكم در مورد اون حالتها ، براي ايده و شهود گرفتن خیلی خوبه ، اما اثبات نيست.

[Kesel]

خب نه من فک کنم منظورم رو بد رسوندم یا در واقع واضح نرسوندم.
ببینید من متوجهم شما چی می فرمایید ، منظورتون همچین چیزی هست دیگه :


الان اگر از F بر BC عمود کنیم ، کوچکتر می شه از این که از A به BC عمود کنیم در حالی که قسمتی از T2 خارج از T1 هست .
من این رو فک می کنم اشاره کردم شاید واضح نگفتم که اگه به همچین شکلی برخوردیم ، این رو می تونیم با دوران دادن ، درون مثلث T1 بندازیم . چرا ؟ چون الان همون چیزی پیش اومده که من اول اثباتم با شرط هایی که گذاشتم رامش کردم :

می دونیم که هم دوران و هم انتقال ایزومتری هستند . یعنی فاصله ی نقاط رو تغییر نمی دن و در نتیجه محیط تغییری نمی کنه . یکی از رئوس غیر منفرجه ی مثلث T2 رو انتقال می دیم روی یکی از اضلاع T1 (مهم نیست کدوم ضلع). حالا حول همون راس ، مثلث T2 رو دوران می دیم تا ضلع رو به رو به زاویه ی منفرجه یا قائمه (اگر زاویه ی منفرجه یا قائمه داشتیم در غیر این صورت ضلع رو به رو به هر زاویه ای) ، منطبق بر ضلع مثلث T1 بشه

ببینید یعنی اون زاویه ی DEF طبق شرطی که گذاشتم حق نداره منفرجه باشه . به محض این که منفرجه شد دورانش می دیم تا راس منفرجه روی BC نیفته

بنابراین این قسمت رو با شرطی که گذاشته بودم کاملا می شه برطرف کرد

حالا اگه منفرجه نبود شکلی غیر از شکل زیر نخواهیم داشت :



این رو هم من پیش بینی کرده بودم . این بار نیاز به انجام عمل انتقال داریم .



فقط دو حالت وجود داره که مثلث T2 ارتفاعی کوچک تر از ارتفاع T1 داشته باشه ، ولی کل T2 درون T1 نباشه . اولین حالت رو می شه با دوران و دومی رو هم با انتقالمی شه استاندارد کرد.

حالتی که هر سه ارتفاع T2 بزرگتر از T1 است در حالی که T2 درون T1 باشد ، محال است ولی من نیازی به اثبات محال بودنش ندارم چون بر فرض محال ، همونطوری که توی پست قبل اشاره کردم ، خدشه ای به حکم وارد نمی کنه.

بنابراین اگر شما ضلع BC رو محور x ها در نظر بگیرید فقط در صورتی مثلث T2 بیرون قرار خواهد گرفت که نقطه ای روی آن ، عرض بیشتری نسبت به بالاترین نقطه ی T1 داشته باشد. در غیر این صورت می شه با شروطی که گذاشتم مرتفعشون کرد .

حرف من رو از لحاظ شهودی قبول دارید ؟ اگر قبول دارید من حاضرم از لحاظ ریاضی هم روش فکر کنم که با فرمول این بحث رو ثابت کنم
ممنون

[ali_hp]

خب نه من فک کنم منظورم رو بد رسوندم یا در واقع واضح نرسوندم.
ببینید من متوجهم شما چی می فرمایید ، منظورتون همچین چیزی هست دیگه :


الان اگر از F بر BC عمود کنیم ، کوچکتر می شه از این که از A به BC عمود کنیم در حالی که قسمتی از T2 خارج از T1 هست .
من این رو فک می کنم اشاره کردم شاید واضح نگفتم که اگه به همچین شکلی برخوردیم ، این رو می تونیم با دوران دادن ، درون مثلث T1 بندازیم . چرا ؟ چون الان همون چیزی پیش اومده که من اول اثباتم با شرط هایی که گذاشتم رامش کردم :


ببینید یعنی اون زاویه ی DEF طبق شرطی که گذاشتم حق نداره منفرجه باشه . به محض این که منفرجه شد دورانش می دیم تا راس منفرجه روی BC نیفته

بنابراین این قسمت رو با شرطی که گذاشته بودم کاملا می شه برطرف کرد

با توجه به ادامه استدلالتون ، شما مجاز به استفاده از شرطهایی که برای رام کردن گذاشتین ، نیستین!یعنی اینکه شما می خواین استدلالتدنو برای هر سه ارتفاع تعمیم بدین ، و بگین که هر ارتفاع مثلث داخلی "متناظرا" از یک ارتفاع مثلث بیرونی بزرگتره.(و اینجا هم باید بیشتر دقت کنید!حتی اینکه ثابت کنید همه ارتفاعهای مثلث داخلی از "یک" ارتفاع مثلث بیرونی بزرگتره ، کافی نیست!) پس مثلا الان استدلالتون ارتفاع خارج شده از F رو پوشش نمیده.
لطفا کمی با دقت بیشتر ادامه بدین!مشکل همون چیزیه که اول گفتم ، این ایجاب کردن واضح نیست ، و اثباتی هم براش ارایه نکردین!

حالا اگه منفرجه نبود شکلی غیر از شکل زیر نخواهیم داشت :



این رو هم من پیش بینی کرده بودم . این بار نیاز به انجام عمل انتقال داریم .



فقط دو حالت وجود داره که مثلث T2 ارتفاعی کوچک تر از ارتفاع T1 داشته باشه ، ولی کل T2 درون T1 نباشه . اولین حالت رو می شه با دوران و دومی رو هم با انتقالمی شه استاندارد کرد.

حالتی که هر سه ارتفاع T2 بزرگتر از T1 است در حالی که T2 درون T1 باشد ، محال است ولی من نیازی به اثبات محال بودنش ندارم چون بر فرض محال ، همونطوری که توی پست قبل اشاره کردم ، خدشه ای به حکم وارد نمی کنه.

بنابراین اگر شما ضلع BC رو محور x ها در نظر بگیرید فقط در صورتی مثلث T2 بیرون قرار خواهد گرفت که نقطه ای روی آن ، عرض بیشتری نسبت به بالاترین نقطه ی T1 داشته باشد. در غیر این صورت می شه با شروطی که گذاشتم مرتفعشون کرد .

حرف من رو از لحاظ شهودی قبول دارید ؟ اگر قبول دارید من حاضرم از لحاظ ریاضی هم روش فکر کنم که با فرمول این بحث رو ثابت کنم
ممنون

مثالتون خیلی خاصه ، لزومی نداره راسها بر هم منطبق باشن.و البته:

بخصوص وقتي قاعده مثلث داخلي خيلي جاي مانور نداشته باشه و یکی از زوایای قاعده مثلث داخلی از زاویه نظیرش (؟) در مثلث بیرونی بزرگتر باشه!

شکلهایی که شما رسم کردین فقط ویژگی دوم از این دو ویژگی خاصو داره ، حالا اگه قاعده مثلث داخلی جای مانور نداشته باشه ، یعنی بزرگ باشه ،(تقریبا هم اندازه ضلع نظیرش در مثلث بیرونی!) دیگه اصلا واضح نیست که میشه با انتقال مشکل حل کرد.(البته شما هم اثباتی یا شهودی! از اینکه میشه با انتقال مشکلو حل کرد ارایه نکردین.)
باز هم میگم ، به نظر من باید دقیقتر فکر کنید ، و سعی کنید چیزهایی که به نظرتون درسته رو اثبات کنید...
نه ، من از نظر شهودی هم قبول ندارم حرفتونو .
این مساله که ایا میشه واقعا یک مثلث داخل مثلث دیگرو با انتقال و دوران یک ضلعشو انداخت روی مثلث بیرونی مساله جالبیه.البته مساله ای که شما برای تکمیل راه حلتون نیاز دارید دقیقا این نیست!فقط اگه بتونین مثلثی همنهشت با مثلث داخلی رو جایی که مد نظرتون هست رسم کنید ، حله!
و البته راه حلی هم براش ندارم.به نظرم خیلی ساده نباشه!
اگر فقط هدفتون این باشه که دو راس مثلث داخلی بیافتن روی اضلاع مثلث بیرونی (نه لزوما روی یک ضلع ) کاره سختی نیست ، ولی ادامه راه حل هم عوض میشه یکم!

[Kesel]

من فکر می کنم منظورم رو کامل متوجه نشدید . ولی خب باز هم مهم نیست چون شما به چیزی اشاره کردید که دیگه به نظرم لازم نیست استدلالم رو توضیح بدم :

شکلهایی که شما رسم کردین فقط ویژگی دوم از این دو ویژگی خاصو داره ، حالا اگه قاعده مثلث داخلی جای مانور نداشته باشه ، یعنی بزرگ باشه ،(تقریبا هم اندازه ضلع نظیرش در مثلث بیرونی!)

بله این مساله رو تصور کرده بودم منتهی تصویر سازی ذهنیم اشتباه بود ، در این حالتی که گفتید بی نهایت مثلث قابل رسمن که صحبت من رو نقض می کنن ، یعنی مشکلشون با انتقال و دوران حل نمی شه .
بنابراین استدلال من کامل نیست و غیر قابل ارائه هست مگر این که کامل بشه (که حتما متوجه شدید چه قدر دشوار هست سروکله زدن با مثلثی که حتی با این همه شرط باز هم رام نمی شه)

در هر حال هر دو راه حل شما به نظر من درست هستند و راحت و قابل فهم

ممنون