◄◄ اتــاق اثبــات فــرمــول ها،قــضــایــا و احــکام هــنــدســه ►►

[lebesgue]

از پاسخ شما سپاسگزارم.

توجه داریم که برای یافتن بزرگترین محیط ممکن باید هر سه ضلع بزرگترین مقادیر خود را اختیار کنند.

این گزاره کمی ابهام دارد. اگر طول بزرگترین ضلع T1، برابر m باشد، در اینصورت هر کدام از اضلاع T2 به طور جداگانه، میتوانند در بازه 0 تا m تغییر کنند، اما نه به طور همزمان. بزرگترین مقدار برای هر ضلع را چه در نظر می گیرید؟ توجه دارید که اگر x و y دو متغیر مستقل باشند، آنگاه z=x+y زمانی بیشینه می شود که هر کدام از x و y بیشینه شوند. اما اگر x و y به یکدیگر وابسته باشند، نمیتوان چنین گفت، و شاید امکان نداشته باشد هر دو همزمان بیشینه شوند.

1 - برای ساده تر شدن مساله یکی از محور ها را (به نام x) منطبق (حالت خاصی از توازی) بر یکی از اضلاع مثلث T1 در نظر می گیریم . هم چنین باز هم برای ساده شدن ، مبدا مختصات را نیز منطبق بر یکی از دو راس سر ضلع مذکور فرض می کنیم.
اکنون بزرگ ترین ضلعی که از نظر مختصه ی اول ممکن است درون این مثلث جای گیرد ، ضلعی است موازی ضلع منطبق بر محور x ها و با اختلاف ناچیز از آن . در هر حال این ضلع ، کوچک تر از ضلع منطبق بر محور x هاست.

منظور شما از "بزرگترین ضلع از نظر مختصه اول" چیست؟

[Kesel]

این گزاره کمی ابهام دارد. اگر طول بزرگترین ضلع T1، برابر m باشد، در اینصورت هر کدام از اضلاع T2 به طور جداگانه، میتوانند در بازه 0 تا m تغییر کنند، اما نه به طور همزمان. بزرگترین مقدار برای هر ضلع را چه در نظر می گیرید؟ توجه دارید که اگر x و y دو متغیر مستقل باشند، آنگاه z=x+y زمانی بیشینه می شود که هر کدام از x و y بیشینه شوند. اما اگر x و y به یکدیگر وابسته باشند، نمیتوان چنین گفت، و شاید امکان نداشته باشد هر دو همزمان بیشینه شوند.

درست می فرمایید.شاید باید از کلمه ی ممکن استفاده می کردم.درهر حال منظور از «بزرگترین مقدار خود» ، مقداری است که بیش تر از آن ممکن نباشد . طبیعتا برای رسم ضلع اول محدودیتی نداریم اما برای رسم اضلاع دیگر قاعدتا عدم استقلال ، محدودیتی ایجاد می کند . این محدودیت در جواب کلی مساله تاثیر گذار نیست و صرفا بزرگترین مقدار ممکن مد نظر است.

ما باید محور های مختصات را طوری قرار دهیم که بزرگترین ضلع قابل رسم درون مثلث T1 ، دقیقا همان ضلعی باشد که بیشترین مختصه ی اول را دارد. یعنی اگر مبدا مختصات را طوری انتخاب کردیم که بزرگترین پاره خط درون مثلث ، دارای بزرگترین مختصه ی اول نبود ، فورا مبدا را روی یکی از دو راس دیگر تنظیم می کنیم تا بالاخره این شرط برقرار شود.به صورت خیلی ساده تر محور x ها را منطبق بر بزرگترین ضلع می گیریم ولی چون به کار بردن وسیله ی اندازه گیری شاید قابلیت استدلال نداشته باشد از عبارت «منطبق بر بزرگترین ضلع» پرهیز کردم.
به این اشکال توجه کنید :


اما برای رسم ضلع دوم ، محدودیت این است که این ضلع حتما باید از یکی از دو سر ضلعی که در مرحله ی 1 رسم کردیم ، رسم شود. توجه کنید که مجموع دو ضلع دوم و سوم زمانی حد اکثر می شود که دقیقا چسبیده به اضلاع مثلث T1 باشند.(بنا به قضیه ی *)

قضیه ی *

شرط : اگر نقطه ی K درون مثلث ABC باشد.

حکم : BK+KC<AB+AC

موارد استفاده :

با استفاده از این قضیه می توان اثبات کرد:
الف : که مجموع دو ضلع مثلث T2 درصورتی بیشینه است که بی نهایت به دو ضلع مثلث T1 نزدیک باشد.
ب : در هر صورت مجموع دو ضلع مثلث درونی کوچک تر از مجموع دو ضلع مثلث بیرونی است.

توضیحات : چنین قضیه ای در هندسه به چشم من نخورده است.برای همین ممکن است این قضیه قبلا مطرح و یا حتی اثبات شده باشد.در هر حال من در این مساله نیازمند طرح این قضیه بودم.اگر جایی مطرح شده یا اثبات دیگری یا مشابه دارد ، این اثبات را هم به آن ها اضافه کنید اگر که نه ، گویا باید به نام من شود (!)

شکل :


متن اثبات قضیه :

ازنقطه ی A خطی عمود بر ضلع BC رسم می کنیم . نقطه ی D را طوری انتخاب می کنیم که اولا D روی AH قرار گیرد و ثانیا :

رابطه ی 1 :

توجه داریم که :



لذا خواهیم داشت :



به طور مشابه می توان اثبات کرد :



با جمع زدن طرفین دو نامساوی بالا داریم :



با توجه به شرط (رابطه ی 1) و چایگذاری در سمت راست عبارت خط قبل حکم ثابت می شود :




همانطور که دیدیم در این قضیه ، ضلع اول هر دو مثلث را منطبق گرفتیم . بنابراین اگر حکم برای حالت انطباق درست باشد ، برای حالتی که ضلع مثلث درونی فاصله ای ناچیز از بیرونی دارد نیز صادق خواهد بود و مجموع سه ضلع T2 حتی کوچکتر از مقدار به دست آمده در قضیه خواهد شد. (قیاس اولویت)

ضمنا استفاده از قضیه ی فیثاغورس فقط در حالت خاصّ وجود زوایه ی قائمه قابل استدلال است و مطرح کردن این قضیه در این مساله در حالت کلی چندان منطقی به نظر نمی رسد.

پ.ن : اثبات قضیه ی بالا با استفاده از قضایای دیگر هم امکان پذیر است مثل «ضلع رو به رو به زاویه ی بزرگتر ، بزرگتر از ضلع رو به رو به زاویه ی کوچکتر است» منتهی اثبات کوچکتر یا بزرگتر بودن زاویه ، کار را دشوار می کند

ممنون از توجه شما

[Headphone]

سلام

میدونیم که حجم قطاعی از یک کره ( برش وتری ) رو از فرمول بدست میارن . که R شعاع کره و h ارتفاع قطاع هستش . ( البته اگه درست خاطرم باشه )

کنجکاو شدم ببینم که آیا اثباتی برای این فرمول وجود داره ؟ ( حتما وجود داره )

[lebesgue]

اگر از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] استفاده کنید، میتوانید ببینید که حجم مورد نظر برابر با انتگرال زیر است:

که پس از محاسبه و ساده سازی، به همان عبارت شما میرسد.

[lebesgue]

Kesel گرامی،

از آنجا که پرسش، اثبات یک گزاره نسبتاً بدیهی را میخواهد، انتظار داریم گزاره ای نابدیهی تر از آن، برای اثبات بکار گرفته نشود. این درست است که اگر طول بزرگترین ضلع T1 برابر m باشد، امکان ندارد که هیچ کدام از اضلاع T2 بزرگتر از m باشند، اما در جای خود، نیاز به اثبات دارد. آن قضیه ای هم که بیان کردید، در صورتی قابل استفاده است که ابتدا نشان دهید حتماً یکی از اصلاع T2 باید منطبق بر یک ضلع T1 باشد. در ضمن این را اضافه کنم که، اگر چه در صورت سوال بطور روشن اشاره نشده، اما اضلاع و رئوس مثلث T2 میتوانند روی اضلاع مثلث T1 باشند.

البته ما در اینجا به دنبال ساده ترین اثباتها هستیم، اما اثبات شما با اضافه کردن چند گام میانی، به نظر من درست است. من نیز چند اثبات در نظر داشتم، که شاید در فرصتی دیگر آنها را بنویسم.

-------------------------------
پرسشی که مطرح شد، در واقع پیش درآمدی بود برای پرسش زیر:

چهاروجهی T2 درون چهاروجهی T1 جای دارد. آیا امکان دارد که مجموع طول شش یال T2 بزرگتر از مجموع طول شش یال T1 باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.

منبع: اضافه خواهد شد.

[Kesel]

متشکرم
اگر امکان داره قبل از حل و رفع پرسش چهار وجهی ، مساله ی مثلث رو به طور کامل پاسخ دهید چون اولا پیش درآمدی بر این پرسش دوم هست و ثانیا مفاهیمی مثل "بدیهی تر" یا "نابدیهی تر" متر و مقیاس دقیقی ندارند.اگر اثبات دیگه ای هست من خوشحال می شم بدونمش. این مساله رو جنابعالی توی هوپا هم مطرح فرمودید منتهی باز هم جوابی پذیرفته نشده واسه همین خیلی مشتاقم راه اثباتش رو بدونم.یا اگر فکر می کنید می شه بین گام های راه حل من گام دیگه ای گذاشت باز هم خوشحال می شم بدونمش.
با تشکر

[Kesel]

لطفا حذف شود

[Kesel]

من بیشتر رفتم روی این مساله فکر کردم و یه اثبات دیگه براش نوشتم . اولش یه نقص هایی داشت که الان فرصت کردم برطرفشون کردم . به نظرم این راه حل اصلا قسمت مبهمی نداشته باشه.
خوشحال می شم نظرتون رو بدونم .
مطابق شکل یک دایره درون هر مثلث محاط می کنیم.

چون هر دایره درون مثلث محاط شده است بنابراین مساحت هر دایره کوچک تر از مساحت مثلث محیط خود است (طبق تعریف محاط بودن) :




با تقسیم طرفین دو عبارت بالا خواهیم داشت:



همچنین می دانیم مساحت هر یک از مثلث های T1 ویا T2 برابر با مجموع مساحت های سه مثلث به وجود آمده در شکل است :





اکنون به بیان و اثبات قضیه ی زیر می پردازیم :
قضیه : اگر مثلث T2 درون مثلث T1 باشد ، آنگاه محیط T1 بزرگتر از محیط T2 خواهد بود.

اثبات :
برهان خلف : فرض می کنیم که محیط T1 کوچک تر یا مساوی محیط T2 است :



با توجه به روابط سبز رنگ نتیجه می گیریم :



اما در صورت قضیه فرض شده که مثلث T2 درون مثلث T1 است ، یعنی مساحت T1 بزرگتر از مساحت T2 می باشد :



بنا به دومین رابطه ی سبز داریم :



که این مغیر با نتیجه ی به دست آمده ای است که در بالا با رنگ قرمز مشخص شده است ، لذا در مسیر اثبات نقیض حکم به تناقض منطقی برخورد کردیم ؛ بنابراین نقیض حکم باطل و حکم اثبات می شود.

[ali_hp]

درست می فرمایید.شاید باید از کلمه ی ممکن استفاده می کردم.درهر حال منظور از «بزرگترین مقدار خود» ، مقداری است که بیش تر از آن ممکن نباشد . طبیعتا برای رسم ضلع اول محدودیتی نداریم اما برای رسم اضلاع دیگر قاعدتا عدم استقلال ، محدودیتی ایجاد می کند . این محدودیت در جواب کلی مساله تاثیر گذار نیست و صرفا بزرگترین مقدار ممکن مد نظر است.

ما باید محور های مختصات را طوری قرار دهیم که بزرگترین ضلع قابل رسم درون مثلث T1 ، دقیقا همان ضلعی باشد که بیشترین مختصه ی اول را دارد. یعنی اگر مبدا مختصات را طوری انتخاب کردیم که بزرگترین پاره خط درون مثلث ، دارای بزرگترین مختصه ی اول نبود ، فورا مبدا را روی یکی از دو راس دیگر تنظیم می کنیم تا بالاخره این شرط برقرار شود.به صورت خیلی ساده تر محور x ها را منطبق بر بزرگترین ضلع می گیریم ولی چون به کار بردن وسیله ی اندازه گیری شاید قابلیت استدلال نداشته باشد از عبارت «منطبق بر بزرگترین ضلع» پرهیز کردم.
به این اشکال توجه کنید :


اما برای رسم ضلع دوم ، محدودیت این است که این ضلع حتما باید از یکی از دو سر ضلعی که در مرحله ی 1 رسم کردیم ، رسم شود. توجه کنید که مجموع دو ضلع دوم و سوم زمانی حد اکثر می شود که دقیقا چسبیده به اضلاع مثلث T1 باشند.(بنا به قضیه ی *)

قضیه ی *

شرط : اگر نقطه ی K درون مثلث ABC باشد.

حکم : BK+KC<AB+AC

موارد استفاده :

با استفاده از این قضیه می توان اثبات کرد:
الف : که مجموع دو ضلع مثلث T2 درصورتی بیشینه است که بی نهایت به دو ضلع مثلث T1 نزدیک باشد.
ب : در هر صورت مجموع دو ضلع مثلث درونی کوچک تر از مجموع دو ضلع مثلث بیرونی است.

توضیحات : چنین قضیه ای در هندسه به چشم من نخورده است.برای همین ممکن است این قضیه قبلا مطرح و یا حتی اثبات شده باشد.در هر حال من در این مساله نیازمند طرح این قضیه بودم.اگر جایی مطرح شده یا اثبات دیگری یا مشابه دارد ، این اثبات را هم به آن ها اضافه کنید اگر که نه ، گویا باید به نام من شود (!)

شکل :


متن اثبات قضیه :

ازنقطه ی A خطی عمود بر ضلع BC رسم می کنیم . نقطه ی D را طوری انتخاب می کنیم که اولا D روی AH قرار گیرد و ثانیا :

رابطه ی 1 :

توجه داریم که :



لذا خواهیم داشت :



به طور مشابه می توان اثبات کرد :



با جمع زدن طرفین دو نامساوی بالا داریم :



با توجه به شرط (رابطه ی 1) و چایگذاری در سمت راست عبارت خط قبل حکم ثابت می شود :




همانطور که دیدیم در این قضیه ، ضلع اول هر دو مثلث را منطبق گرفتیم . بنابراین اگر حکم برای حالت انطباق درست باشد ، برای حالتی که ضلع مثلث درونی فاصله ای ناچیز از بیرونی دارد نیز صادق خواهد بود و مجموع سه ضلع T2 حتی کوچکتر از مقدار به دست آمده در قضیه خواهد شد. (قیاس اولویت)

ضمنا استفاده از قضیه ی فیثاغورس فقط در حالت خاصّ وجود زوایه ی قائمه قابل استدلال است و مطرح کردن این قضیه در این مساله در حالت کلی چندان منطقی به نظر نمی رسد.

پ.ن : اثبات قضیه ی بالا با استفاده از قضایای دیگر هم امکان پذیر است مثل «ضلع رو به رو به زاویه ی بزرگتر ، بزرگتر از ضلع رو به رو به زاویه ی کوچکتر است» منتهی اثبات کوچکتر یا بزرگتر بودن زاویه ، کار را دشوار می کند

ممنون از توجه شما

ظا هرا شما در ابتداي اثبات ، از اين استفاده مي كني كه هر پاره خطي داخل مثلث از بزرگترين ضلع مثلث كوچكتر است. بعد ميخواي از قضيه اي كه مطرح كردي نتيجه بگيري كه كه مجموع دو پاره خط ديگه هم از دو ضلع ديگه مثلث كو چكتره .كه البته اين قسمت به نظر من ابهام داره ، حتي جمله " دقيقا چسبيده به اضلاع مثلث باشن " معناي رياضيش مشخص نيست .
و البته مشخص نيست كه بايد چسبيده به كدام دو ضلع باشن! اگه چسبيده به ضلع بزرگتر و يه ضلعه ديگه باشن مشكل ايجاد ميشه در ادامه راه حل.
البته اثبات قضيه تون هم درست نيست ، چون وجود نقطه D با خواصي كه شما مد نظرتون هست بديهي نيست . و اصلا يه جورايي معادل حكم قضيه است !( البته اثبات وجود نقطه D از خود قضيه سخت تره به نظره من)
البته قضيه با ايده اي مشا به ايده شما قابل حله ، و بعد هم با همين قضيه ميشه مساله رو حل كرد.
يه نكته ساده كه ميتونه مفيد باشه ، اينه كه در يك مثلث ضلع رو برو به زاويه منفرجه بزرگترين ضلع هست.
راستي بابت قضيه اي هم كه كشف كردين تبريك ، به هر حال چه جديد باشه چه نباشه ( كه نيست) ، به نام شما هم مي شود!
در مورد اين راه حل اخرتونم ، همون اولش دو تا نامساوي همجهت رو به هم تقسيم كردين ! كه مشكل داره اين كار!
به نظر من روند اولتون كه سعي ميكردين چيزايي كه درك و شهودتون بهتون ميگه رو به زبون رياضي بنويسين ، بهتر از اينه كه بخواين با بازي با فرمولها مساله رو حل كنين.
احتمالا شما هم حس مي كني كه اين مساله خيلي سادست و حكمش اصلان قوي نيست! ولي مشكل اينه كه خيلي هم وحشيه! يعني يه مثلث دلخواه كه داخل مثلث ديگه محاطه شايد يه جورايي ارتباط كمي با مثلث اصلي داره ، پيشنهاد من اينه كه سعي كنيد با دنباله اي از تغييرات كه محيط مثلث رو كم نميكنن ، اين مثلث وحشي دروني رو به يك مثلث اهلي تر تبديل كنيد! كه ارتباطات بهتري با مثلث بيروني داره.

[Kesel]

دوست من ای کاش نقد راه حل قبلی رو یک ماه پیش می نوشتید تا من همونجا ازش استفاده می کردم.نمی تونم درک کنم چی باعث شده بعد از یک ماه پاسخ بدید . در هر حال ممنون

البته قضيه با ايده اي مشا به ايده شما قابل حله ، و بعد هم با همين قضيه ميشه مساله رو حل كرد.

چرا پس حلش نمی کنید ؟ من اینو توی پست قبلی ازتون درخواست کردم

راستي بابت قضيه اي هم كه كشف كردين تبريك ، به هر حال چه جديد باشه چه نباشه ( كه نيست) ، به نام شما هم مي شود!

اصلا منطورتون رو متوجه نمی شم . من وقتی دارم بین صحبت هام شوخی می کنم شما باید مسخره کنید ؟ نمی تونستید فقط جایی که این قضیه اثبات شده رو ذکر کنید ؟ هیچ معنایی غیر از تمسخر از این جملتون نمی بینم

در مورد اين راه حل اخرتونم ، همون اولش دو تا نامساوي همجهت رو به هم تقسيم كردين ! كه مشكل داره اين كار!

دقیقا ! این چیزیه که به عنوان کمک از شما قبول می کنم . کاملا به جا اشاره فرمودید و راهکار من اشتباه هست (اگر ماه بعد کسی این رو تکرار نکنه)

به نظر من روند اولتون كه سعي ميكردين چيزايي كه درك و شهودتون بهتون ميگه رو به زبون رياضي بنويسين ، بهتر از اينه كه بخواين با بازي با فرمولها مساله رو حل كنين.

شما اگه می تونید اونو ادامه بدید من خوشحال می شم . من حدود یک ماهه که دارم روش فکر می کنم و به این نتیجه رسیدم که بهترین راه برهان خلفه چون به قول شما مثلث T2 خیلی وحشیه . البته نمی گم راه دیگه ای نیست . چرا هست ولی لطفا ارائش کنید .

احتمالا شما هم حس مي كني كه اين مساله خيلي سادست و حكمش اصلان قوي نيست!

نه اصلا هم فکر نمی کنم ساده هست . کسی که ده دقیقه با این مساله کار کنه متوجه می شه که ساده نیست چه برسه به من که نصف یه دفتر 200 برگ رو به خاطر همین یک مساله سیاه کردم.

پيشنهاد من اينه كه سعي كنيد با دنباله اي از تغييرات كه محيط مثلث رو كم نميكنن ، اين مثلث وحشي دروني رو به يك مثلث اهلي تر تبديل كنيد!

می شه بیشتر توضیح بدید؟
با تشکر