اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**davy jones** · 14-06-2010, 19:49

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام .
آقا قراره این معادله دیفرانسیل ها رو از روش تفکیک پذیری با تغییر متغییر های داده شده حل کنم ..
اما توشون گیر کردم ...
میتونید راهنماییم کنید ؟

ممنون.

سلام
این سوالهایی که شما نوشتین، واقعا ساده اند و با توجه به شناختی که از شما پیدا کردم بعید میدونم واقعا توش گیر کرده باشین. ناراحت نشین اما احساس میکنم دارین یکمی تنبلی میکنین

**Paradise_human** · 14-06-2010, 23:23

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
این سوالهایی که شما نوشتین، واقعا ساده اند و با توجه به شناختی که از شما پیدا کردم بعید میدونم واقعا توش گیر کرده باشین. ناراحت نشین اما احساس میکنم دارین یکمی تنبلی میکنین

نه به خدا تنبلی کجا بود ......
اولشو اگه یه راهنمایی بکنید من تا تهش میرم .....
آخه نمیدونم تغییر متغییر رو کی باید اعمال کنم اول کار یا آخر کار ......
بعد اینارو من هرجوری که حتی سادشونم میکنم نمیشه از روش تفکیک پذیر حلشون کرد ...

این انتگرال رو چطور میتونم حل کنم ؟

ممنون.

**davy jones** · 15-06-2010, 06:31

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نه به خدا تنبلی کجا بود ......
اولشو اگه یه راهنمایی بکنید من تا تهش میرم .....
آخه نمیدونم تغییر متغییر رو کی باید اعمال کنم اول کار یا آخر کار ......
بعد اینارو من هرجوری که حتی سادشونم میکنم نمیشه از روش تفکیک پذیر حلشون کرد ...

این انتگرال رو چطور میتونم حل کنم ؟

ممنون.

جواب سوال اول:

$xy^{2}(x{y}'+y)=4\Rightarrow t=xy\rightarrow \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=y\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y+x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\rightarrow x{y}'+y={t}'\Rightarrow \frac{t^{2}}{x}\ast {t}'=4\Rightarrow t^{2}dt=4xdx\Rightarrow \int t^{2}dt=\int 4xdx\Rightarrow \frac{t^{3}}{3}=2x^{2}+c\Rightarrow t=\sqrt[3]{6x^{2}+c}\Rightarrow xy=\sqrt[3]{6x^{2}+c}\Rightarrow {\color{red} y=\frac{\sqrt[3]{6x^{2}+c}}{x}}$

دیدین چقدر ساده بود

------------

جواب سوال دوم:

$\120dpi {y}'=cos(x-y)\Rightarrow u=x-y\rightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=1-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\rightarrow {u}'=1-{y}'\rightarrow {y}'=1-{u}'\Rightarrow 1-{u}'=cos(u)\Rightarrow {u}'(\frac{1}{1-cos(u)})=1\Rightarrow \int \frac{du}{1-cos(u)}=\int dx\Rightarrow 1=cos(0)\rightarrow cos(a)-cos(b)=-2sin(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2})\rightarrow cos(0)-cos(u)=-2sin(\frac{u}{2})sin(-\frac{u}{2})=2sin^{2}(\frac{u}{2})\Rightarrow \int \frac{du}{2sin^{2}(\frac{u}{2})}=\int \frac{1}{2}\csc^{2}(\frac{u}{2}) du=\int \frac{1}{2}(1+\cot ^{2}(\frac{u}{2}))du=\int dx\Rightarrow \frac{-1}{2}\cot (\frac{u}{2})=x+c\Rightarrow u=2\cot ^{-1}(-2x+c)\Rightarrow {\color{red} y=x-2\cot ^{-1}(-2x+c)}$

این یکی انصافا به اندازه ی قبلی ساده نبود.

موفق باشین.
89/3/25

**Paradise_human** · 15-06-2010, 11:42

واقعا بابت جواب سوال قبلتون ممنونم .
من خیلی چیزا دارم یاد میگیرم ....
واقعا ممننونم.
توی حل یکی از مساله ها به یه شک رسیدم .
قرار این معادله دیفرانسیل رو از روش کامل حل کنم .
اما چون مشتق های جزئیش با هم براربر نیستن نیاز به فاکتر انتگرال داره .
من فاکتر انتگرالش رو هم بدست اوردم .

حالا یک سوال :
من اگه منفی رو توی معادله تاثییر بدم فاکتور انتگرال عدد نپر به توان منفی x میشه ولی اگه تاثییر ندم فاکتور انتگرال عدد نپر به توان x میشه.

حالا مشکل اینجاست اگه قرار باشه منفی در مشتق ها محاسبه بشه بعد از ضرب کردن فاکتور انتگرال در معادله و محاسبه ی دوباره ی مشتق های جزئی یکی منفی عدد نپر به توان مفی X بدست میاد و یکی عدد نپر به توان منفی x بدست میاد که نشون میده معادله باز کامل نیست.اما اگه منفی رو تاثییر ندم در مشتق ها معادله کامل میشه .
حالا باید چه کار کنم باید تاثیر داد یا نداد ؟
جایی کار من اشکال داره ؟
================================================== ====
توی حل یکی از معادله دیفرانسیل ها به این انتگرال بر خوردم میتونید کمکم کنید حلش کنم ؟
نمی خوام برام کامل حلش کنید اگه یه راهنمایی بکنید که از روشی باید انتگرال گیری کنم کافیه .

ممنون از لطفتون.

**mohsen_gh1991** · 15-06-2010, 11:58

سلام
میشه این مسئله رو با توضیح کامل برام حل کنین؟
معادله دایره بوسان تابع زیر را در نقطه داده شده بیابید.

**davy jones** · 15-06-2010, 13:28

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

واقعا بابت جواب سوال قبلتون ممنونم .
من خیلی چیزا دارم یاد میگیرم ....
واقعا ممننونم.
توی حل یکی از مساله ها به یه شک رسیدم .
قرار این معادله دیفرانسیل رو از روش کامل حل کنم .
اما چون مشتق های جزئیش با هم براربر نیستن نیاز به فاکتر انتگرال داره .
من فاکتر انتگرالش رو هم بدست اوردم .

حالا یک سوال :
من اگه منفی رو توی معادله تاثییر بدم فاکتور انتگرال عدد نپر به توان منفی x میشه ولی اگه تاثییر ندم فاکتور انتگرال عدد نپر به توان x میشه.

حالا مشکل اینجاست اگه قرار باشه منفی در مشتق ها محاسبه بشه بعد از ضرب کردن فاکتور انتگرال در معادله و محاسبه ی دوباره ی مشتق های جزئی یکی منفی عدد نپر به توان مفی X بدست میاد و یکی عدد نپر به توان منفی x بدست میاد که نشون میده معادله باز کامل نیست.اما اگه منفی رو تاثییر ندم در مشتق ها معادله کامل میشه .
حالا باید چه کار کنم باید تاثیر داد یا نداد ؟
جایی کار من اشکال داره ؟
================================================== ====
توی حل یکی از معادله دیفرانسیل ها به این انتگرال بر خوردم میتونید کمکم کنید حلش کنم ؟
نمی خوام برام کامل حلش کنید اگه یه راهنمایی بکنید که از روشی باید انتگرال گیری کنم کافیه .

ممنون از لطفتون.

اون منفی هم جزء p هست. یعنی چی که تاثیرش بدم یا ندم؟! باید تاثیر داده بشه. در ادامه من متوجه نشدم که تابع انتگرال ساز $\120dpi e^{-x}$ چه مشکلی داره:

$\120dpi \left\{\begin{matrix} e^{-x}p(x,y)=e^{-x}\ast (-e^{2x}-y+1)=(1-y)e^{-x}-e^{x}\Rightarrow \frac{\partial (e^{-x}p(x,y))}{\partial y}=-e^{-x}\\ e^{-x}q(x,y)=e^{-x}\ast 1=e^{-x}\Rightarrow \frac{\partial (e^{-x}q(x,y))}{\partial x}=-e^{-x} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{\partial (e^{-x}q(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial (e^{-x}p(x,y))}{\partial y}$

بنابراین تابع انتگرال ساز همون $\120dpi e^{-x}$ هست.

=====================

اصل معادله ی دیفرانسیلی رو که منجر به این انتگرال شده رو بذار شاید راه های راحت تری هم وجود داشته باشه. چون این انتگرال که شما نوشتی حلش واقعا سخته.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

نوشته شده توسط mohsen_gh1991 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
میشه این مسئله رو با توضیح کامل برام حل کنین؟
معادله دایره بوسان تابع زیر را در نقطه داده شده بیابید.

محسن خان، اول شما به من بگو دایره بوسان همون دایره ای بود که که به نمودار مماس میشد و انحناش با تقعر تابع در اون نقطه برابری میکرد؟ آخه من این تعاریف رو درست یادم نیست

موفق باشین.
89/3/25

**panizir** · 15-06-2010, 13:30

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سوال جالبیه ولی جوابی که میخوام بهش بدم فکر نکنم در حد راهنمایی باشه. هر چند که سوالات اول دبیرستان تیزهوشان با اطلاعات راهنمایی قابل حل نیست و با شناختی که من نسبت به تیزهوشان دارم اونها عمدا سطح سوالات رو خارج از سطح معمول سنین دانش آموزان طراحی میکنن.

در همین ابتدا هم این نکته رو ذکر کنم که استلالی که بنده میکنم با فرض این نکته هستش که پاره خط AB موازی با DC هستش.

کاملا واضحه که گزینه ی اول درست نیست چون اگه قرار باشه رابطه ی تساوی برقرار باشه باید مثلثDEC قرینه ی مثلث DFC نسبت به محور تقارنی باشه که عمود منصف پاره خط DC هستش. که این طور نیست.

میدونیم که مکان هندسی مثلث هایی که محیط یکسانی دارند و یک ضلع آنها هم با هم مشترک است در حقیقت بیضی ای است که دو سر آن یک ضلع مشترک، کانونهای آن بیضی هستند. (اثباتش مفصله و از آوردنش خودداری میکنم) یعنی اگه دو مثلث DEC و DFC طوری باشند که گزینه ی 1 درست باشه پس یک بیضی وجود داره که کانونهای اون نقاط D و C هستند و محیط بیضی از نقاط F و E عبور میکنه که با توجه به استدلال قبل این امر ممکن نیست. اما اگر بیضی ای را که کانونهای آن نقاط ذکر شده باشند را طوری بکشیم که محیط بیضی فقط از نقطه ی F بگذرد واضح است که نقطه ی E درون بیضی می افتد و این یعنی مجموع اضلاع DE و EC کوچکتر از مجموع DF و FC خواهد بود. و این یعنی به نظر من گزینه ی 3 درست است.

اما اگر بخواهیم با معلومات سوم راهنمایی مساله را حل کنیم میتوان این طور استدلال کرد که چون مجموع هر دو ضلع یک مثلث مطمئنا از ضلع سوم بزرگ تر است بنابراین مجموع DE و EC بزرگتر از DC است و همین استدلال برای مثلث دیگر هم خواهد بود ولی از آن نمیتوان نتیجه گرفت که مجموع DE و EC بزرگتر است یا DF و FC چون هر دوی این عبارات بزرگتر از یک مقدار مشخص هستند و در نامساویهای خود نتیجه ی خاصی را بدست نمیدهند. بنابراین با معلومات سوم راهنمایی گزینه ی 4 درست است.

موفق باشین.
89/3/24

خيلي ممنون.
همه حرفاتون قبول اما اون قسمت قرمزو نمي فهمم؟!

**mohsen_gh1991** · 15-06-2010, 13:41

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

=====================
محسن خان، اول شما به من بگو دایره بوسان همون دایره ای بود که که به نمودار مماس میشد و انحناش با تقعر تابع در اون نقطه برابری میکرد؟ آخه من این تعاریف رو درست یادم نیست

موفق باشین.

89/3/25

برای حل این معادلات به شعاع انحنا و خود انحنا و مرکز دایره(a,b) (الفا. بتا) نیاز داریم.

**Paradise_human** · 15-06-2010, 15:32

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اصل معادله ی دیفرانسیلی رو که منجر به این انتگرال شده رو بذار شاید راه های راحت تری هم وجود داشته باشه. چون این انتگرال که شما نوشتی حلش واقعا سخته.

89/3/25

این معادله دیفرانسیل قرار از روش همگن با تغییر متغییر y=vx و dy=vdx+xdv حل بشه .

**davy jones** · 15-06-2010, 18:50

سلام.

نوشته شده توسط panizir [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خيلي ممنون.
همه حرفاتون قبول اما اون قسمت قرمزو نمي فهمم؟!

منظورم اینه که چون نقطه F نسبت به خطی که عمود منصف پاره خط CD هستش دورتره تا نقطه E، بنابراین بیضی ای که کانونهای اون نقاط C و D باشن و از نقطه ی F بگذره قطعا بزرگتر از بیضی ای خواهد بود که کانونهای اون همون نقاط C و D باشن ولی از نقطه ی E بگذره. بنابراین محیط مثلث DFC بیشتر از محیط مثلث DEC خواهد بود و به تبع آن گزینه 3 صحیح است.

==================

نوشته شده توسط mohsen_gh1991 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
میشه این مسئله رو با توضیح کامل برام حل کنین؟
معادله دایره بوسان تابع زیر را در نقطه داده شده بیابید.

فکر کنم تعریف دایره ی بوسان همونی باشه که خودم گفتم (اگه این نیست لطفا یکی تعریف درست رو بنویسه) بنابراین اول میریم سراغ مقدار تقعر تابع y در نقطه ی مذکور:

$\120dpi y(x)=x^{2}-\sin (x)\Rightarrow {y}''(x)=2+\sin (x)\Rightarrow {y}''(x=0)=2$

و از آنجایی که شعاع دایره ی مماسی در نقطه ی تماس عمود بر نمودار است پس شیب خط شعاعی که از مرکز دایره بوسان تا نقطه ی مماس امتداد دارد برابر با قرینه ی معکوس شیب نمودار در نقطه ی تماس است:

$\150dpi \small y(x)=x^{2}-\sin (x)\Rightarrow {y}'(x)=2x-\cos (x)\Rightarrow {y}'(x=0)=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{{y}'(0)}=1$

و این یعنی این که مرکز دایره ی بوسان روی امتداد پاره خطی است که یک سر آن نقطه ی (0,0) است و شیب آن برابر با یک است. یعنی خط y=x. در نتیجه اگر مرکز دایره را در حالت کلی $\150dpi \small (\alpha ,\beta )$ بنامیم داریم:

$\150dpi \small \alpha =\beta$

اما از آنجایی که مقدار مشتق دوم تابع در نقطه ی صفر مثبت است، واضح است که دایره ی بوسان در حقیقت در نیم دایره ی پایینی خود به نمودار مماس میشود. بنابراین اگر معادله ی کلی دایره را به صورت زیر فرض کنیم:

$\150dpi \small (x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}$

میتوانیم نیمه ی بالایی دایره را فعلا نادیده بگیریم و ادعا کنیم که تابع y در نقطه ی مبدا به نیم دایره ی بوسان:

$\150dpi \small y=-\sqrt{r^{2}-(x-\alpha )^{2}}+\beta$

مماس شده است. با توجه به این که تقعر دایره ی بوسان در نقطه مماس باید با تقعر y برابر باشد داریم:

$\150dpi \small \frac{d^{2}}{dx^{2}}(-\sqrt{r^{2}-(x-\alpha )^{2}}+\beta )={y}''(0)=2$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{x}{\sqrt{r^{2}-(x-\alpha )^{2}}+\beta })=2\Rightarrow \frac{\sqrt{r^{2}-(x-\alpha )^{2}}+\beta-\frac{x^{2}}{\sqrt{r^{2}-(x-\alpha )^{2}}+\beta}}{(\sqrt{r^{2}-(x-\alpha )^{2}}+\beta)^{2}}|_{x=0}=\frac{\sqrt{r^{2}+\alpha ^{2}}+\beta }{(\sqrt{r^{2}+\alpha ^{2}}+\beta)^{2}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+\alpha ^{2}}+\beta }=2$

اما از اونجایی که داشتیم $\150dpi \small \alpha =\beta$ بنابراین رابطه رو ساده تر میکنیم:

$\frac{1}{\sqrt{r^{2}+\alpha ^{2}}+\alpha }=2$

اما همونطور که قبلا استدلال کردم، مرکز دایره ی بوسان روی خط y=x قرار داره و بنابراین طول شعاع واصل بین مرکز دایره ی بوسان تا نقطه ی مماس برابر است با:

$r=\sqrt{(\beta -y_{t})^{2}+(\alpha -x_{t})^{2}}=\sqrt{\beta ^{2}+\alpha ^{2}}=\sqrt{\alpha ^{2}+\alpha ^{2}}=\sqrt{2}\alpha$

اگر این r را در رابطه قبل جایگذاری کنیم خواهیم داشت:

$\frac{1}{\sqrt{2\alpha ^{2}+\alpha ^{2}}+\alpha }=2\Rightarrow \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}+2}$

بدین ترتیب مرکز دایره بوسان بدست آمد. همچنین از روی آن شعاع دایره را هم میتوان محاسبه کرد و در نهایت معادله ی دایره به این صورت خواهد بود:

$(x-\frac{1}{2\sqrt{3}+2})^{2}+(y-\frac{1}{2\sqrt{3}+2})^{2}=\frac{2}{16+8\sqrt{3}}$

امید وارم جوابم درست باشه. از اینکه در جواب دادن به این سوال کمی تاخیر افتاد عذر میخوام چون اینترنت خونمون قطع و وصل شد. البته لازم به ذکره که حل این مساله راه های خیلی راحت تری هم ممکنه داشته باشه ولی چون من این مبحث رو به کلی فراموش کرده بودم مجبور شدم مثل انسانهای اولیه اون رو حل کنم

====================================

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این معادله دیفرانسیل قرار از روش همگن با تغییر متغییر y=vx و dy=vdx+xdv حل بشه .

$\120dpi {y}'(x)=\sqrt{\frac{x+y(x)}{2x}}\rightarrow y=x.v(x)\rightarrow {y}'(x)=v(x)+x.{v}'(x)\Rightarrow v(x)+x.{v}'(x)=\sqrt{\frac{x(v(x)+1)}{2x}}=\sqrt{\frac{v(x)+1}{2}}\Rightarrow v+x{v}'=\sqrt{\frac{v+1}{2}}\Rightarrow \frac{{v}'}{\sqrt{\frac{v+1}{2}}-v}=\frac{1}{x}\Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{\frac{v+1}{2}}-v}=\int \frac{dx}{x}\Rightarrow \int \frac{\sqrt{2v+2}+2v}{v+1-2v^{2}}dv=\int \frac{\sqrt{2v+2}}{(1-v)(2v+1)}dv+\int \frac{2v}{(1-v)(2v+1)}dv=\ln (x)+c$

من هم به همون جایی گیر کردم که شما هم اشاره کرده بودید. البته قسمت دوم انتگرال آخر که با تفکیک کسر قابل حله ولی قسمت اولش به این راحتی ها راه نمیده. حالا تو این مدت زورم و میزنم ببینم چیکار میکنم. فعلا که جوابی براش ندارم

-------
ویرایش: انتگرالی رو که قبل از اینکه به دو تا انتگرال بشکونمش به نرم افزار دادم و این جواب طولانی رو بهم داد:

$\120dpi \int \frac{dv}{\sqrt{\frac{v+1}{2}}-v}=\frac{1}{3}[-\ln (-v-\frac{1}{2})-2\ln (1-v)+\ln(\sqrt{2}-2\sqrt{v+1})-2\ln(\sqrt{2}-\sqrt{v+1})+2\ln(\sqrt{2}+\sqrt{v+1})-\ln(\sqrt{2}+2\sqrt{v+1})+3]+c$

موفق باشین.
89/3/25

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن