اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**mohsen1472** · 11-08-2009, 23:53

با سلام
لطفا حد را محاسبه نمایید.

$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x\sqrt{\cos 2x}}{x^{2}}$

**mohsen1472** · 12-08-2009, 17:35

لطفا حدهای زیر را بدون استفاده از هوپیتال و هم ارزی حل کنید:

$\lim_{x \to 0}\frac{(1 + mx)^{n}- (1 - nx)^{m}}{x^{2}}$

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 - \cos x^{2}}}{\tan ^{2}x}$

**eh_mn** · 12-08-2009, 21:09

نوشته شده توسط mohsen1472 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام
لطفا حد را محاسبه نمایید.

$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x\sqrt{\cos 2x}}{x^{2}}$

$\begin{align}\nonumber \frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}}{x^{2}} & =\frac{(1-\cos x\sqrt{\cos 2x})(1+\cos x\sqrt{\cos 2x})}{x^{2}(1+\cos x\sqrt{\cos 2x})} \\\nonumber & = \frac{1-\cos^2 x\cos 2x}{x^{2}(1+\cos x\sqrt{\cos 2x})} \\\nonumber & = \frac{1-\cos 2x + \sin^2x\cos 2x}{x^{2}(1+\cos x\sqrt{\cos 2x})} \\\nonumber & = \frac{\sin^2x(2+\cos 2x)}{x^{2}(1+\cos x\sqrt{\cos 2x)}} \\\nonumber \end{align}$

پس

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}}{x^{2}} = \frac{3}{2}$

**eh_mn** · 13-08-2009, 10:09

نوشته شده توسط mohsen1472 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لطفا حدهای زیر را بدون استفاده از هوپیتال و هم ارزی حل کنید:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 - \cos x^{2}}}{\tan ^{2}x}$

داريم

$\frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{\tan^{2}x} = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x^{2}}}{\tan^{2}x\sqrt{1+\cos x^{2}}} =\frac{\sin x^2}{\tan^{2}x\sqrt{1+\cos x^{2}}}$

پس

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{\tan^{2}x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

**ask_bl** · 13-08-2009, 11:05

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

داريم

$\frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{\tan^{2}x} = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x^{2}}}{\tan^{2}x\sqrt{1+\cos x^{2}}} =\frac{\sin x^2}{\tan^{2}x\sqrt{1+\cos x^{2}}}$

پس

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{\tan^{2}x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ممنون ولی از هم ارزی استفاده شده!

**eh_mn** · 13-08-2009, 11:28

نوشته شده توسط ask_bl [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممنون ولی از هم ارزی استفاده شده!

با استفاده از

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

و قضاياي حد مي‏شه ثابت كرد كه

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=1$

و

$\lim_{x\to 0}\frac{\tan^2 x}{x^2}=1$

پس $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{\tan^2 x}=1$

**ask_bl** · 13-08-2009, 11:31

تا جایی که من اطلاع دارم به

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

میگن هم ارزی.(شایدم من اشتباه میکنم!)

**eh_mn** · 13-08-2009, 12:43

نوشته شده توسط ask_bl [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تا جایی که من اطلاع دارم به

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

میگن هم ارزی.(شایدم من اشتباه میکنم!)

من فكر مي‏كردم كه چون اين حد رو بطور تحليلي (با قضيه‏ي فشار ) تو دبيرستان ثابت مي‏كنن ديگه هم ارزي به حساب نمياد.!!

**ask_bl** · 13-08-2009, 12:59

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

من فكر مي‏كردم كه چون اين حد رو بطور تحليلي (با قضيه‏ي فشار ) تو دبيرستان ثابت مي‏كنن ديگه هم ارزي به حساب نمياد.!!

بله اثبات میکنن ،ولی اصل سوالی که با استفاده از قضیه فشار اثبات شده از هم ارزی بدست اومده.
همونطور که شما هم میدونین سری تیلور Sinx میشه :

که با صرفنظر کردن از جملات دوم به بعد وقتی x به سمت 0 میل میکنه جواب آن حد برابر 1 میشه.

در حقیقت شما یک سوال رو با هم ارزی حل کردید و با یه قضیه اثبات کردید که جواب درست است !!!
درسته ؟

**eh_mn** · 13-08-2009, 14:17

نوشته شده توسط ask_bl [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بله اثبات میکنن ،ولی اصل سوالی که با استفاده از قضیه فشار اثبات شده از هم ارزی بدست اومده.
همونطور که شما هم میدونین سری تیلور Sinx میشه :

که با صرفنظر کردن از جملات دوم به بعد وقتی x به سمت 0 میل میکنه جواب آن حد برابر 1 میشه.

در حقیقت شما یک سوال رو با هم ارزی حل کردید و با یه قضیه اثبات کردید که جواب درست است !!!
درسته ؟

تو دبيرستان سري تيلور رو نميگن. اول اثبات ميكنن كه براي x بين 0 و نصف pi داريم sin x< x < tan x . بعد طرفين رو بر sin x تقسيم ميكنن تا به نامساوي cos x / ‏1 > ‏x/sin x ‏> 1 برسيم و بعد با استفاده از قضيه فشار حكم مورد نظر بدست مياد.

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن