اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[davy jones]

میتونین راه حل ریاضی و کلاسیکی برای این مساله ارائه بدین؟ چون تقریبا هر دوی شما از راه استقرا مساله رو حل کردین.

موفق باشین.
88/4/9

ظاهرا کسی این رو جدی نگرفته!
خیلی خب، خودم جواب کلاسیکش رو میذارم:

میدونیم که هر عدد طبیعی رو میشه به صورت حاصلضرب چند عدد اول که هر کدام از آنها توانی دارند نوشت. مثلا:

و...
در حالت کلی هر عدد طبیعی مثل N رو میشه به این صورت نوشت:

که توانها میتونن صفر هم باشن بدان معنا که اگه توان یکی از پایه ها (که اعداد اول هستن) صفر بود ، آن عدد اول و توانهاش جزء مقسوم علیه های عدد N نیست.
بعد از یادآوری مقدمه بالا به این نکته دقت میکنیم که هر مقسوم علیه دلخواه عدد N بدین صورت به دست میآد که میتونه از هر عدد اولی مانند p هیچی نباشه، یا فقط یکی باشه یا دوتا یا .... یا آلفا تا.
مثلا در عدد 20 که در بالا مشاهده میکنین هر مقسوم علیه دلخواه میتونه فقط از عناصر 2 و 5 تشکیل بشه( تا اینجاش که واضحه) و در مورد 5 میتونه هیچی 5 توش نباشه یا فقط یکبار عامل 5 توش ظاهر بشه ( یعنی 5 به توان 1) و در مورد 2 هم میتونه اصلا نباشه یا یکبار باشه یا دوبار باشه ( یعنی 2 به توان 2 هم میتونه باشه)
پس هر کدوم از اعداد اول حالت دارد. پس در کل داریم:

که x تعداد کل مقسوم علیه های عدد N هستش. ( چون اعداد اول اینجا برای تشکیل یک مقسوم علیه دلخواه از هم مستقلند پس تعداد حالات کل حاصلضرب تعداد حالات هر یک از اعداد اوله)
حال مساله ما وقتی جواب داره که تعداد مقسوم علیه ها عددی فرد باشه. یعنی x فرده. میدونیم که وقتی چند عدد تو هم ضرب میشن اگه تنها یکیشون هم زوج باشه کل حاصلضرب رو زوج میکنه ( میتونید امتحان کنید ولی واضحه) پس تک تک اون پرانتزها باید عدد فرد باشن تا x هم فرد باشه. بنابرین همه ی آلفا ها باید زوج باشن تا وقتی که با یک جمع میشن عدد فرد بشن. و این یعنی عددی که تعداد مقسوم علیه هاش فرد هستش توان همه ی اعداد اولی که تجزیه ی اون رو میسازن باید زوج باشه و این یعنی اون عدد مربع کامله!

موفق باشین.
88/4/10

[mahsa1469]

حالا که اینقدر پایه این یه سوال سخت تر براتون میذارم.
این سوال رو هنگامی که مشغول بازی بسیار مفرح مافیا بودیم یکی مطرح کرد:
فرض کنید 100 نفر رو در اختیار دارید که 49 نفر از اونها روی پیشونیشون یه خال مشخص دارن و 51 تای بقیه مث آدمای عادی اند. اون 49 نفر خودشون از وجود خال روی پیشونیشون بی اطلاعند و فرض میکنیم که چیزی به نام آینه هم هنوز اختراع نشده! این صد نفر روزی یکبار دور هم جمع میشن و فقط و فقط همدیگر رو نگاه میکنن و به هیچ وجه نه با هم حرف میزنن و نه با اشاره به همدیگه میفهمونن که تو خال داری یا نه. هر نفر فقط میتونه ببینه که چند نفر خال دارن ولی نمیتونه به اون افراد مستقیما یا با اشاره چیزی بفهمونه. حال فرض میکنیم داشتن خال چیز خیلی بدی باشه به حدی که اگه هر کس به هر نحوی ( باتوجه به ممنوعیتهای ذکر شده ) بفهمه که خال داره خودشو میکشه و دیگه از فردای اون روز تو جلسات روزانه شرکت نمیکنه. بقیه افراد هم متوجه این موضوع هستند که اگر فردی در جلسه حاضر نشد مطمئنا به خالدار بودن خود پی برده و خودکشی کرده. این صد نفر نمیدونن که دقیقا چند آدم خالدار وجود داره. تنها چیزی که میدونن اینه که حداقل یه خالدار وجود داره.
حال سوال اینه که بعد از گذشت چند روز همه ی افراد خالدار متوجه میشن و خودکشی میکنن و بقیه هم از این که خال ندارن مطمئن میشن؟

بازم تکرار میکنم که جوابشو فقط به شرطی میزارم که روش فکر و بحث بشه.

موفق باشین.
88/4/9

خیلی روش فکر کردم اما با روش های ریاضیاتی به نظر نمی یاد بشه به نتیجه ای رسید خوب از اون جایی که که هیچ کدومشون نمیدونن خال دارن یا نه و حتی نمیدونن که چند نفر خالدار هست و خالدار بودن یه چیز خیلی بدیه و تنها چیزی که می دونن اینه که دست کم یه خالدار وجود داره با دیدن این همه خالدار این شبهه براشون به وجود می یاد که نکنه اونم خالدار باشه بعد می ره خودکشی میکنهپس همون روز اول همشون می میرن

[davy jones]

خیلی روش فکر کردم اما با روش های ریاضیاتی به نظر نمی یاد بشه به نتیجه ای رسید خوب از اون جایی که که هیچ کدومشون نمیدونن خال دارن یا نه و حتی نمیدونن که چند نفر خالدار هست و خالدار بودن یه چیز خیلی بدیه و تنها چیزی که می دونن اینه که دست کم یه خالدار وجود داره با دیدن این همه خالدار این شبهه براشون به وجود می یاد که نکنه اونم خالدار باشه بعد می ره خودکشی میکنهپس همون روز اول همشون می میرن

کسی با خیال کردن خودکشی نمیکنه. فقط وقتی که مطمئن میشه دست به خودکشی میزنه.
برای اینکه یکم راهنماییتون کرده باشم از استقرا کمک بگیرین. یعنی با تعداد کم شروع کنین.
ضمنا اون انتگرالی رو هم که گذاشتم رو هم حل کنین.( پست شماره ی 2010)

موفق باشین.
88/4/10

[behnam_tr]

یه سوال دیگه (نسبتا راحت):
جواب این انتگرال چی میشه:

موفق باشین.
88/4/9

شما اول باید انتگرال را به صورت xlnx dx بنویسید بعد با روش انتگرای جز به جز پیش برید ........

[davy jones]

شما اول باید انتگرال را به صورت xlnx dx بنویسید بعد با روش انتگرای جز به جز پیش برید ........

خب چجوری باید این کار رو بکنیم.
ضمنا من خودم جواب سوال رو میدونم. چون خودم طرحش کردم.

موفق باشین.
88/4/10

[davy jones]

من تازه دوم دبیرستانم و انتگرال بلد نیستم.

اوووووووووووووخیییییییییی یییییییییییییش....


موفق باشین.
88/4/10

[behnam_tr]

خب چجوری باید این کار رو بکنیم.
ضمنا من خودم جواب سوال رو میدونم. چون خودم طرحش کردم.

موفق باشین.
88/4/10

این خیلی آسون بود از این سخترهاشم حریفم !!!
فقط عکس بده جنازه تحویل بگیر !!!

[mahsa1469]

این خیلی آسون بود از این سخترهاشم حریفم !!!
فقط عکس بده جنازه تحویل بگیر !!!

چرا اين n رفته پشت

[mahsa1469]

یه سوال دیگه (نسبتا راحت):
جواب این انتگرال چی میشه:

موفق باشین.
88/4/9

اينم جواب:(انتگرال رو از راه جز به جز گرفتم!)

[behnam_tr]

چرا اين n رفته پشت

چون n یه عدد هست و میتونه از انتگرال بیاد بیرون