روش بدست آوردن نزدیکترین نقطه در فضا چیست؟

[lebesgue]

راه حل ساده تری هم هست. فرض کنید P نقطه ای دلخواه در فضا باشد. نقطه ای روی مخروط که کمترین فاصله را با P دارد H و این فاصله را h می نامیم. به سادگی میتوان نشان داد که نقطه H روی صفحه گذرنده از محور مخروط و نقطه P، قرار دارد. در نتیجه، مساله ی یافتن کمترین فاصله P از مخروط، تبدیل می شود به مساله ی یافتن کمترین فاصله P از دو خط متقاطع در یک صفحه (تقاطع صفحه مذکور با مخروط).
حال با استفاده از کمی مثلثات، میتوان عبارت زیر را برای h بدست آورد. متاسفانه الان امکان رسم شکل ندارم.

s: فاصله P تا محور مخروط
l: فاصله P تا راس مخروط
θ: زاویه خروج مخروط

[bm24]

والا چه عرض کنم؟
خودم هم الان متوجه اشکال کار شدم.
شاید تو محاسبات اشتباه کردیم. اما بعید میدونم.
باید دوباره بررسی کنم.
شما هم روش حل رو مجددا یه نگاهی بندازین شاید توش اشتباهی بود.

فکر کنم که در گرفتن گرادیان یه اشتباهی رخ داده. در هر عبارت یک متغیر اضافه لحاظ شده است.

[bm24]

راه حل ساده تری هم هست. فرض کنید P نقطه ای دلخواه در فضا باشد. نقطه ای روی مخروط که کمترین فاصله را با P دارد H و این فاصله را h می نامیم. به سادگی میتوان نشان داد که نقطه H روی صفحه گذرنده از محور مخروط و نقطه P، قرار دارد. در نتیجه، مساله ی یافتن کمترین فاصله P از مخروط، تبدیل می شود به مساله ی یافتن کمترین فاصله P از دو خط متقاطع در یک صفحه (تقاطع صفحه مذکور با مخروط).
حال با استفاده از کمی مثلثات، میتوان عبارت زیر را برای h بدست آورد. متاسفانه الان امکان رسم شکل ندارم.

s: فاصله P تا محور مخروط
l: فاصله P تا راس مخروط
θ: زاویه خروج مخروط

ممنون، حالا چطوری میشه مختصات نقطه H رو بدست آورد؟ هدف اصلی بدست آوردن مختصات اون نقطه روی پوسته مخروط است (که به نوعی تصویر نقطه بر پوسته!).

[lebesgue]

ممنون، حالا چطوری میشه مختصات نقطه H رو بدست آورد؟ هدف اصلی بدست آوردن مختصات اون نقطه روی پوسته مخروط است (که به نوعی تصویر نقطه بر پوسته!).

خب دستگاه مختصات کروی (r, φ, θ) برای همین مواقع هست!
فرض کنید محور مخروط روی محور z بوده و راس آن در مبدا می باشد. (با دوران و انتقال محورهای مختصات، می توان چنین حالتی را برای هر مخروطی ایجاد کرد.) همچنین فرض کنید که مختصات نقطه P در دستگاه مختصات کروی به صورت باشد. مختصات نقطه H هم مجهول است. از روی معادله مخروط (در دستگاه مختصات کروی) نتیجه می شود که . (آلفا زاویه مولد است.) همچنین بنا به آنچه در پست قبل گفته شد، . حال تنها می ماند که آن را میتوان بر حسب h که در پست قبل بدست آمد، محاسبه کرد:

اکنون اگر بخواهید میتوانید با تبدیل مختصات کروی به کارتزین، مختصات نقطه H در دستگاه کارتزین را بدست آورید:

حال تنها لازم است که اگر انتقال یا دورانی در دستگاه مختصات اعمال کرده اید، مختصات نقطه H را در دستگاه اصلی پیدا کنید.