اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 09-09-2009, 13:51

براي هر چهار عدد مثبت مانند a و b و c و d ثابت كنيد

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq \frac{64}{a+b+c+d}$

ـــــــــــــــــــــــ
18 / 06 / 88

**mofidy1** · 10-09-2009, 11:33

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

سعی کنید شکل زیر را با حرکت پیوسته ی قلم، بدون این که از یک مسیر، دوبار عبور نمایید، رسم کنید:

موفق باشید.

5 شهریور 1388

با سلام

همان طور که CppBuilder2006 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و maziar92142 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] توضیح دادند، چنین کاری ممکن نیست زیرا چهار رأس داریم که درجه ی آن ها فرد است. با تشکر از این دو بزرگوار.

آموزش حل مساله:

اگر کمی دقت کنید، این مساله بسیار شبیه «مساله ی پل های کونیگسبرگ» است و راه حلی مشابه با آن دارد؛ بنابراین حل هر مساله ایده های جدیدی به دست می دهد که این ایده ها ممکن است برای حل مسائل دیگر به کار رود. شاید بتوان گفت که این روش یکی از مهم ترین روش های حل مساله است. پس «برای حل مساله، مساله حل کنید!!»

موفق باشید.

19 شهریور 1388

**mofidy1** · 10-09-2009, 12:00

با سلام

با استفاده از محاسبات مربوط به اعداد مختلط (یا روش دیگر) ثابت کنید

$cos(72^\circ )=cos(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$

موفق باشید.

18 شهریور 1388

**Parser** · 11-09-2009, 16:44

به نام معشوق ازلي
حل مسئله‌ي شنبه ی هفتم

$\cos (72^{\circ})=\cos (90^{\circ}-18^{\circ})=\sin (18^{\circ})$

$\cos (2\theta )=1-2\sin ^2(\theta ) \,\,\,\,,\,\,\,\, \sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$

$\cos (72^{\circ})=1-2\sin ^2(36^{\circ})=1-2(2\sin (18^{\circ})\cos (18^{\circ}))^2$

$\Rightarrow {\color{red}\sin (18^{\circ})=1-8\sin ^2(18^{\circ})+8\sin ^4(18^{\circ})}$

$\Rightarrow 8\sin ^4(18^{\circ})-8\sin ^2(18^{\circ})-\sin (18^{\circ})+1=0$

$\Rightarrow (\sin (18^{\circ})-1)(\sin (18^{\circ})+\frac{1}{2})(8\sin ^2(18^{\circ})+4\sin (18^{\circ})-2)=0$

$\sin (18^{\circ})\neq 1 \,\,\,\,,\,\,\,\, \sin (18^{\circ})\neq -\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 4\sin ^2(18^{\circ})+2\sin (18^{\circ})-1=0$

$\sin (18^{\circ})> 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\sin (18^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\sin (18^{\circ})=\cos (90^{\circ}-18^{\circ})=\cos (72^{\circ})$

$\Rightarrow \cos (72^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

**saber57** · 11-09-2009, 19:29

نوشته شده توسط Parser [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

به نام معشوق ازلي
حل مسئله‌ي شنبه ی هفتم

$\cos (72^{\circ})=\cos (90^{\circ}-18^{\circ})=\sin (18^{\circ})$

$\cos (2\theta )=1-2\sin ^2(\theta ) \,\,\,\,,\,\,\,\, \sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$

$\cos (72^{\circ})=1-2\sin ^2(36^{\circ})=1-2(2\sin (18^{\circ})\cos (18^{\circ}))^2$

$\Rightarrow {\color{red}\sin (18^{\circ})=1-8\sin ^2(18^{\circ})+8\sin ^4(18^{\circ})}$

$\Rightarrow 8\sin ^4(18^{\circ})-8\sin ^2(18^{\circ})-\sin (18^{\circ})+1=0$

$\Rightarrow (\sin (18^{\circ})-1)(\sin (18^{\circ})+\frac{1}{2})(8\sin ^2(18^{\circ})+4\sin (18^{\circ})-2)=0$

$\sin (18^{\circ})\neq 1 \,\,\,\,,\,\,\,\, \sin (18^{\circ})\neq -\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 4\sin ^2(18^{\circ})+2\sin (18^{\circ})-1=0$

$\sin (18^{\circ})> 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\sin (18^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\sin (18^{\circ})=\cos (90^{\circ}-18^{\circ})=\cos (72^{\circ})$

$\Rightarrow \cos (72^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

محاسباتتون درست هست .. با کمی دقت و فرض $sin(x)=t$ به یک معادله درجه سوم $8t^3+8t^2-1=0$ میرسیم.بعد راه حل مختلط چطور حل میشه؟
ویرایش 20:39

**mir@** · 12-09-2009, 06:31

حل مسئله شنبه هفتم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.
لطفا حاصل مجموع زیر را بیابید:

$S=\sum_{n=1}^\infty \tan^{-1}\frac{2}{n^2}$

راهنمایی: از اتحاد زیر استفاده کنید:

$\tan^{-1}\frac{1}{n-1}-\tan^{-1}\frac{1}{n+1}=\tan^{-1}\frac{2}{n^2}$

توجه: $\tan^{-1}(x)\leftrightarrow \arctan(x)$

نوشته شده توسط saber57 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در این مساله هم از قاعده تلسکوپی استفاده میکنیم فقط یک نکته جالب در حل مساله نهفته هست و اونم یک عبارت اضافه (بجز عبارات اول و آخر)هست .طبق اتحادی که خودتون فرمودید و براحتی با استفاده از اتحاد تانژانت تفاضل قابل اثبات هست و داریم:

$\sum_{n=1}^{\infty }tan^{-1}\left ( \frac{1}{n-1} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n+1} \right )=tan^{-1}\infty -tan^{-1}\frac{1}{2}+tan^{-1}1-tan^{-1}\frac{1}{3}+tan^{-1}\frac{1}{2}-tan^{-1}\frac{1}{4}+....-tan^{-1}\frac{1}{\infty }=tan^{-1}\infty +tan^{-1}1-tan^{-1}0=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

فقط عبارت $tan^{-1}1$ وجود دارد که قرینه اش در کل مجموع وجود ندارد ولی تفاضل عبارات اول و آخر را داریم

البته به فرم دیگر :

$A=\sum_{n=1}^{\infty }tan^{-1}\left ( \frac{2}{n^2} \right )=\sum_{n=1}^{\infty }\left (tan^{-1}\left ( \frac{1}{n-1} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n+1} \right ) \right )$

$A=\sum_{n=1}^{\infty }\left (tan^{-1}\left ( \frac{1}{n-1} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n} \right ) \right )+\sum_{n=1}^{\infty }\left (tan^{-1}\left ( \frac{1}{n} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n+1} \right ) \right )$

$A=\left (tan^{-1}\infty -tan^{-1}0 \right )+\left ( tan^{-1}1-tan^{-1}0 \right )=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حضرت استاد saber57 به درستی قفل مسئله را گشوده اند. خدایشان جزای خیر دهاد.

**mir@** · 12-09-2009, 06:53

.
تمام توابع f ِهمه جا مشتق پذیر را بیابید که در رابطه زیر صدق کنند:

$f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

برای تمام x و y هایی که $xy\neq 1$

راهنمایی: نسبت به x و y مشتق گرفته و ساده کنید.

**CppBuilder2006** · 12-09-2009, 20:56

خدایشان جزای خیر دهاد.

آممین
...................

**ali_hp** · 14-09-2009, 19:33

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

قضیه هرون:
در مثلث دلخواه ABC فرض کنید BC=a , AB=c , AB=c و S مساحت مثلث باشدو P برابر نصف محیط مثلث باشند ثابت کنید:

دوست عزیزمون parser در پست 159 مساله را به درستی حل کردند،راه حل من هم تقریبا همونه.

**ali_hp** · 14-09-2009, 19:44

شازده کوچولو، روی سیاره کوچکی زندگی می کند که شعاعش 60 متر است. روزی با شروع از روی خط استوا، 30pi متر به شرق ، 20pi متر به شمال، 30pi متر به غرب و سرانجام 20pi متر به جنوب می رود. شازده کوچولو تا مکان اولش چند متر فاصله دارد؟

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی هشتم

حل مساله ی پنج شنبه ی ششم (سطح سوال: پیش دانش گاهی)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله ی پنج شنبه ی هفتم (سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

این کاربر از Parser بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسئله شنبه هشتم

حل مساله یکشنبه هفنم

مساله یکشنبه هشتم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن