مقالات علمي رياضي

[sajadhoosein]

گشتی در ریاضیات



تاریخ پیدایش ریاضیات
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.
در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.
ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی
اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت سیاسی کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.
تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.
ادامه دهندگان مسیر افلاطون
* ایودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌ای در سینویکوس در آسیای صغیر تاسیس کرد.
* منایخموس از معاشرین افلاطون و یکی از شاگردان ایودوکسوس ، مقاطع مخروطی را ابداع کرد.
* دینوستراتوس ، برادر منایخموس، هندسه دانی ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تیاتیتوس ، مردی با استعدادهای خیلی عادی که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌های دهم و یازدهم اقلیدس را نیز به او مدیونیم، یکی از شاگردان تیودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعای ریاضیدانی نداشت ولی سازمان دهنده منطقی قیاسی و نویسنده آثاری در باب موضوعات فیزیکی بود. وی تسلط خارق العاده‌ای بر روشهای ریاضی داشت.
مسیرهای تکامل ریاضیات در یونان
در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ، سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد.
* ابتدا ، بسط مطالبی است که در اصول مدون شد، که با توانایی توسط فیثاغورثیان شروع شد و بعدها بقرط ، ایودوروس ، تیاتیتوس ، دیگران مطالبی به آن اضافه کردند.
* خط سیر دوم شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت کوچکها و روندهای حدی و مجموع یابی که تا بعد از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهایی دست نیافتند. پارادوکسهای زنون؛ روش افنای آنتیخوان و ایودوکسوس و نظر اتمی بودن جهان که به نام دموکریتوس مربوط است، به مسیر رشد دوم تعلق دارند.
* سومین مسیر تکاملی مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنیهایی بجز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده این هندسه عالی در تلاشهای مستمر برای حل سه مساله ترسیم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعیف مکعب ، تثلیث زاویه و تربیع دایره اختصاص دارد.

[sajadhoosein]

ادب ریاضی



مثال اول
حساب احتمالات در واقع چیزی جز عقل سلیم نیست که به محاسبه درآمده است. این حساب چیزی را که صاحبان فکر بدون آن که متوجه باشند به غریزه در می‌یابند، با دقت و صحت بیان می‌دارد. این علم که با ملاحظات مربوط به زبانهای شانسی وتصادف بوجود آمد، امروزه آنچنان اهمیتی یافته است که از مهمترین مسایل معرفت آدمی به شمار می‌آید.

بی‌یر سیمون لاپلاس

مثال دوم
قبل از اقلیدس هندسه عبارت بود از مجموعه قواعدی که ماحصل تجارب و ادراکات متفرق بوده‌اند و هیچ ارتباطی با یکدیگر نداشته‌اند و هیچ کس حتی حدس نمی‌زد که مجموعه این قواعد را ممکن است از عده بسیار کمی اصول نتیجه گرفت. امروزه استدلال ریاضی تا آن حد جزء اساس و مبنای این علم به شمار می‌رود که حتی تصور این موضوع نیز برای ما ممکن نیست که ریاضیات بدون استدلال چه وضع و حالی داشته است.

ای. تی. بل

مثال سوم
اگر اکتشافهای گاوس در موقع خود ، به اطلاع مردم رسیده بود، مانع می‌گردید که کوشی ، آبل ، ژاکوبی و بسیاری ریاضیدانان دیگر ، وقت خود را در مسایلی تلف کنند که وی قبلا آنها را حل کرده بود و نیز موجب پیشرفت عظیمی در علوم ریاضی می‌شد. متاسفانه گاوس که شخصی تندخو و ترشرو بود و لجاجتی بی‌مانند داشت، فقط وقتی اکتشافهای خود را انتشار می‌داد که کاملا تمام و از قید طرح و چوب بستی که برای ساختن آن ایجاد گردیده بود، فارغ شده باشد.
دوستانش میل داشتند که وی متون واضحتری برای ایشان بنویسد یا روش خود را در حصول نتیجه به آنان بگوید. اما گاوس جواب داد که فقط برای تبعیت از طبع خود کار می‌کند، نه برای آموختن به دیگران. بنابراین ، همواره اکتشافهای خود را به صورت معماهایی از این قبیل یادداشت می‌کرد: یافتم: عدد= ∆+∆+∆ (یعنی هر عدد صحیح مثبت ، مساوی با مجموع سه عدد مثلث شکل است، از قبیل اعداد ۱ ، ۳ ، ۶ و غیره. این اعداد را از آن جهت مثلث شکل می‌گویند که عبارت‌اند از مجموع اعداد متوالی ابتدا از واحد که می‌توانند به صورت مثلثی نوشته شوند.

پی‌یر روسو

مثال چهارم
اولین شاخه و انشعاب علمی ، آن شعبه‌ای بود که مطلقا احتیاج به تجربه نداشت و برای پیدایش آن حداقل توجه و علاقمندی لازم بود. اما چه کسی برای این کار علاقمندتر از چوپانی است که چون گله خود را به چراگاه می‌برد، شبانگاه هنگام مراجعت می‌خواهد بداند که همه آنها به جای خود هستند یا نه؟ خواهید گفت که برای اطمینان از این مطلب کافی بود که چوپان گوسفندان خود را بشمارد، اما چوپان عهد حجر هنوز شمردن نمی‌دانست و با این حال طبعا جهل او مانع آن نمی‌گردید که وی تعداد واقعی آنها را معین نکند.
مرغ خانگی نیز که حساب و حساب کردن نمی‌داند هنگامی که یکی از جوجگان او غایب باشند ناله و فریاد می‌کند و او را می‌طلبد. اما به زودی چه چپان و چه آن کشاورزی که احتیاج داشت تا وسعت مزرعه خود را تعیین کند و چه بسیار کسان دیگر در نتیجه احتیاج مجبور شدند نوعی وسیله شمارش دقیق‌تر ، غیر از غریزه طبیعی خود ، بوجود آورند و برای این کار انگشتان دست ، دستگاه حساب کردن آماده و مهیایی بود.

پی‌یر روسو

مثال پنجم
این قدر می‌دانم که در حدود سال ۴۵۰ قبل از میلاد مسیح یونانیان دارای هندسه‌ای بدوی و مقدماتی بوده‌اند: موضوع این هندسه فقط طریقه‌های عملی و دستورهای قابل استفاده در اندازه‌گیری طول پارچه یا میزان محصول زیتون نبوده است، بلکه استدلالها وبراهین منطقی متصل به یکدیگر دیده می‌شد که در حدود هندسه مقدماتی ما بوده‌اند. بدون شک این استدلالها آنقدرها دقیق نبوده است و بیشتر از الهام و مکاشفه استفاده می‌کردند تا از منطق و بیشتر آنها مربوط به ساختمانهای هندسی بوده است.

پی‌یر روسو

[sajadhoosein]

هندسه



هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است.
واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گیومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.
تاریخچه هندسه
احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.
در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.
یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.
اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.
براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق.م) و زنون (۴۹۰ ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:
* هنـدسه مسطحه
* هندسه فضایی.
* هندسه خطی.
در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است.

[sajadhoosein]

تقارن محوری



تعریف

تقارن محوری تبدیلی است که با خطی راست که محور تقارن نامیده می شود مشخص می شود . قرینه نقطه نسبت به خط نقطه است در صورتی که، خط عمود منصف پاره خط باشد .
هرگاه نقطه قرینه نقطه نسبت به خط باشد آن را با نماد نشان می دهیم .هر نقطه که روی خط باشد قرینه اش نسبت به خط بر خودش منطبق است . در این تقارن خط را محور تقارن می نامیم و قرینه ، قرینه محوری است . ار تعریف بالا به سادگی نتیجه می شود که قرینه قرینه نسبت به خط بر خود منطبق است ، یعنی :

خواص تقارن محوری

خاصیت اول.

در تقارن محوری قرینه هر خط راست که با محور تقارن متقاطع باشد خطی است راست که از نقطه تقاطع آن خط با محور تقارن می گذرد و زاویه ان با محور برابر است با زاویه همان خط با محور. اگر خط با محور موازی باشد قرینه آن نیز با محور موازی و خط و قرینه اش از محور به یک فاصله می باشند . ( به شکل های الف و ب توجه کنید)

(الف)

(ب)

اثبات.
اگر قرینه نسبت به باشد و از به محل تلاقی خط با خط وصل کنیم ، خط قرینه خط نسبت به خط است .

اگر نقطه ی دلخواهی از خط باشد و از بر خط عمود کنیم تا امتداد آن خط را در قطع کند، از تساوی دو مثلث و ( ز-ض-ز) نتیجه می شود که :

یعنی ، پس قرینه ی هر نقطه دلخواه خط نسبت به خط روی می افتد و هم چنین بر عکس ، ثابت می شود که هر نقطه خط قرینه یک نقطه خط نسبت به خط است ، یعنی :

نتیجه ۱.

قرینه محوری هر پاره خط با ان مساوی است .

نتیجه ۲.

قرینه محوری هر زاویه زاویه ای است مساوی با آن .

نتیجه ۳.

تبدیل یافته هر شکل در تقارن محوری با آن شکل برابر است .
اما تساوی ، تساوی معکوس است . زیرا طرز قرار گرفتن زاویه ها و راس های نظیر در دو شکل هندسی در دو جهت مختلف است .

خاصیت دوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن با محورهای موازی یک انتقال است .
اثبات.
با توجه به شکل داریم ، بنابراین :

پس می توان نوشت :
یا

خاصیت سوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای متقاطع یک دوران است که مرکز دوران همان محل برخورد محورها و زاویه ی دوران دو برابر زاویه ی بین دو محور می باشد .
اثبات.

نتیجه ۱.

اگر دو محور بر هم عمود باشند آنگاه زاویه ی دوران ۱۸۰ است یعنی نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای عمود بر هم یک تقارن مرکز است .
محور تقارن

تعریف.

هر گاه قرینه هر نقطه از شکل نسبت به خط ثابت بر روی خود شکل قرار گیرد خط را محور تقارن شکل گوییم . یک شکل ممکن است چندین محور تقارن داشته باشد .
خاصیت چهارم. بنا به نتیجه (۱) و تعریف بالا هر گاه شکلی دارای دو محور تقارن عمود بر هم باشد، دارای مرکزتقارن است و محل تلاقی دو محور تقارن خواهد بود . مانند بیضی ، دایره، مربع و …

خاصیت پنجم.

هر ضلعی منتظم دارای محور تقارن است . اگر فرد باشد این محورهای تقارن از یک راس و وسط یک ضلع می گذرند مانند مثلث متساوی الاضلاع ، پنج ضلعی منتظم و … و اگر زوج باشد نصف محورهای تقارن از وسط های اضلاع و نصف دیگر از راس ها می گذرند مانند مربع ، شش ضلعی منتظم و … هم چنین دایره بی شمار محور تقارن دارد .

(الف)

(ب)

خاصیت ششم.

دو دایره با شعاع های مساوی و مرکز های متمایز دارای دو محور تقارن عمود بر هم می باشد و دو دایره با شعاع های نامساوی و مرکز های متمایز دارای یک محور تقارن می باشند که این محور تقارن امتداد خط المرکزین آن هااست و مماس مشترک های دو دایره نسبت به آن قرینه اند . هم چنین دو دایره متحد المرکز دارای بی‌شمار محورتقارن هستند.

(الف)

(ب)

خاصیت هفتم.

هر خط راست بی شمار محور تقارن دارد . نیم خط محور تقارن ندارد و پاره خط یک محور تقارن دارد که عمودمنصف آن است .
مساله‌ ۱.

بین تمام مثلث هایی که قاعدهو مساحت برابر دارند محیط مثلثی مینیمم است که متساوی الساقین باشد .
حل. فرض کنید مثلث باشد، که ارتفاع آن است ، حال اگر قاعده مشترک را بنامیم و مساحت باشد؛ چون پس ارتفاع ثابت است و مکان هندسی راس دو خط موازی می باشد .
حال برای آن که مینیمم باشد (ثابت است ) قرینه ی را نسبت به خط پیدا می کنیم و آن را می نامیم . از به وصل می کنیم تا را قطع کند . محل تقاطع را می نامیم . چون و موازیند، پسو مساوی و مثلث متساوی الساقین است .

مساله‌ ۲.

مثلث و نقطه روی ضلع مفروض است ، نقاط و را روی و طوری بیابید که محیط مثلث کمترین مقدار ممکن را داشته باشد .
حل. فرض کنید و قرینه های نسبت به و باشند . اگر، و را درو قطع کند ادعا می کنیم مثلث مثلث مطلوب است وتوجه کنید که . پس محیط مثلث برابر طول پاره خط است . مشابهاً اگر و نقاط دیگری روی باشند محیط مثلث برابر طول پاره خط شکسته است که به وضوح از طول پاره خط که برابر محیط مثلث بود، بیشتر است . پس مثلث کمترین محیط را دارد .

مساله ۳.

تمام هایی را پیدا کنید که بتوان مربع یکسان را طوری در صفحه قرار داد که اضلاع آنها افقی و عمودی باشد و شکل حاصل حداقل سه محور تقارن داشته باشد .

حل. فرض کنیدیکی از مربع های مذکور باشد و یکی از محورهای تقارن و خطی موازی خطی افق و قرینه ی نسبت به باشد . داریم :

که ( مطابق شکل ) . حال از آنجا که یکی از اضلاع مربع های موجود در صفحه است دو حالت داریم:

پس محورهای تقارن با یکدیگر و سطح افق زاویه ۴۵ یا ۹۰ درجه می سازند . زیرا اضلاع مربع ، یا موازی محور یا عمود بر آن می باشند . از طرف دیگر ممکن است ، را قطع نکند و داشته باشیم . پس چهار نوع تقارن داریم ، که در شکل شماره گذاری شده اند :

دو حالت داریم :
الف.فرض می کنیم هیچ دو محور تقارنی موازی نباشند پس یا محور تقارن های ۱و۳ با هم وجود دارند، یا محور تقارن های ۲و۴ با هم وجود دارند .
زیرا طبق اصلا لانه کبوتری اگر دو دسته (۳و۱) و (۴و۲) را در نظر بگیریم ، از یک دسته حتماً دو عضوآن انتخاب می شود؛ چون حداقل ۳ محور تقارن داشتیم .
بدون کم شدن از عمومیت مسیله فرض می کنیم دو محور از انواع ۳و۱ داریم :
حالت دوم از دوارن ۹۰ این دو محور نسبت به محل برخورد آنها حاصل می شود (دقت کنید که قرینه و یا دوران ۹۰ درجه محورها و شکل مربع ها ، تنها اضلاع افقی را به عمودی و عمودی را به افقی تبدیل می‌کند و یا تغییر در آنها نمی دهد.) حال فرض کنید محل برخورد دو محور مبدا مختصات باشد و مرکز یکی از مربع ها باشد . (واضح است که با توجه به یکسان بودن مربع ها و مختصات مرکز آنها و مربع ها به طور یکتا تعیین می شوند)

پس اگر موجود باشد آنگاه موجود است پس خط نیز یک محور تقارن است و شکل حاصل ۳ محور تقارن دارد .
حال اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر و آنگاه از هر مربع مربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگر آنگاه از هر مربع یک و فقط یک مربع ( یعنی خود مربع ) حاصل می شود . از حالات فوق نتیجه می شود که تعداد مربع ها به شکل و می باشد .
ب‌.فرض کنید حداقل دو محور تقارن موازی باشند . بدون این که خللی به فرض مسیله وارد شود فرض کنیم ازنوع ۱ باشند و یکی به معادله ی و دیگری به معادله باشد و مرکز یکی از مربع ها باشد

و چون بی نهایت نقطه به شکل داریم : پس بی نهایت مربع داریم ( تناقض).

[sajadhoosein]

پیر فرما - pierre de fermat



پیر فرما یکی از بزرگترین ریاضیدانهای بود که در صده هفدهم زندگی میکرد.بیشتر کارهای او در زمینه نظریه اعداد بود.
خیلی از استدلالهای واثباتها فرما بوسیله ریاضیدانهای بعد از او مثل اویلر تنظیم شد.
جالبترین وبی همتاترین گزاره فرما قضیه بزرگ فرما است.
قضیه:وقتی n عدد درستی بزرگتر از ۲ باشد معادله xn+yn=zn جواب درستی برای x,y,z بجز صفر داشته باشند.تنها اثبات کاملی که از فرما باقی مانده اثبات این قضیه برای حالت n=۴ است.
قضیه فرما به قول دیکسون در تاریخ نظریه اعداد بیش از سیصد سال ریاضیدانها را به خود مشغول کرده تا اینکه خیلی ها در صحت این قضیه شک کردند.
در سال ۱۹۰۸ ولف سکل (wolfskehl) آلمانی ۱۰۰۰۰۰ مارک جایزه برای کسی تعیین کرد که این قضیه را حل کند.فقط در گوتینگن آلمان طی ۳ سال بیش از هزاران راه حل به جامعه ریاضی فرستاده شد.خیلی از این راه حل ها خنده دار بودند.بعد از جنگ جهانی اول این جایزه ارزش خودشو بدلیل تورم از دست داد.
در مسیر حل این قضیه نظریه عددهای جبری یشرفت زیادی میکرد واین موضوع حل آنرا خیلی با اهمیت می کرد.اثبات آن نیاز به مسیرهای تازه ای در ریاضی داشت.سفارش شده ریاضیدانهای جوان وارد حل مقدماتی این قضیه نشوند.
تا اینکه بعد از سیصدو پنجاه سال این قضیه در سال ۱۹۹۵ بوسیله آندرو وایلز وبا استفاده از نتایج بسیاری از ریاضیدانها اثبات شددر این اثبات روشهای هندسی وجبری به نحو پیچیدهای مخلوط شده اند.
در سال ۱۹۵۵ یک ریاضیدان به نام یوتاکا تانیاما یک حدس عجیب و شجاعانه ای رو مطرح کرد که بعدها بوسیله گوروشیمورا دقیق تر شد این حدس به حدس تانیاماـ شیمورا ـ وایل معروف است البته نقش وایل بسیار ناچیزه .اگر این حدس درست باشد منجر به اثبات قضیه فرما میشود که این حدس توسط اندرو وایلز برای خم های نیم پایدار اثبات شد و در سال ۱۹۹۹ برویل و دیاموند و تیلور و کنراد برای همه خم های بیضوی ثابت کردند.

[sajadhoosein]

رمزنگاری



رمزنگاری دانش تغییر دادن متن پیام به کمک یک کلید رمزنگاری و یک الگوریتم رمزنگاری است. به صورتی که تنها شخصی که از کلید و الگوریتم مطلع است قادر به استخراج متن اصلی از متن رمزشده باشد و شخصی که از یکی یا هردوی آن‌ها اطلاعی ندارد، نتواند به محتوای پیام دسترسی پیدا کند. رمزنگاری از طریق پنهان نگاه داشتن الگوریتم منسوخ است. در روشهای جدید رمزنگاری فرض بر آن است که همگان الگوریتم را می‌دانند. آنچه پنهان است فقط کلید است.
رمزنگاری علمی است که به وسیله آن می‌توان اطلاعات را بصورتی امن منتقل کرد حتی اگر مسیر انتقال اطلاعات (کانالهای ارتباطی) ناامن باشد. دریافت‌کننده اطلاعات آنها را از حالت رمز خارج می‌کند (decrypting). به این عمل در واقع رمزگشایی گفته می‌شود .
توجه داشته باشید که رمزنگاری به تغییر ساده محتویات یک متن گفته می‌شود با کدگذاری (coding) تفاوت دارد. در این صورت تنها هر کاراکتر با یک نماد تغییر می‌کند. کلمه Cryptography بر گرفته لغات یونانی‘kryptos’ به مفهوم ” محرمانه ” و grapheinبه معنای نوشتن ” است. قبل از هر چیز لازم است بین رمز و کد تفاوت قایل شویم. رمز به مفهوم تبدیل کاراکتر به کاراکتر یا بیت به بیت ؛ بدون تغییر محتویات زبان شناختی آن است. در مقابل ” کد ” تبدیلی است که کلمه‌ای را با یک کلمه یا نماد دیگر جایگزین می‌کند . در بررسی نخستین استفاده کنندگان از رمزنگاری به ” سزار ” امپراتور روم و نیز ” الکندی ” که یک مسلمان است برمیخوریم از عمده ترین شیوه‌های رمزنگاریهای ابتدایی پیچیدن نسخه اصلی پیام بر روی استوانه‌ای با قطر مشخص و نوشتن پیام بر روی متن استوانه‌ای است. بدیهی است بدون درک میزان قطر، خواندن پیام کار بسیار دشواری بود بعدها از این روش به همراه موتورهای الکتریکی برای رمزنگاری استفاده شد. در ادامه تصاویری از این رمزنگاری را مشاهده میکنید .
رمزنگاری امروزه به طور خاص در علم مخابرات مورد استفاده قرار می‌گیرد. از رمزنگاری می‌توان برای تأمین امنیت و تأمین اعتبار پیام به صورت جداگانه یا توامان استفاده کرد. منظور از تأمین امنیت پیام این است که به غیر از گیرنده مجاز، شخص دیگر قادر به فهمیدن متن پیام نباشد. همچنین منظور از اعتبار پیام این است که فرستنده واقعی پیام مشخص باشد. دانش رمزنگاری بر پایه مقدمات بسیاری از قبیل تیوری اطلاعات، نظریه اعداد و آمار بنا شده‌است.
الگوریتمهای مختلفی (مانند md۵ و RSA) برای رمز کردن اطلاعات وجود دارد.
۱ - معرفی رمزگذاری
رمزگذاری یعنی تبدیل اطلاعات به یک شکل غیر قابل فهم و انتقال آن و سپس برگرداندن اطلاعات رمز شده به حالت اولیه و قابل خواندن. عناصر مهمی که در رمزگذاری مورد استفاده قرار می‌گیرند به شرح زیر می‌باشد:
۱.۱ Public Key یا کلید عمومی اعداد یا کلماتی که با یک شخص یا سازمان در ارتباط می‌باشد. کلید عمومی جزیی از جفت کلید عمومی/خصوصی می‌باشد وبه صورت عمومی در دسترس کسانی که قصد انتقال اطلاعات رمز شده را دارند، می‌باشد.
۱.۲ Private Key یا کلید خصوصی اعداد یا کلماتی که با یک شخص یا سازمان در ارتباط می‌باشد. کلید خصوصی جزیی از جفت کلید عمومی/خصوصی می‌باشد. کلید خصوصی فقط در دسترس مالک جفت کلید عمومی/خصوصی می‌باشد و برای بازگشایی اطلاعاتی که توسط کلید عمومی رمزگذاری شده استفاده می‌شود.
۱.۳ ایجادکننده‌های جفت کلید برای ایجاد یک جفت کلید عمومی و خصوصی طبق یک الگوریتم رمزگذاری مشخص استفاده می‌شود.
۱.۴ Key Factories برای تبدیل کلیدهای نامشخص به کلیدهای مشخص به کار می‌رود.
۱.۵ Keystores بانکی که برای مدیریت تعدادی از کلیدها به کار می‌رود.
۱.۶ الگوریتمهای رمزگذاری الگوریتم‌ها و روشهایی که برای رمزگذاری اطلاعات به کار می‌رود. RSA و DES نام دو تا از معروفترین الگوریتم‌ها می‌باشد.
۲ - روشهای رمزگذاری
۲.۱ - روش متقارن Symmetric در این روش هر دو طرفی که قصد رد و بدل اطلاعات را دارند از یک کلید مشترک برای رمزگذاری و نیز بازگشایی رمز استفاده می‌کنند.در این حالت بازگشایی و رمزگذاری اطلاعات دو فرآیند معکوس یکدیگر می‌باشند. مشکل اصلی این روش این است که کلید مربوط به رمزگذاری باید بین دو طرف به اشتراک گذاشته شود و این سوال پیش می‌آید که دو طرف چگونه می‌توانند این کلید را به طور امن بین یکدیگر رد و بدل کنند. انتقال از طریق انترانت و یا به صورت فیزیکی تا حدی امن می‌باشد اما در انتقال آن در اینترنت به هیچ وجه درست نیست.در این قبیل سیستم‌ها، کلیدهای رمزنگاری و رمزگشایی یکسان هستند و یا رابطه‌ای بسیار ساده با هم دارند .این سیستم‌ها را سیستم‌های متقارن یا ” تک کلیدی ” مینامیم. به دلیل ویژگی ذاتی تقارن کلید رمزنگاری و رمزگشایی، مراقبت و جلوگیری از افشای این سیستم‌ها یا تلاش در جهت امن ساخت آنها لازم است در بر گیرنده ” جلوگیری از استراق سمع ” و ” ممانعت از دستکاری اطلاعات ” باشد .
۲.۲ - روش نامتقارن Asymmetric این روش برای حل مشکل انتقال کلید در روش متقارن ایجاد شد. در این روش به جای یک کلید مشترک از یک جفت کلید به نامهای کلید عمومی و خصوصی استفاده می‌شود. در این روش از کلید عمومی برای رمزگذاری اطلاعات استفاده می‌شود. طرفی که قصد انتقال اطلاعات را به صورت رمزگذاری شده دارد اطلاعات را رمزگذاری کرده و برای طرفی که مالک این جفت کلید است استفاده می‌شود. مالک کلید، کلید خصوصی را پیش خود به صورت محرمانه حفظ می‌کند. در این دسته، کلیدهای رمزنگاری و رمزگشایی متمایزند و یا اینکه چنان رابطه پیچیده‌ای بین آنها حکم فرماست که کشف کلید رمزگشایی با در اختیار داشتن کلید رمزنگاری، عملا ناممکن است.
۲.۳ -مقایسه رمزنگاری الگوریتمهای متقارن و الگوریتمهای کلید عمومی‌: ‏ ‏بحثهای زیادی شده که کدام یک از این الگوریتم‌ها بهترند اما جواب مشخصی‌ ندارد. البته بررسی‌ هایی‌ روی این ‏سوال شده به طور مثال Needham و Schroeder بعد از تحقیق به این نتیجه رسیدند که طول پیغامی‌ که با الگوریتمهای متقارن ‏میتواند رمزنگاری شود از الگوریتمهای کلید عمومی‌ کمتر است. و با تحقیق به این نتیجه ریسیدند که الگوریتمهای ‏متقارن الگوریتمهای بهینه تری هستند. اما وقتی‌ که بحث امنیت پیش می‌ آید الگوریتمهای کلید عمومی‌ کارایی‌ بیشتری‏دارند. و بطور خلاصه می‌توان گفت که الگوریتمهای متقارن دارای سرعت بالاتر و الگوریتمهای کلید عمومی‌ دارای ‏امنیت بهتری هستند. در ضمن گاهی‌ از سیستم ترکیبی‌ از هردو الگوریتم استفاده می‌کنند که به این الگوریتم‌ها الگوریتم ‏های ترکیبی‌ (hybrid)گفته می‌شود. اما اگر به طور دقیق تر به این دو نگاه کنیم آنگاه متوجه خواهیم شد که الگوریتمهای کلید عمومی‌ و الگوریتمهای ‏کلید متقارن دارای دو ماهیت کاملاً متفاوت هستند و کار بردهای متفاوتی‌ دارند به طور مثال در رمزنگاریهای ساده که ‏حجم داده‌ها بسیار زیاد است از الگوریتم متقارن استفاده می‌شود زیرا داده‌ها با سرعت بالاتری رمزنگاری و ‏رمزگشایی‌ شوند. اما در پروتکل هایی‌ که در اینترنت استفاده می‌شود، برای رمز نگری کلید هایی‌ که نیاز به مدیریت ‏دارند از الگوریتمهای کلید عمومی‌ استفاده می‌شود.
۲.۶ – Key Agreement همانطور که در بالا گفته شد به علت کند بودن و محدودیت رمزگذاری با روش نامتقارن از این روش فقط برای رمزگذاری کلید مشترک استفاده می‌شود. اما این روش نیز یک مشکل دارد و آن اینست که هر شخص نیاز به کلید عمومی و خصوصی مربوط به خود را دارد و باید برای انتقال اطلاعات آن را برای طرف مقابل بفرستد. یک راه برای حل مشکل استفاده از کلید عمومی و یک مکانیزم به نام Key Agreement می‌باشد که به طبق آن یک توافق بر روی کلید مخفی بین طرفین به وجود می‌آید و به این ترتیب نیازی به انتقال کلید نیست. وقتی که یک بار بر روی یک کلید مشترک توافق حاصل شد از آن می‌توان برای رمزگذاری و رمزگشایی اطلاعات مربوطه استفاده کرد. معمولاً در این روش از الگوریتم Diffie-Hellman استفاده می‌شود. مراحل انتقال اطلاعات از این روش به صورت زیر می‌باشد: - آغازگر ابتدا یک جفت کلید عمومی و خصوصی ایجاد کرده و کلید عمومی را همراه با مشخصات الگوریتم (Algorithm Specification) به سمت طرف مقابل می‌فرستد. - طرف مقابل نیز یک جفت کلید عمومی و خصوصی همراه با مشخصات الگوریتم آغازگر ساخته و کلید عمومی را برای آغازگر می‌فرستد. - آغازگر یک کلید مخفی بر اساس کلید خصوصی خود و کلید عمومی طرف مقابل ایجاد می‌کند. - طرف مقابل نیز با استفاده از کلید خصوصی خود و کلید عمومی آغازگر یک کلید مخفی می‌سازد. الگوریتم Diffie-Hellman تضمین می‌کند که کلید مخفی هر دو طرف یکسان می‌باشد.
۳ - انواع روشهای رمزگذاری اسناد
۳.۱ - رمزگذاری همه اطلاعات یک سند xml سند زیر را در نظر بگیرید:

<?xml version=’۱.۰′?> <PaymentInfo xmlns=’http://example.org/paymentv۲′>
<Name>John Smith</Name>
<CreditCard Limit=’۵,۰۰۰′ Currency=’USD’>
<Number>۴۰۱۹ ۲۴۴۵ ۰۲۷۷ ۵۵۶۷</Number>
<Issuer>Example Bank</Issuer> <Expiration>۰۴/۰۲</Expiration> </CreditCard> </PaymentInfo>

این سند پس از رمزگذاری بر اساس استانداردهای W۳C به شکل زیر در می‌آید:

<?xml version=’۱.۰′?> <EncryptedData xmlns=’

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

MimeType=’text/xml’>
<CipherData>
<CipherValue>A۲۳B۴۵C۵۶</CipherValue>
</CipherData>
</EncryptedData>

۳.۲ - رمزگذاری یک element مشخص از یک سند xml
رمزگذاری یک element مشخص بصورت زیر می‌باشد. در این حالت <CreaditCard> رمزگذاری شده و به شکل زیر در آمده‌است:

<?xml version=’۱.۰′?> <PaymentInfo xmlns=’http://example.org/paymentv۲′>
<Name>John Smith</Name>
<EncryptedData Type=’

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

xmlns=’http://www.w۳.org/۲۰۰۱/۰۴/xmlenc#’>
<CipherData>
<CipherValue>A۲۳B۴۵C۵۶</CipherValue>
</CipherData>
</EncryptedData>
</PaymentInfo>

۳.۳ - رمزگذاری محتویات یک element مشخص در این حالت فقط محتویات و اطلاعات درون یک element رمزگذاری شده و خود element ثابت باقی خواهد ماند:

<?xml version=’۱.۰′?>
<PaymentInfo xmlns=’http://example.org/paymentv۲′>
<Name>John Smith</Name>
<CreditCard Limit=’۵,۰۰۰′ Currency=’USD’>
<EncryptedData xmlns=’

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

Type=’http://www.w۳.org/۲۰۰۱/۰۴/xmlenc#Content’>
<CipherData>
<CipherValue>A۲۳B۴۵C۵۶</CipherValue>
</CipherData>
</EncryptedData>
</CreditCard>
</PaymentInfo>

در این حالتelement <CreditCard> ثابت مانده ولی محتویات آن رمزگذاری شده‌است.
اطلاعات پس از رمزگذاری طبق استاندارد W۳C درون عنصر <ChipherData> قرار می‌گیرند. همچنین در این قسمت یک عنصر <EncryptedData> دیده می‌شود که شامل اطلاعاتی از قبیل نوع رمزگذاری و یا الگوریتم مورد استفاده برای رمزگذاری می‌باشد.
۳.۴ – کلیدهای مورد استفاده در رمزگذاری وقتی یک سند XML یا بخشی از آن رمزگذاری می‌شود آن قسمت با عنصر <EncryptedData> تعویض می‌شود. این عنصر ممکن است شامل نوع رمزگذاری باشد که گیرنده از این اطلاعات استفاده می‌کند، مثلاً اطلاعاتی شامل اینکه آیا کل سند رمزگذاری شده یا قسمتی از آن و همچنین اینکه نوع اطلاعات رمزگذاری شده متن است یا تصویر و غیره.
می‌توان مشخصات کلید مشترک را درون خود سند درون عنصر <EncryptedKey> قرار داد. اطلاعات واقعی که رمزگذاری شده‌اند درون عنصر <CipherData> قرار می‌گیرند. در داخل این قسمت نیز یک عنصر <CipherValue> قرار دارد که شامل اطلاعات واقعی رمزگذاری شده می‌باشد.
۳.۵ – روشهای انتقال کلید طبق استاندارد W۳C سه روش برای انتقال کلید موجود می‌باشد:
۱. می‌توان کلید را درون همان سند قرار داد، عناصر <EncryptedData> و یا <EncryptedKey> می‌توانند یک عنصر <ds:KeyInfo> داشته باشند که مشخص کننده جزییات کلید می‌باشد. خود این عنصر شامل عناصر زیر می‌باشد: - عنصر <ds:KeyValue> که مقدار آن همان کلید عمومی یا کلید رمزگذاری شده می‌باشد. - عنصر <ds:KeyName> که به یک عنصر <EncryptedKey> اشاره می‌کند. - عنصر <ds:RetrievalMethod> که متد بازیابی کلید را مشخص می‌کند.
۲. می‌توان یک فایل دیگر که شامل عنصر <EncryptedKey> می‌باشد ضمیمه سند کرد که در این حالت درون سند xml عنصر <DataReference> یا <KeyReference> قرار می‌گیرد که به آن ضمیمه اشاره می‌کند. ۳. در روش سوم در هیچ قسمت از سند XML به کلید اشاره‌ای نمی‌شود و مسیر کلید از قبل مشخص می‌باشد.
۴ – امضای دیجیتالی ۴.۱ – معرفی امضای دیجیتالی برای اینکه هویت فرستنده سند تایید شود و نیز برای اطمینان از اینکه سند در طول مدت انتقال به گیرنده دستکاری نشده‌است از امضای دیجیتالی استفاده می‌شود. می‌توان کل یک سند و یا قسمتی از آن را امضا کرد. به طور کلی سه دلیل برای استفاده از امضای دیجیتالی وجود دارد که شامل: ۱. استفاده از کلید عمومی این اجازه را به هر شخصی می‌دهد که کلید خود را به سمت فرستنده اطلاعات بفرستد و سپس گیرنده پس از دریافت اطلاعات آن را توسط کلید خصوصی خود بازگشایی می‌کند، بنابراین امضای دیجیتالی این امکان را می‌دهد که فرستنده یا گیرنده مطمین شوند که اطلاعات از محل یا شخص مورد نظر دریافت می‌شود. ۲. اطلاعات در طول مدت انتقال ممکن است توسط دیگران دستکاری شود برای اینکه از صحت اطلاعات رسیده مطمین شویم نیاز به یک امضای دیجیتالی در این حالت احساس می‌شود. ۳. رد کردن اطلاعات فرستاده شده. گیرنده اطلاعات برای اینکه مطمین شود فرستنده بعدا از اطلاعاتی که فرستاده اعلام بی خبری نکند و آنها را رد نکند از فرستنده یک امضا درخواست می‌کند تا شاهدی بر این ادعا باشد.
برای پیاده سازی یک امضای دیجیتالی نیاز به سه الگورتم داریم: - یک الگوریتم برای ایجاد کلید - الگوریتم برای ایجاد امضا - الگوریتم برای تایید امضا
برای ایجاد یک امضای دیجیتالی باید یک عدد checksum برای سند مورد نظر محاسبه شود. فرض کنید Bob قصد ارسال یک پیام به Alice را دارد، Bob پیام خود را همراه با امضای دیجیتالی برای Alice می‌فرستد. این امضای دیجیتالی توسط کلید خصوصی که مالک آن Bob می‌باشد ایجاد شده‌است. در سمت دیگر Alice با استفاده از الگوریتم تایید امضا و کلید عمومی که از Bob دریافت کرده صحت امضا و اینکه امضا از طرف Bob می‌باشد را تایید می‌کند.
۴.۲ – عناصر موجود در یک امضا در شکل زیر عناصر تشکیل دهنده یک امضای دیجیتالی را می‌بینید:
برای ایجاد یک امضای دیجیتالی باید طبق استاندارد W۳C به صورت زیر عمل کرد:
۱. ابتدا باید منبعی را که قصد امضای آن را دارید مشخص کنید. عنصر <Reference> که در شکل دیده می‌شود مشخص می‌کند که چه چیزی در این قسمت امضا و علامت گذاری شده‌است. این منبع به صورت یک آدرس URI می‌باشد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

به یک منبع از نوع فایل HTML اشاره می‌کند.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

به یک فایل تصویری اشاره می‌کند.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

به یک فایل از نوع XML اشاره می‌کند.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

به یک عنصر درون فایل XML به نام main اشاره می‌کند.
۱. testInfo: به یک عنصر درون فایل XML فعلی اشاره می‌کند.
۲. محاسبه مقدار digest به ازای هر منبع مشخص شده در <Reference>، که این مقدار در <DigestValue> قرار می‌گیرد. همچنین عنصر <Reference> شامل عنصر <DigestMethod> می‌باشد که الگوریتم مورد استفاده در محاسبه digest را معرفی می‌کند.
۳. همه منابع که باید امضا شوند جمع آوری می‌شود:

SignedInfo Id="foobar">
<CanonicalizationMethod
Algorithm="http://www.w۳.org/TR/۲۰۰۱/REC-xml-c۱۴n-۲۰۰۱۰۳۱۵"/>
<SignatureMethod Algorithm="http://www.w۳.org/۲۰۰۰/۰۹/xmldsig#dsa-sha۱" />
<Reference URI="http://www.abccompany.com/news/۲۰۰۰/۰۳_۲۷_۰۰.htm">
<DigestMethod Algorithm="http://www.w۳.org/۲۰۰۰/۰۹/xmldsig#sha۱" />
<DigestValue>j۶lwx۳rvEPO۰vKtMup۴NbeVu۸nk=</DigestValue>
</Reference>
<Reference
URI="http://www.w۳.org/TR/۲۰۰۰/WD-xmldsig-core-۲۰۰۰۰۲۲۸/signature-example.xml">
<DigestMethod Algorithm="http://www.w۳.org/۲۰۰۰/۰۹/xmldsig#sha۱"/>
<DigestValue>UrXLDLBIta۶skoV۵/A۸Q۳۸GEw۴۴=</DigestValue>
</Reference>
</SignedInfo>

عنصر <CanonicalizationMethod> مشخص می‌کند که چه الگوریتمی برای قانونی کردن (canonize) عنصر <SignedInfo> استفاده شده‌است.
۴. علامت گذاری امضا: در این قسمت مقدار digest برای عنصر <SignedInfo> محاسبه شده و درون عنصر <SignatureValue> قرار می‌گیرد. ۵. اضافه کردن مشخصات کلید: می‌توانید مشخصات کلید خود را درون عنصر <KeyInfo> قرار دهید ولی این قسمت الزامی نیست و ممکن است شما نخواهید که این مشخصات معلوم گردد.
۴.۳ – تایید یک امضای دیجیتالی مراحل تایید Verify یک امضای دیجیتالی به صورت خلاصی در زیر آورده شده‌است: - تایید امضای عنصر <SignedInfo>. برای این منظور ابتدا دوباره مقدار digest برای این عنصر را طبق الگوریتم مشخص شده در عنصر <SignatureMethod> محاسبه نموده و از کلید عمومی برای این کار استفاده می‌شود و برای تایید آن مقدار محاسبه شده را با مقدار معرفی شده در عنصر <SignatureValue> مقایسه می‌کنیم. - اگر مرحله قبل بدون مشکل تایید شد حالا به ازای هر منبع معرفی شده در عنصر <Reference> مقدار digest آن را محاسبه نموده و با مقدار مشخص شده در عنصر <DigestValue> مقایسه می‌کنیم.

[sajadhoosein]

ترکیبیات



شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌‌رفته است. در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌‌کنیم.البته باید یاد آوری کنیم که مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌‌کنیم: ۱)اصل ضرب:اصل ضرب می‌‌گوید که “اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمت کنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت”.این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌‌کنیم: “اگر پیشامدی به ۲ پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به mk حالت واقع می‌شود.” مثال:شخصی قصد سفر از شهر A به شهر B و سپس شهر C را دارد.از شهر A به شهر B,پنج جاده و از B به C چهار راه وجود دارد.اگر از A به C جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌‌توان از A به C رفت؟جواب:واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر ۲۰ می‌‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است. در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق وکار دیگری را بتوان به nطریق انجام داد واگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌‌توان به m+nطریق انجام داد.

[bahar1996]

شايد خيلي مهم نباشه اما معلم گاوس همه رو مجبور به جمع اعداد نكرد و فقط به گاوس كه بچه شلوغ وغير قابل كنترلي بود گفت كه تا وقتي اين كارو تموم نكرده حق اظهار نظر(ايراد گرفتن از معلم!)رو نداره

[136275]

[QUOTE=Babak_King;201213]
بلیبلبیلیبلیبلبیلبلبلیبلل یبل لل ل ل ل ل ل فل ل ل ل لسال ها پيش در يكي از كلاس هاي رياضيات مدارس آلمان، آموزگار براي اينكه مدتي بچه

[selcuksahin]

ضرب ماتریس 4در4 به روش استراسن رو یکی برام کامل توضیح بده