تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[mir@]

سطح B

نشان دهید که برای هر عدد طبیعی n که به رقم 1، 3، 7 یا 9 ختم می شود عددی وجود دارد که همه ی ارقام آن 1 است و بر n بخش پذیر است. (به طور مثال 111 بر 37 بخش پذیر است.)

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

[mofidy1]

با سلام

سطح A

نقطه ی P را درون مثلث ABC اختیار می کنیم، خطوط راست BP و CP اضلاع روبه رو را به ترتیب در B_1 و C_1 قطع می کنند. اگر بدانیم که هم مساحتها و هم محیطهای دو مثلث PBC_1 و PCB_1 با هم برابرند، ثابت کنید P روی نیمساز درونی زاویه ی A قرار دارد.

=================================

سطح B

نشان دهید که برای هر عدد طبیعی n که به رقم 1، 3، 7 یا 9 ختم می شود عددی وجود دارد که همه ی ارقام آن 1 است و بر n بخش پذیر است. (به طور مثال 111 بر 37 بخش پذیر است.)

=================================

سطح C

در چهار وجهی OABC هر جفت از خطهای OB، OA و OC متعامدند. ثابت کنید مثلث ABC قائم الزاویه نیست.

=================================

سطح ِD

فرض کنید a و b عضوهای یک حلقه ی متناهی باشند به طوری که abb=b. ثابت کنید bab=b. (توجه کنید که حلقه لزوما یکدار نیست.)

موفق باشید.

15 مهر 1386

با سلام

سطح A

ازآقا امیر به خاطر حل این مساله ی نسبتاً مشکل تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

سطح B

از آقا امیر خواهش می کنم راه حلی را که در پست 151 داده اند بازنویسی کنند. راه حل ایشان احتمالا درست است اما کاملا خوانا نیست. روش کوتاه تری بر اساس اصل لانه ی کبوتری خدمتتان تقدیم می کنم.

n+1 عدد 1 و 11 و 111 و ... و 1..11 را در نظر بگیرید. در میان این اعداد دو عدد وجود دارند که باقیمانده ی آنها در تقسیم بر n برابر است. تفاضل این دو (که بر n بخش پذیر است) به صورت حاصل ضرب دو عدد a و b است که ارقام a همگی 1 و نیز b توانی از 10 است. بنابر این جواب مساله همان عدد a است.

سطح C

راه حل آقا امیرصحیح است. به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

سطح D

ابتدا ثابت کنید b با توان دیگری از خود برابراست و سپس مساله را در دو حالت b=b^2 و b=b^i که i>2 ثابت کنید.

عید سعید فطر بر همه ی بندگان خوب خدا مبارک باد.

موفق باشید.

22 مهر 1386

[mofidy1]

با سلام

سطح A

اتحاد زیر را ثابت کنید(مخرج کسر ناصفر فرض می شود):

=================================

سطح B

حدهای زیر را محاسبه کنید (از قاعده ی هوپیتال استفاده نکنید):

=================================

سطح C

فرض کنید r عددی مثبت و کوچکتر از یک باشد. توپی از ارتفاع a متری سقوط می کند، به زمین برخورد می کند و دوباره به بالا می رود و ... هر زمان که توپ از ارتفاع h متری به زمین برخورد می کند، به اندازه ی hr متر بالا می رود. مسافت کل پیموده شده توسط توپ را محاسبه کنید.

=================================

سطح ِD

دترمینان زیر را محاسبه کنید(دترمینان واندرموند). سعی کنید تا حد امکان راه حلتان، ساده و روشن باشد.

موفق باشید.

22 مهر 1386

[yugioh]

سطح 1:
طرفین را در (8sin(x/80 ضرب میکنیم:
2cos(a)sin(a)=sin2a
در طرف راست داریم:sinx.
پس در طرف چپ داریم:
=[( 2cos(x/8)sin(x/8)*[4cos(x/4)cos(x/2)
=[( 2cos(x/4)sin(x/4)*[2cos(x/2)
=(2cos(x/2)sin(x/2
sinx

[yugioh]

سطح2:
اولی:
lim(x->1)[[x+x^2+...x^n-n]/x-1]=lim(x->1)[[x+x^2+...x^n-n]/x-1]]= a
lim(x->1)[[x+x^2+...x^n]/x-1]=a=
lim(x->1)[1+(x+1)+(x^2+x+1)+...+(1+x+x^2+...+x^n-1)=a
2+1+...+n=
n ( n+1) /2
(a ها برای تایپ است.)


دومی:

lim(x->1)[[x^n+1-(n+1)*x+n]/(x-1)^2]=lim(x->1)[[x(x^n-1)-n(x-1)]/(x-1)^2]]= a
lim(x->1)[[(x+x^2+...x^n-1+x^n)*x-1-n*x-1]/(x-1)^2]=a=
lim(x->1)[[x+x^2+...+x^n-n]/(x-1)]=a
قسمت اول سوال=
n ( n+1) /2
(a ها برای تایپ است.)

[yugioh]

سطح 3:
می دانیم مجموع مسافت=...+a+ar+(ar)*r(که به دلیل r<1 در نتیجه حد ar^n وقتی n به بی نهایت میل می کند صفر است. ( حد r^n=0 و a کراندار.)
پس دنباله بالا همگراست. می خواهیم حد سری را در صورت همگرایی حساب کنیم.
َ ...+A=a+ar+(ar)*r در نتیجه ...+ rA=ar+(ar)*r در نتیجه:
rA=A-a پس A(1-r)=a پس (A=a/(1-r

[yugioh]

سطح 4:
سطر اول را از تمام سطرها کم می کنیم. سپس سطرهای دوم تا آخر را بر (a(k)-a(1 برای سطر kام تقسیم می کنیم.
سپس مجددا سطر دوم را از سوم تا آخر کم میکنم سطر سوم تا آخر را بر (a(k)-a(2 برای سطر kام تقسیم می کنیم.
این روش تا جاییکه سطر n-1 ام را کم کنیم ( با تقسیم هایش) ادامه می دهیم.
در مرحلی kام برای تمامی سطرهای k+1 تا n اعضای اول تا kام سطر صفر و عضو k+1 ام هم یک میشود.نهایتا تمامی خانه های a[i,i]=1 وتمامی خانه های a[i,j]=0 i>j.در نتیجه نهایتا یک ماتریس بالا مثلثی داریم که دترمینان آن برابر حاصلضرب قطر اصلی آن می شود ولی تمامی اعضای قطر اصلی آن 1 هستند پس دتر مینان 1 می شود.

نکته مهم این است که ما در هر مرحله یک تقسیم داریم. اگر قرار باشد مخرج تقسیم صفر باشد در نتیجه : وجود دارد i<>j به طوری که ( a(i)=a(j پس اگر سطر iام رااز jام کم کنیم یک سطر تماما صفر داریم پس دتر مینان صفر میشود.

ویرایش: بعد از اینکه جواب اعلام شد ویرایش کردم به دلیل اینکه یادم رفت بگم تو هر مرحله ماتریس اولیهi نسبت به ماتریس جدید دترمینانش (a(i)-a(j برابر هست پس جواب میشه همون عبارت اعلامی توسط آقای مفیدی. ببخشید اگر این پست و ویرایش کردم فقط خواستم بگم این روش چرا این طوری نتیجه داد.

[mofidy1]

سطح 1:
طرفین را در (8sin(x/80 ضرب میکنیم:
2cos(a)sin(a)=sin2a
در طرف راست داریم:sinx.
پس در طرف چپ داریم:
=[( 2cos(x/8)sin(x/8)*[4cos(x/4)cos(x/2)
=[( 2cos(x/4)sin(x/4)*[2cos(x/2)
=(2cos(x/2)sin(x/2
sinx

[mofidy1]

سطح2:
اولی:
lim(x->1)[[x+x^2+...x^n-n]/x-1]=lim(x->1)[[x+x^2+...x^n-n]/x-1]]= a
lim(x->1)[[x+x^2+...x^n]/x-1]=a=
lim(x->1)[1+(x+1)+(x^2+x+1)+...+(1+x+x^2+...+x^n-1)=a
2+1+...+n=
n ( n+1) /2
(a ها برای تایپ است.)


دومی:

lim(x->1)[[x^n+1-(n+1)*x+n]/(x-1)^2]=lim(x->1)[[x(x^n-1)-n(x-1)]/(x-1)^2]]= a
lim(x->1)[[(x+x^2+...x^n-1+x^n)*x-1-n*x-1]/(x-1)^2]=a=
lim(x->1)[[x+x^2+...+x^n-n]/(x-1)]=a
قسمت اول سوال=
n ( n+1) /2
(a ها برای تایپ است.)

===================

[mofidy1]

با سلام

سطح A

اتحاد زیر را ثابت کنید(مخرج کسر ناصفر فرض می شود):

=================================

سطح B

حدهای زیر را محاسبه کنید (از قاعده ی هوپیتال استفاده نکنید):

=================================

سطح C

فرض کنید r عددی مثبت و کوچکتر از یک باشد. توپی از ارتفاع a متری سقوط می کند، به زمین برخورد می کند و دوباره به بالا می رود و ... هر زمان که توپ از ارتفاع h متری به زمین برخورد می کند، به اندازه ی hr متر بالا می رود. مسافت کل پیموده شده توسط توپ را محاسبه کنید.

=================================

سطح ِD

دترمینان زیر را محاسبه کنید(دترمینان واندرموند). سعی کنید تا حد امکان راه حلتان، ساده و روشن باشد.

موفق باشید.

22 مهر 1386

با سلام

سطح A

راه حل yugioh درست است. به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

سطح B

راه حل yugioh کاملا درست است. به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

سطح C

راه حل yugioh کاملا صحیح است. از ایشان به خاطر حل مسائل تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

سطح D

فرض می کنیم همه ی a_i ها متمایزند، زیرا در غیر این صورت، دترمینان صفر خواهد بود. فرض کنید D_n مقدار دترمینان باشد. به جای a_n عبارت x را قرار دهید. مطمئناً دترمینان یک چند جمله ای(P_n(x از درجه ی n-1 و با ریشه های a_1 و a_2 و ... و {a_{n-1 خواهد بود. بنابر این

که در آن{A=D_{n-1، یعنی

با تکرار استدلال برای{D_{n-1 و {D_{n-2 و ... خواهیم داشت:

موفق باشید.

4 آبان 1386