تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

**pp8khat** · 09-09-2007, 12:41

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

سطح A

محیط یک مثلث قائم الزاویه 60 سانتی مترو ارتفاع وارد بر وتر آن 12 سانتی متر است. طول اضلاع این مثلث را حساب کنید.
موفق باشید.

18 شهریور 1386

حل:
می دانیم در مثلث قائم الزاویه a^2=b^2+c^2 (قضیه فیثاغورث)
می دانیم a^2-b^2=(a-b)(a+b)(اتحاد مزدوج)
a+b+c=60
b=12
a+c=48
قضیه فیثاغورث:
a^2=144+c^2
a^2-c^2=144
(a-c)(a+c)=144
(a-c)(48)=144
a-c=3
a=c+3
a+b+c=60
(c+3)+12+c=60
2c=45
c=22.5
a=25.5

**mir@** · 09-09-2007, 12:59

دوست عزیز،

ارتفاع وارد بر وتر 12 واحد هست، نه یکی از اضلاع قائمه.

**pp8khat** · 09-09-2007, 14:55

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوست عزیز،

ارتفاع وارد بر وتر 12 واحد هست، نه یکی از اضلاع قائمه.

DAMN IT!!!

ممنون از تذکرتون..
حالا درسته دیگه؟؟!!

**yugioh** · 09-09-2007, 15:30

سطحA: من اول دبیرستان نیستم موردی نداره اینها رو حل کنم؟ اگه نباید حل کنم بگید):
طول اضلاع a,b,c ( به ترتیب اندازه c وتر) باشد. درنتیجه داریم( معادلات 1و2و3) ( مساحت مثلث):a*b=12c , (محیط) a+b+c=60 و (فیثاغورث) a^2+b^2=c^2 که سه معادله هست.
4:از دومی در اولی جایگزین می کنیم پس داریم :a*b=720-12a-12b
5:از دومی در سومی جایگزین می کنیم پس داریم : a^2+b^2=3600+a^2+b^2+2a*b-120a-120b در نتیجه:0=3600+2a*b-120a-120b
از 4 در 5 جایگزین می کنیم پس داریم: 24a-24b-120a-120b+3600+1440=0 -
یعنی(6): a-b+35=0 - یا a+b=35 در نتیجه از 2 داریم : c=25، پس از 1 داریم:(7) a*b=300 , از (6) و (7) داریم:
(دو معادله دو مجهول که ابتدا به یک معادبه درجه دو تبدیل میشود) a=15 , b=20.
پس اضلاع:25و20و15 هستند.

**yugioh** · 09-09-2007, 15:49

سطحB: ( چیزی نگفتین این هم از روی زیادم که این پستو می زنم):
عبارت سمت چپ برابر است با ( x میل می کنه به a) :
lim [(f(a)-(f(x))(x-a) + (f(a)a-f(x)x)] / (x-a)=
lim f(a)-f(x)+ lim[f(a)a-f(x)x]/(x-a)= 0+(af(a))`= f(a)-af`(a)= right side

**mir@** · 13-09-2007, 22:59

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سطح C
مقدار انتگرال زیر را به دست آورید:

به نظر مي‌رسد كه مقدار راديكال 2 اختياري است و مي‌توان آن را با n جايگزين نمود.

لذا با تغيير متغير

$t=\frac{\pi}{2}-x$

و مساوي قرار دادن انتگرال صورت سوال با I خواهيم داشت:

$I=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-dt}{1+(\cot t)^n}$

با ضرب صورت و مخرج در $(\tan t)^n$ و عوض كردن حدود انتگرال

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\(\tan t)^n \text{d}t}{1+(\tan t)^n}$
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\(\tan t)^n \text{d}t-1}{1+(\tan t)^n}$
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{d}t-I$
$\Rightarrow 2I=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow I=\frac{\pi}{4}$

**mir@** · 13-09-2007, 23:35

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سطح ِD

فرض کنید تابع زیر، یک به یک باشد:

ثابت کنید برای هر n از اعداد طبیعی

فرض كنيم $0<a<b$ و $0<c<d$ به راحتي مي‌توان ديد كه $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}<\frac{a}{d}+\frac{b}{c}$

با تعميم رابطه بالا در مورد مجموع $\frac{n_1}{d_1}+\frac{n_2}{d_2}+\ldots+\frac{n_n}{d_n}$ مي‌بينيم كه اگر مخرج كسرها متمايز و به ترتيب صعودي باشند، مجموع زماني مينيمم خواهد شد كه صورت كسرها نيز به ترتيب صعودي باشند.

اما بديهي است كه $1^2<2^2<3^2<\cdots$ لذا براي مجموع $\frac{f(1)}{1^2}+\frac{f(2)}{2^2}+\ldots+\frac{f(n)}{n^2}$ از آنجا كه مخرج‌ كسرها متمايز و به ترتيب صعودي هستند، در صورت تمايز صورت كسرها، مجموع زماني مينيمم خواهد بود كه صورت كسرها نيز به ترتيب صعودي باشند.

در صورت مسئله تابع $f(x)$ در مجموعه اعداد طبيعي و يك به يك (و لذا متمايز) تعريف شده است. بنابراين كوچكترين حالت مجموع داده شده زماني رخ مي‌دهد كه مقادير برد تابع، اعداد طبيعي از يك به بالا باشد. بنابراين

$\sum_{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2}\geq\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$

**eh_mn** · 14-09-2007, 13:50

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيم $0<a<b$ و $0<c<d$ به راحتي مي‌توان ديد كه $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}<\frac{a}{d}+\frac{b}{c}$

با تعميم رابطه بالا در مورد مجموع $\frac{n_1}{d_1}+\frac{n_2}{d_2}+\ldots+\frac{n_n}{d_n}$ مي‌بينيم كه اگر مخرج كسرها متمايز و به ترتيب صعودي باشند، مجموع زماني مينيمم خواهد شد كه صورت كسرها نيز به ترتيب صعودي باشند.

اما بديهي است كه $1^2<2^2<3^2<\cdots$ لذا براي مجموع $\frac{f(1)}{1^2}+\frac{f(2)}{2^2}+\ldots+\frac{f(n)}{n^2}$ از آنجا كه مخرج‌ كسرها متمايز و به ترتيب صعودي هستند، در صورت تمايز صورت كسرها، مجموع زماني مينيمم خواهد بود كه صورت كسرها نيز به ترتيب صعودي باشند.

در صورت مسئله تابع $f(x)$ در مجموعه اعداد طبيعي و يك به يك (و لذا متمايز) تعريف شده است. بنابراين كوچكترين حالت مجموع داده شده زماني رخ مي‌دهد كه مقادير برد تابع، اعداد طبيعي از يك به بالا باشد. بنابراين

$\sum_{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2}\geq\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$

بسيار زيباست !!! فوق العاده است!!!

**mofidy1** · 14-09-2007, 23:39

نوشته شده توسط yugioh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سطحB:
عبارت سمت چپ برابر است با ( x میل می کنه به a) :
lim [(f(a)-(f(x))(x-a) + (f(a)a-f(x)x)] / (x-a)=
lim f(a)-f(x)+ lim[f(a)a-f(x)x]/(x-a)= 0+(af(a))`= f(a)-af`(a)= right side

با کمی تغییر:

البته با توجه به فرض، f در نقطه ی a پیوسته است.

23 شهریور 1386

**mofidy1** · 15-09-2007, 00:17

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

سطح A

محیط یک مثلث قائم الزاویه 60 سانتی مترو ارتفاع وارد بر وتر آن 12 سانتی متر است. طول اضلاع این مثلث را حساب کنید.

=================================

سطح B

ثابت کنید اگر تابع f در نقطه ی x=a مشتق پذیر باشد، آنگاه:

=================================

سطح C

مقدار انتگرال زیر را به دست آورید:

=================================

سطح ِD

فرض کنید تابع زیر، یک به یک باشد:

ثابت کنید برای هر n از اعداد طبیعی

موفق باشید.

18 شهریور 1386

با سلام

سطح A

روش yugioh درست است. برای مطالعه ی آن به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید. yugioh با وجود اینکه به تازگی به جمع ما پیوسته اند، اما بسیار پر انرژی هستند. برای ایشان آرزوی موفقیت روزافزون دارم.

سطح B

روش yugioh صحیح است. برای مطالعه ی آن به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

سطح C

روش آقا امیر کاملا درست است. برای مطالعه ی آن به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید. روش دیگر استفاده از تقارن تابع زیر انتگرال نسبت به نقطه ای خاص است که به وسیله ی آن بدون استفاده از انتگرال گیری جواب به دست می آید.

سطح D

روش آقا امیر در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] راه حل زیبا و هوشمندانه ای است. از اینکه افتخار دوستی با چنین افرادی را دارم، احساس غرور می کنم. امیدوارم ایشان و همه ی دوستان در امر تحصیل، موفق و موید باشند.

روش دیگر حل این مساله، استفاده از فرمول مجموع یابی آبل و نامساوی هندسی-حسابی است.

موفق باشید.

24 شهریور1386

نام تاپيک: تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

اختيارات تاپيک

حل مجموعه مسائل هفته ی دوازدهم - سال دوم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن