اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**siyanor** · 06-05-2012, 10:58

خيلى ممنون كه جواب داديد دوست عزيز
من اين مورد

محیط هشت ضلعی هم برابر میشه با محیط مستطیل منهای 4 برابر محیط یک مثلث به علاوه ی 8 برابر طول وتر یک مثلث.

رو درست متوجه نشدم مگه محيط مثلث برابر مجموع 3 تا ضلع نميشه ( نميشه اونا رو به صورت مربع حساب كنيم ؟ با قرار دادن هر دو مثلث كنار هم يك مربع با ضلع x به وجود مياد ؟)
قسمت آخر مربوط به Lim رو من نخوندم ؟!! ميشه يه كم توضيح بديد ( يا يه لينك بدى كه متوجه بشم )

باز هم ازتون ممنونم

**davy jones** · 06-05-2012, 11:42

نوشته شده توسط siyanor [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خيلى ممنون كه جواب داديد دوست عزيز
من اين مورد
رو درست متوجه نشدم مگه محيط مثلث برابر مجموع 3 تا ضلع نميشه ( نميشه اونا رو به صورت مربع حساب كنيم ؟ با قرار دادن هر دو مثلث كنار هم يك مربع با ضلع x به وجود مياد ؟)
قسمت آخر مربوط به Lim رو من نخوندم ؟!! ميشه يه كم توضيح بديد ( يا يه لينك بدى كه متوجه بشم )

باز هم ازتون ممنونم

سلام

نه نمیشه. چون با کنار هم قرار دادن دو مثلث، در واقع داریم دو وتر رو از بین میبریم و حذف میکنیم که این کار شاید در محاسبات مربوط به مساحت، خللی وارد نکنه ولی روی محیط مسلما تاثیر داره. چون محیط یک مربع با مجموع محیط دو مثلث که هر کدوم نصف اون مربع هستند، فرق داره. فرقش هم همون دو وتر هستش. همونطور که در محاسبه ی محیط نیمدایره ها هم نمیتونیم بگیم که مجموع محیط 2 نیم دایره برابر با محیط یک دایره ی کامل هستش. چون داریم با اینکار طول 2 تا قطر رو نادیده میگیریم.

در مورد لیمیت هم اگه نخوندین، مهم نیست. در آینده ایشالله میخونین.

(سال سوم دبیرستان) ولی اگه تمایل دارین مطالعه ی آزاد و جداگونه ای در این زمینه داشته باشین به لینک زیر مراجعه کنین هرچند که مباحثش یکمی الان براتون احتمالا سنگین هستش:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
91/2/17

**siyanor** · 06-05-2012, 12:52

راستش من الان بعد تقريبا 8 سال برگشتم سر درس و كتاب

سال سوم ما از اينا داشتيم

يه سوال ديگه فرض كنيم ميخواهيم بدونيم كه چه موقع محيط و مساحت هشت ضلعى مون برابر با اون نيم دايره ها ميشه (بدون حساب كردن قطر ), اين رو چيكار بايد كر د( كلا من تو رياضى با شكلها و مثلثات مشكل دارم

)

**hts1369** · 06-05-2012, 20:20

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

درود

معادلات برنولی
$xy{}'+y=x^4y^3$

$xy^2y{}'+y^3=xcosx$
تمرین های گوناگون
$(1-xy)y{}'=y^2$

من عامل انتگرال ساز رو خوب بلد نیستم. اگه بقیه صلاح دونستن جواب میدن

$\begin{array}{c} xy'+y=x^4y^3 \\ n=3\Rightarrow z=y^{-2}\Rightarrow z'=-2y^{-3}y'=-2\frac{y'}{y^3}\Rightarrow \frac{y'}{y^3}=\frac{-z'}{2} \\ xy'+y=x^4y^3\Rightarrow x\frac{y'}{y^3}+\frac{1}{y^2}=x^4\Rightarrow x\left(\frac{-z'}{2}\right)+z=x^4\Rightarrow z'-\frac{2z}{x}=-2x^3 \\ z'-\frac{2z}{x}=-2x^3 \end{array}$

حالا این یه معادله ی خطی مرتبه ی اول هست که با همون رابطه ی بزرگ حل میشه. اینجوری که من حلش میکنم فکر کنم راحت تر هست باز خود دانید اول یه عامل انتگرال ساز پیدا میکنیم و بعد حلش میکنیم.

$\begin{array}{c} z'-\frac{2z}{x}=-2x^3 \\ e^{\int -\frac{2}{x}dx}=x^{-2}\Rightarrow x^{-2}z'-\frac{2z}{x^3}=-2x\Rightarrow x^{-2}z=-x^2+c\Rightarrow z=-x^4+cx^2 \\ z=y^{-2}=\frac{1}{y^2}\Rightarrow \frac{1}{y^2}=-x^4+cx^2\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{-x^4+c x^2}} \end{array}$

این هم برنولی دومت دیگه حل خطی مرتبه ی اول با خودت کمی انتگرالش طولانی میشه.

$\begin{array}{c} xy^2y'+y^3=x\cos x \\ y'+\frac{y}{x}=\frac{\cos x}{y^2}\Rightarrow n=-2\Rightarrow z=y^3\Rightarrow z'=3y^2y'\Rightarrow y^2y'=\frac{z'}{3} \\ xy^2y'+y^3=x\cos x\Rightarrow x\frac{z'}{3}+z=x\cos x\Rightarrow z'+\frac{3z}{x}=3\cos x \end{array}$

معادله ی پنجمت هم خطی مرتبه ی اول هست ولی باید بر حسب x حلش کنی

$\begin{array}{c} (1-xy)y'=y^2 \\ y'=\frac{y^2}{1-xy}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{1-xy}\Rightarrow \frac{dx}{dy}=\frac{1-xy}{y^2}=-\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}\Rightarrow x'=-\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2} \\ x'+\frac{x}{y}=\frac{1}{y^2} \\ e^{\int \frac{1}{y}dy}=y \\ y\left(x'+\frac{x}{y}\right)=y\left(\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow yx'+x=\frac{1}{y}\Rightarrow yx=\ln y+c\Rightarrow x=\frac{\ln y}{y}+\frac{c}{y} \end{array}$

**davy jones** · 06-05-2012, 23:38

نوشته شده توسط siyanor [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يه سوال ديگه فرض كنيم ميخواهيم بدونيم كه چه موقع محيط و مساحت هشت ضلعى مون برابر با اون نيم دايره ها ميشه (بدون حساب كردن قطر ), اين رو چيكار بايد كر د( كلا من تو رياضى با شكلها و مثلثات مشكل دارم

)

سلام

فرمول پارامتری مساحت هشت ضلعی و فرمول مجموع مساحت نیمدایره ها رو که حساب کردیم و میدونیم. کافیه که این دو فرمول رو مساوی هم بذاریم تا ببینیم به ازای چه مقداری از x تساوی برقرار میشه. خیلی راحته. خودتون امتحان کنین. کافیه که یه بلد باشین ریشه های یه معادله ی درجه ی 2 ساده رو به دست بیارین. اگه نتونستین در خدمتتونم.

موفق باشین.
91/2/18

**davy jones** · 07-05-2012, 11:37

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

من عامل انتگرال ساز رو خوب بلد نیستم. اگه بقیه صلاح دونستن جواب میدن

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

هر یک از معادلات زیر را با به دست اوردن یک عامل انتگرال ساز حل کنید
1- $(3x^2-y^2)dy-2xydx=0$
--------------------
2- $(xy-1)dx+(x^2-xy)dy=0$

سلام.

این شاید آخرین بار باشه که تمرینهای دانشگاهی رو برای کسی حل میکنم در اینجا. چون احساس کردم که ممکنه واقعا توش مشکل داشته باشین. ولی بعد از این تمارین و تکالیف دانشگاهی برای کسی حل نخواهم کرد.

در اینگونه معادلات دیفرانسیل، ابتکار و خلاقیت و دید ریاضی داشتن خیلی مهمه. باید حدس بزنین که از چه تغییر متغیر یا تابع کمکی انتگرال ساز باید استفاده کرد و این حدس هر چه خلاقیت و دیدتون بیشتر باشه، به واقعیت نزدیک تر میشه. چون حل این معادلات در حالت کلی خیلی وقت گیر و کمر شکنه. شاید عامل انتگرال سازی که باید استفاده کرد، تابعی از x باشه و شایدم تابعی از y باشه و یا هر دو. اگر از هر دو متغیر x و y درش وجود داره، شاید جداشدنی به صورت جمع یا ضرب باشه و شاید نباشه و ... پس هر چه دید بهتری داشته باشیم و خلاقیت رو چاشنیش کنیم، حل کردن اینگونه معادلات برامون راحت تر و سریعتر امکانپذیره.

در معادله ی اول کافیه که به یه نحوی از شر x به توان 2 خلاص شیم و کاری کنیم که بشه عامل $x^{2}$ رو فاکتور گرفت و ساده کرد. در اینجا با کمی دقت میبینیم که اگه از تغییر متغیر $y(x)=x.f(x)$ استفاده کنیم، به هدفمون میرسیم. چرا که در هر دو پرانتز، عامل $x^{2}$ تولید میشه که میشه فاکتور گرفت و حذف کرد:

$(3x^2-y^2)dy-2xydx=0$
$\Rightarrow (3x^{2}-y^{2})\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}-2xy=0$
$\Rightarrow y(x)=x.f(x)\Rightarrow {y}'(x)=(f(x)+x.\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x})$
$\Rightarrow (x^{2}(3-f^{2}))(f+x.\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x})-2x^{2}f=0$

$\Rightarrow (3-f^{2})(f+x.\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x})-2f=0$

$\Rightarrow (3x-xf^{2}){f}'-f^{3}+f=0\Rightarrow (3x-xf^{2}){f}'=f-f^{3}$

$\Rightarrow \frac{3-f^{2}}{f^{3}-f}\; .{f}'=\frac{1}{x}\Rightarrow \frac{3-f^{2}}{f^{3}-f}\; df=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int \frac{3-f^{2}}{f^{3}-f}\; df=\int \frac{dx}{x}$

$\Rightarrow \int \frac{3-f^{2}}{f^{3}-f}\; df=\int \frac{\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-f^{2}}{f^{3}-f}\; df=\int (\frac{\frac{1}{3}-f^{2}}{f^{3}-f}+\frac{\frac{8}{3}}{f^{3}-f})\; df=\int \frac{\frac{1}{3}-f^{2}}{f^{3}-f}\; df+\int \frac{\frac{8}{3}}{f^{3}-f}\; df=\frac{1}{3}\ln (f^{3}-f)+\int \frac{\frac{8}{3}\; df}{f(f+1)(f-1)}$

$=\frac{1}{3}\ln (f^{3}-f)+\int(\frac{\frac{-8}{3}}{f}+\frac{\frac{4}{3}}{f-1}+\frac{\frac{4}{3}}{f+1})df=\frac{1}{3}\ln (f^{3}-f)-\frac{8}{3}\ln (f)+\frac{4}{3}\ln (f-1)+\frac{4}{3}\ln (f+1)=\int \frac{dx}{x}=\ln (cx)$

$\Rightarrow \ln[\frac{(f^{3}-f)(f+1)^{4}(f+1)^{4}}{f^{8}}]=\ln (cx^{3})$

$\Rightarrow \frac{(f^{2}-1)^{5}}{f^{7}}=cx^{3}\Rightarrow f^{10}-5f^{8}-cx^{3}f^{7}+10f^{6}-10f^{4}+5f^{2}-1=0$

که در اینجا باید ریشه های این معادله ی درجه 10 بر حسب f رو بدست بیاریم تا جواب نهایی بدست بیاد که دیگه از حوصله ی بحث خارجه. وقتی که f بدست اومد، مقدار y که جواب نهایی مساله است برابر میشه با $y(x)=x.f(x)$

و اما جواب آخر این معادله با کمک نرم افزار متمتیکا:

مشاهده میکنین که اگه عنصر خلاقیت و حدس بر پایه ی دید ریاضیاتی رو در دستور کار نمیذاشتیم، چقدر باید سر این مساله وقت صرف میکردیم!!!

---------------------------------------------

در معادله ی دوم هم روال کلی کار بر اساس همون معادله ی اوله. در اینجا دقت میکنیم که اگه یک x از کل معادله فاکتور بگیریم و ساده کنیم، معادله به فرم معادله ی کامل در خواهد آمد:

$(xy-1)dx+(x^2-xy)dy=0$
$x(y-\frac{1}{x})dx+x(x-y)dy=0\Rightarrow (y-\frac{1}{x})dx+(x-y)dy=0$
$\Rightarrow \frac{\partial (x-y)}{\partial x}=1=\frac{\partial (y-\frac{1}{x})}{\partial y}\Rightarrow the\; equation\; is\; exact$

بنابراین بقیه اش دیگه از راه معادله ی کامل حل خواهد شد که به عنوان تمرین به عهده ی خودتون میذارم چرا که جناب hts1369 یه دور در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] زحمت کشیدن و نحوه ی حل معادلات دیفرانسیل کامل رو به خوبی توضیح دادند.

دقت کنید که اگه میخواستیم به روش کلاسیک و اصولی، عامل انتگرال ساز رو پیدا کنیم، بعد از اینکه ده ها خط باید فرمول مینوشتیم و حساب میکردیم، دست آخر میرسیدیم به این که عامل انتگرال ساز تابع $\mu (x)=\frac{1}{x}$ خواهد بود در حالیکه با کمی دقت به راحتی تونستیم مراحل کار رو برای خودمون بسیار ساده و راحت کنیم.

موفق باشین.
91/2/18

**siyanor** · 07-05-2012, 13:40

منظورتون همون فرمول

هست ديگه ؟ ولى خب تو مساله داره ميگه بدون حساب كردن قطر نيم دايره ! اگه كارى كه شما فرموديد انجام بديم عملا داريم قطر رو هم حساب ميكنيم , درسته ؟
(چه جورى ميشه اينجا فرمولهاى رياضى رو تايپ كرد , يا بايد عكس رو كپى پيست كنيم ؟)

ممنون

**davy jones** · 07-05-2012, 14:09

نوشته شده توسط siyanor [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

منظورتون همون فرمول

هست ديگه ؟ ولى خب تو مساله داره ميگه بدون حساب كردن قطر نيم دايره ! اگه كارى كه شما فرموديد انجام بديم عملا داريم قطر رو هم حساب ميكنيم , درسته ؟
(چه جورى ميشه اينجا فرمولهاى رياضى رو تايپ كرد , يا بايد عكس رو كپى پيست كنيم ؟)

ممنون

سلام.

بله منظورم همونه.

خب من از شما یه سوال میپرسم: چطوری مساحت یک دایره (یا نیمدایره یا هر قطاع دلخواه از یک دایره) رو بدون دونستن شعاع اون دایره میخواین به دست بیارین؟ چطوری؟ البته روشهای انتگرالی دوگاه و سه گانه برای این کار وجود داره ولی خیلی سخته و در حد دبیرستان نیست. مشخصه که در اینجا باید شعاع دایره رو حساب کنیم تا بتونیم مساحت دایره رو به دست بیاریم.

برای تایپ فرمولهای ریاضی هم از سایت زیر کمک بگیرین (تقریبا همه ی دوستان در اینجا از جمله خودم با استفاده از این سایت دارن فرمول مینویسن) :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
91/2/18

**mojtaba2321** · 07-05-2012, 22:26

بچه ها این مسئله ساده رو من نمیتونم اثبات کنم: [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
میشه کمکم کنید

**ali_hp** · 07-05-2012, 22:28

نوشته شده توسط قاهر - Gahir [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بر دوستان گرامی؛

کسی اثبات استقرائی برای:
اگر $x_{i}$ ها اعداد حقیقی مثبتی از 1 تا n و $0<P_{1}\leqslant P_{2}$ باشد، آنگاه :

$\mathbf{(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{P_{2}})^{\frac{1}{P_{2}}}\leqslant (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{P_{1}})^{\frac{1}{P_{1}}}}$

سراغ داره ؟
من خودم از یه روش برای اثبات k+1 امین جمله‌ش پیش رفتم ولی به نتیجه‌ی مورد نظر نرسیدم ... یعنی نتونستم جواب رو ازش بکشم بیرون ...
اگه دوست دارید روشم اینه :
به ترتیب به طرف چپ $x_{k+1}^{P_{2}}$ و به طرف راست $x_{k+1}^{P_{1}}$ رو کم و زیاد میکنیم.

اثبات غیر استقرائیش آسونه ...

سلام
من گام استقرا رو با استقرای قوی ثابت میکنم ، یعنی فرض می کنیم حکم برای همه k های کمتر اکید از n برقراره ، و بعد ثابت می کنیم برای n هم بر قراره.البته برای n>2 اینکارو می کنیم.
فقط مشکل اینه که اثبات حکم برای n=2 به نظر من فرق خاصی با اثبات حکم برای n دلخواه نداره،یا حداقل من راه حل ساده تری بلد نیستم،اینه که استفاده از استقرا اینجا بی مزه میشه!کلا اینجوری به نظر میاد که بار اصلی این مساله روی n=2 هست.و همونطور که خودتون و جناب 1233445566 گفتین راه حل غیر استقرایی ساده ای داره این مساله.
$(\sum_{i=1}^nx_i^{p_1})^{\frac{1}{p_1}}=(((\sum_{i=1}^{n-1}x_i^{p_1})^{\frac{1}{p_1}})^{p_1}+x_n^{p_1})^\frac{1}{p_1}\ge\\ (((\sum_{i=1}^{n-1}x_i^{p_1})^{\frac{1}{p_1}})^{p_2}+x_n^{p_2})^\frac{1}{p_2}\\ \ge(((\sum_{i=1}^{n-1}x_i^{p_2})^{\frac{1}{p_2}})^{p_2}+x_n^{p_2})^\frac{1}{p_2}=(\sum_{i=1}^nx_i^{p_2})^{\frac{1}{p_2}}$

که نامساوی اول از درستی حکم برای 2 نتیجه میشه ، و نامساوی دوم از درستی حکم برای n-1 .

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از siyanor بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن