اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**subuntu** · 05-01-2012, 21:31

با سلام
در کتاب توماس ، در فصل 6 برای به دست آوردن معکوس تابع $y=\ln x$ اینگونه عمل کرده :
عبارت زیر را فعلا به شرطی که x گویا باشه بدست آورده
$\ln e^{x}= x\cdot \ln e= x.1=x$
و ادامه داده : پس وقتی x گویا باشد $e^{x}$ عددی است که لگاریتم طبیعی آن x است . با استفاده از نمادها داریم : $e^{x}= \ln ^{-1} x$

من نمی تونم متوجه بشم چطور از این عبارت $\ln e^{x}= x\cdot \ln e= x.1=x$ تونسته $e^{x}= \ln ^{-1} x$ رو نتیجه بگیره و معکوس تابع نمایی رو بدست بیاره . لطفا کمکم کنین .

**mjorh** · 05-01-2012, 22:51

یه نگاهی ب این فایل میندازید ؟ سه تا اثبات هسش ک بلد نیسم اثباتشونو ...
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خبری نشد....؟

**SuperSt@r** · 05-01-2012, 23:36

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

تا اینجاشو براتون نوشتم:

$y=\int \frac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}dx\Rightarrow u=\sqrt{1+x}\rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{u^{2}-1}\; \; \; ,\; \; \; du=\frac{dx}{2\sqrt{1+x}}\rightarrow dx=2u\, du\Rightarrow y=2\int \frac{u}{1+u+\sqrt{u^{2}-1}}du=2\int \frac{u(1+u-\sqrt{u^{2}-1})}{(1+u)^{2}-(\sqrt{u^{2}-1})^{2}}du=2\int \frac{u+u^{2}-u\sqrt{u^{2}-1}}{2+2u}du=\int (u-u\sqrt{\frac{u-1}{u+1}})du=\frac{u^{2}}{2}+c-\int u\sqrt{\frac{u-1}{u+1}}du=\frac{1+x}{2}+c-\int u\sqrt{1-\frac{2}{u+1}}du$

و اما برای حل انتگرال آخر هم ایده ای که به ذهنم رسید اینه که اگه از تغییر متغیر $u=\tan ^{2}(t)$ استفاده کنیم، زیر رادیکال میشه $\cos (2t)$ ولی دیگه بعدش ایده ای به ذهنم نمیرسه

موفق باشین.
90/10/15

سلام دوست عزيز ازت ممنونم خودمم همينجوري تغيير متغير گرفته بودم ولي ديگه نيومدم سادش بكنم فك كردم از يه راه ديگه بايد حل بشه ولي شما اومدي سادش كردي دستتون درد نكنه. خب منم ادامش رو حل كردم اگه درست باشه اميدوارم درست باشه.
من كم تجربم از اين به بعد اينو يادمه كه تا اخرش ساده كنم و وسط راهه ولش نكنم.

$I=\int u\sqrt{\frac{u-1}{u+1}}\times \sqrt{\frac{u-1}{u-1}}=\int u\frac{u-1}{\sqrt{u^{2}-1}}du\rightarrow u=cosh\theta \rightarrow du=sinh\theta d\theta \rightarrow I=\frac{cosh\theta\left ( cosh\theta-1 \right ). sinh\theta d\theta }{\sqrt{cosh^{2}\theta-1 }}=\int cosh^{2}\theta -cosh\theta =\int \frac{1+cosh2\theta }{2}d\theta -\int cosh\theta d\theta$

كه بقيش رو هم به راحتي ميشه حل كرد دوتا انتگرال سادست

**SuperSt@r** · 06-01-2012, 07:14

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

تا اینجاشو براتون نوشتم:

$y=\int \frac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}dx\Rightarrow u=\sqrt{1+x}\rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{u^{2}-1}\; \; \; ,\; \; \; du=\frac{dx}{2\sqrt{1+x}}\rightarrow dx=2u\, du\Rightarrow y=2\int \frac{u}{1+u+\sqrt{u^{2}-1}}du=2\int \frac{u(1+u-\sqrt{u^{2}-1})}{(1+u)^{2}-(\sqrt{u^{2}-1})^{2}}du=2\int \frac{u+u^{2}-u\sqrt{u^{2}-1}}{2+2u}du=\int (u-u\sqrt{\frac{u-1}{u+1}})du=\frac{u^{2}}{2}+c-\int u\sqrt{\frac{u-1}{u+1}}du=\frac{1+x}{2}+c-\int u\sqrt{1-\frac{2}{u+1}}du$

و اما برای حل انتگرال آخر هم ایده ای که به ذهنم رسید اینه که اگه از تغییر متغیر $u=\tan ^{2}(t)$ استفاده کنیم، زیر رادیکال میشه $\cos (2t)$ ولی دیگه بعدش ایده ای به ذهنم نمیرسه

موفق باشین.
90/10/15

يه راه حل ديگه برا اين سوال: فك كنم اينم درست باشه

**davy jones** · 06-01-2012, 07:16

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یه نگاهی ب این فایل میندازید ؟ سه تا اثبات هسش ک بلد نیسم اثباتشونو ...
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خبری نشد....؟

سلام.
دوست عزیز پی دی اف تون برای بنده باز نشد!!

اگه ممکنه از صفحه ی مانیتور با PrintScr عکس بگیرین و عکس رو اینجا نمایش بدین. ممنون.

========================================

نوشته شده توسط subuntu [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام
در کتاب توماس ، در فصل 6 برای به دست آوردن معکوس تابع $y=\ln x$ اینگونه عمل کرده :
عبارت زیر را فعلا به شرطی که x گویا باشه بدست آورده
$\ln e^{x}= x\cdot \ln e= x.1=x$
و ادامه داده : پس وقتی x گویا باشد $e^{x}$ عددی است که لگاریتم طبیعی آن x است . با استفاده از نمادها داریم : $e^{x}= \ln ^{-1} x$

من نمی تونم متوجه بشم چطور از این عبارت $\ln e^{x}= x\cdot \ln e= x.1=x$ تونسته $e^{x}= \ln ^{-1} x$ رو نتیجه بگیره و معکوس تابع نمایی رو بدست بیاره . لطفا کمکم کنین .

سلام.
طبق رابطه ی زیر:

$if\; \; \; fog(x)=f(g(x))=x\; \; \; \; then\; \; \; \; f=g^{-1}\; \; , \; \; g=f^{-1}$

در کتاب توماس هم اومده و تابعی مثل تابع $e^{x}$ رو پیدا کرده که اگه اون رو f بگیریم و تابع Ln رو g فرض کنیم، طبق رابطه ی بالا fog برابر با x میشه و این یعنی ابتدا تابع g، میاد و x رو میگیره و به یه مقداری میبره که در ادامه تابع f میاد و اون مقداررو میگیره و به x برمیگردونه. و این دقیقا همون مفهوم تابع وارون هستش. بنابراین چون تونستیم درستی رابطه ای رو که اشاره کردم در مورد تابع $e^{x}$ اثبات کنیم، پس این تابع وارون تابع $\ln (x)$ هستش.

===========================================

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يه راه حل ديگه برا اين سوال: فك كنم اينم درست باشه

این راه حل (راه حل دومی که نوشتین) فوق العاده زیبا بود.

لذت بردم حقیقتا
ممنون.

موفق باشین.
90/10/16

**mjorh** · 06-01-2012, 10:39

عکس گرفتم ...
بفرمایید :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

**SuperSt@r** · 06-01-2012, 12:04

سلامي دوباره
يه سوال داشتمم خودم زياد روش فك نكردم ميخام ببينم شما چه جوري حلش ميكنيد كه اگه نتونستم بيام ببينم

گفته نشان دهيد :

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1\times 3\times ......\times (2n-1) }{2\times 4\times .....\times (2n)}=0$

================================================

ويرايش: من اينطوري ميگم نميدونم درسته يا نه:

$a_{n+1}=\frac{2n+1}{2n+2} a_{n} \rightarrow a_{n+1}=(1-\frac{1}{2n+2})a_{n}\rightarrow L=(1-\frac{1}{2n+2})L\rightarrow L=L-\frac{L}{2n+2}\rightarrow \frac{L}{2n+2}=0\rightarrow L=0$

**javady__javady** · 06-01-2012, 13:17

سلام حالتون خوبه؟
میشه به این سوال پاسخ بدین؟
کتاب میگه
جوابهای دستگاه دو معادله دو مجهولی
fx (x,y)= -2x + 6 =0
fy (x,y)= 3y^2 - 12=0
به این شکل است
(3,2-) , (3,2) میشه بگید چطور این جوابها رو بدست آورد؟

---------- Post added at 03:17 PM ---------- Previous post was at 03:13 PM ----------

آقا ببخشید جوبها جابجا شد
جواب معادله رو کتاب
"3" و "2"
3 و
منفی 2 بدست آورد

**hts1369** · 06-01-2012, 19:13

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يه راه حل ديگه برا اين سوال: فك كنم اينم درست باشه

ایول داره واقعا دمت گرم
توی خط سوم قبل از تساوی انتگرال سوم یه دونه 1/2 جا انداختی

**ali_hp** · 06-01-2012, 20:00

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلامي دوباره
يه سوال داشتمم خودم زياد روش فك نكردم ميخام ببينم شما چه جوري حلش ميكنيد كه اگه نتونستم بيام ببينم

گفته نشان دهيد :

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1\times 3\times ......\times (2n-1) }{2\times 4\times .....\times (2n)}=0$

================================================

ويرايش: من اينطوري ميگم نميدونم درسته يا نه:

$a_{n+1}=\frac{2n+1}{2n+2} a_{n} \rightarrow a_{n+1}=(1-\frac{1}{2n+2})a_{n}\rightarrow L=(1-\frac{1}{2n+2})L\rightarrow L=L-\frac{L}{2n+2}\rightarrow \frac{L}{2n+2}=0\rightarrow L=0$

سلام ، نه درست نیست ، تساوی سوم که نوشتین تو اثبات ، تساوی نیست، دو طرف تقریبا با هم برابرن و این تقریب هم بستگی به n داره...شما اگه می خوای در تساوی دوم n به بینهایت میل بدی و به جای جملات دنباله L بزاری باید به جای یک تقسیم بر 2n+2 هم صفر بزارید...و به نتیجه ای بدیهی می رسید که کمکی به حل مساله نمیکنه.
راه حل سوال:
قرار دهید:

$P_n=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{2n-1}{2n}\\\\ Q_n=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times...\times\frac{2n}{2n+1}$

با توجه به نامساویه:

$\\\frac{k}{k+1}< \frac{k+1}{k+2}$

نتیجه می شود P_n<Q_n پس داریم:

$P_n < Q_n \Rightarrow P_n^2< P_nQ_n=\frac{1}{2n+1}\Rightarrow P_n< \sqrt{\frac{1}{2n+1}}$

که نامساوی اخر نشان می دهد دنباله به صفر همگراست.
البته این مساله را با استفاده از تقریب استرلینگ برای فاکتوریل ها هم میشه حل کرد...

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

4 کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن