اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**lebesgue** · 27-09-2010, 22:44

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
دقت کنید که هیچ دوتایی مضرب مشترک کوچکتر از هزار ندارند،پس مضارب کوچکتر از هزار این اعداد متمایزند.

این n عدد را $a_1 , a_2 , ... ,a_n$ بنامید.بوضوح تعداد این اعداد از هزار کمتر است.

تعداد مضارب کوچکتر از هزار $a_i$ برابر $[\frac{1000}{a_i}]$ است.پس داریم:

$\sum_{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\\\\\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}(\frac{1000}{a_{i}}-1)\leq\sum_{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}\leq\frac{1000+n}{1000}<2$

می توان نشان داد که n حداکثر 500 است و در نتیجه عدد 1.5 را به عنوان یک کران بالای بهتر بدست آورد.
اگر m تا از این اعداد در [1,499] باشند، هر کدام حداقل یک مضرب متمایز در [500,999] دارند، در نتیجه
حداقل m عدد از [500,999] را از دست می دهیم. بنابراین حداکثر مقدار n برابر است با m + (500-m) = 500

یک پرسش دشوار، پیدا کردن ماکزیمم مجموع معکوسات است.

**eh_mn** · 29-09-2010, 21:30

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد براي هر $n=1,2,\dots$ عدد زير بر $360$ بخش‌پذير است.

$n^2(n^2-1)(n^2-4)$

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389

دوست گرامي 1233445566 اين سوال رو در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حل كردن. با تشكر فراوان از ايشان.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389

**eh_mn** · 29-09-2010, 21:48

فرض كنيد $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر $x\in\mathbb{R}$ داشته باشيم

$f(x)=f(x+1)=f\left(x+\sqrt{2}\right)$

نشان دهيد $f$ تابعي ثابت است.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389

**lebesgue** · 30-09-2010, 19:58

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر $x\in\mathbb{R}$ داشته باشيم

$f(x)=f(x+1)=f\left(x+\sqrt{2}\right)$

نشان دهيد $f$ تابعي ثابت است.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389

دنباله زیر را:

$\120dpi a_{n}=q_{n}\sqrt{2}-p_{n}$

که در آن:

$\120dpi \\p_{n+1}=p_{n}^{2}+2q_{n}^{2} \\q_{n+1}=2p_{n}q_{n} \\p_{1}=q_{1}=1$

در نظر بگیرید.
با استقراء ریاضی نشان می دهیم که برای هر n طبیعی داریم:

$\120dpi \left | a_{n} \right |<\frac{1}{2^{2^{n-1}}}$

برای n=1 برقرار است:

$\120dpi \left | q_{1}\sqrt{2}-p_{1} \right |<\frac{1}{2}$

اگر برای n برقرار باشد، برای n+1 هم برقرار است:

$\120dpi \left | q_{n}\sqrt{2}-p_{n} \right |<\frac{1}{2^{2^{n-1}}}\\ \\\rightarrow \left | q_{n}\sqrt{2}-p_{n} \right |^{2}<\frac{1}{2^{2^{n}}}\\ \\\rightarrow \left | 2q_{n}^{2}+p_{n}^{2}-2p_{n}q_{n}\sqrt{2} \right |<\frac{1}{2^{2^{n}}}\\\\ \rightarrow \left | \(2p_{n}q_{n})\sqrt{2}-(2q_{n}^{2}+p_{n}^{2})\ \right |<\frac{1}{2^{2^{n}}}\\\\ \rightarrow \left | q_{n+1}\sqrt{2}-p_{n+1} \right |<\frac{1}{2^{2^{n}}}$

پس به سادگی به دست می آید که:

$\120dpi \\\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0 \\\lim_{n\rightarrow \infty }\left \lfloor \frac{x_{0}}{a_{n}} \right \rfloor a_{n}=x_{0}$

که x_0 عددی حقیقی است.

فرض کنیم f(0) = k، در نتیجه:

$\120dpi \\f(x)=f(x+1)=f(x+\sqrt{2})\\\\ \rightarrow \forall m,n\in \mathbb{Z}:f(x+m\sqrt{2}+n)=f(x)\\\\ \rightarrow \forall n\in \mathbb{N}: f(\left \lfloor \frac{x_{0}}{a_{n}} \right \rfloor a_{n})=f(0)=k$

در نتیجه:

$\120dpi \lim_{n\rightarrow \infty }f(\left \lfloor \frac{x_{0}}{a_{n}} \right \rfloor a_{n})=\lim_{n\rightarrow \infty }k=k$

از طرفی چون f در هر نقطه x_0 پیوسته است، می توان نوشت:

$\120dpi \lim_{n\rightarrow \infty }f(\left \lfloor \frac{x_{0}}{a_{n}} \right \rfloor a_{n})=\lim_{x\rightarrow x_{0} }f(x)=f(x_{0})$

در نتیجه برای هر x_0 عضو دامنه f داریم f(x_0) = k و این یعنی f تابع ثابت f(x) = k است.

**mir@** · 02-10-2010, 22:14

حل مسئله شنبه چهلم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.

دوست عزیز 1233445566 مسئله را در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به خوبی حل کرده اند. شاید نحوه محاسبه مجموع برای عده ای مبهم باشد که در سوال بعدی مطرح می شود.

**mir@** · 02-10-2010, 22:17

مجموع زیر را محاسبه کنید:

$\120dpi \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k^2}{(1+i)^{k}}}$

**baran91** · 03-10-2010, 12:19

سلام من در امار مشکلاتی دارم شما میتونید کمکم کنید؟سال دوم رشته ی اقتصاد بهشتی کتاب امار 2 دکتر محمد نوفرستی هم میخونم میتونید

**lebesgue** · 03-10-2010, 19:56

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مجموع زیر را محاسبه کنید:

$\120dpi \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k^2}{(1+i)^{k}}}$

برای عدد صحیح m ، با فرض 1 > |x| ، تعریف می کنیم:

$\120dpi f_{m}(x)=\sum_{k=1}^{\infty }k^{m}x^{k}$

می دانیم که:

$\120dpi f_{0}(x)=\frac{x}{1-x}$

نشان می دهیم برای هر m صحیح داریم:

$\120dpi f_{m+1}(x)=x\frac{\mathrm{d} f_{m}}{\mathrm{d} x}$

اثبات:

$\120dpi \\\frac{\mathrm{d} f_{m}}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sum_{k=1}^{\infty }k^{m}x^{k}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(k^{m}x^{k})=\sum_{k=1}^{\infty }k^{m+1}x^{k-1}\\\\ \rightarrow x\frac{\mathrm{d} f_{m}}{\mathrm{d} x}=\sum_{k=1}^{\infty }k^{m+1}x^{k}=f_{m+1}(x)$

در نتیجه:

$\120dpi \\f_{1}(x)=x\frac{\mathrm{d} f_{0}}{\mathrm{d} x}=\frac{x}{(1-x)^{2}}\\\\ f_{2}(x)=x\frac{\mathrm{d} f_{1}}{\mathrm{d} x}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}\\\\ \left | \frac{1}{1+i} \right |<1\rightarrow f_{2}(\frac{1}{1+i})=\frac{(1+i)(2+i)}{i^{3}}$

برای آشنایی با تابع Polylogarithm -که تقریبا مشابه تابع f بحث ماست- میتوانید لینک زیر را ببینید:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**ali_hp** · 04-10-2010, 15:41

با تشکر از دوست عزیز 1233445566 مساله رو به درستی حل کردند، راه حلشونو در ادامه می بینین،دقت کنید که شرط یک به ی بودن هم شرطی اضافه است،یعنی اگر در مساله قید نشده بود که f یک به یک است،با توجه به رابطه ای که f در ان صدق می کند،نتیجه می شد f یک به یک است.

همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:

$f(f(x))=kx^9$

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.

بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)

اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:

$\120dpi x_{1}>x_{2}\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})\rightarrow f(f(x_{1}))>f(f(x_{2}))$

اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:

$\120dpi x_{1}>x_{2}\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\rightarrow f(f(x_{1}))>f(f(x_{2}))$

در نتیجه k≤0 نیست.

برای k>0 ، تابع $\120dpi f(x)=k^{\frac{1}{4}}x^{3}$ موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.

در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.

**ali_hp** · 04-10-2010, 15:52

سلام
آیا می توان صد کره (نه لزوما هم اندازه) را طوری در فضا قرار داد که هیچ دوتایی متقاطع نباشند،و هر کره بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس باشد؟

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و نهم

مساله‏ی چهارشنبه‏ی پنجاهم

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسئله شنبه چهلم و یکم

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه بیست ودوم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن