اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**davy jones** · 31-08-2010, 06:56

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

اگه از بالا به مساله نگاه کنیم این شکل رو میبینیم:

برای حل این مساله کافیه که نسبت شعاع استوانه رو نسبت به شعاع توپها بدست بیاریم. همونطور که میدونیم توپها در سه راس مثلث متساوی الاضلاع هستند. بنابراین اگر شعاع توپها رو r فرض کنیم طول هر ضلع مثلث برابر با 2r خواهد بود و همچنین محور استوانه در نقطه ثقل این مثلث قرار داره. چون مرکز ثقل مثلث متساوی الاضلاع علاوه بر محل تلاقی میانه ها، مرکز تلاقی عمودها هم هست (چرا؟) بنابراین با استفاده از رابطه فیثاغورس متوجه میشویم که اگر طول ضلع این مثلث رو 2r فرض کنیم طول عمود وارد بر هر ضلع برابر است با $\sqrt{3}\ast r$ و چون میانه ها در محل تلاقی خود همدیگر را با نسبت 1 به 2 قطع میکنند(چرا؟) بنابراین شعاع قاعده ی استوانه برابر است با:

$\frac{2\sqrt{3}}{3}\; \: r+r=(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})\: r$

از طرفی میدانیم که ارتفاع استوانه هم برابر با 2r است.

حالا حجم 3 توپ را محاسبه میکنیم:

$s_{1}=3\times \frac{4}{3}\pi r^{3}=4\pi r^{3}$

و همچنین حجم استوانه:

$s_{2}=\pi R^{2}h=\pi [(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})\: r]^{2}\times 2r=2\pi(1+\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}\;\times r^{3}$

بنابراین نسبت فضای خالی موجود در استوانه به کل حجم استوانه برابر است با:

$\frac{s_{2}-s_{1}}{s_{2}}=1-\frac{s_{1}}{s_{2}}=1-\frac{4\pi r^{3}}{2\pi (1+\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}\times r^{3}}={\color{red} \frac{6}{7+4\sqrt{3}}}$

موفق باشین.
89/6/9

**eh_mn** · 01-09-2010, 14:41

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $n$ يك عدد صحيح بزرگتر از $1$ باشد. نشان دهيد $n^{n-1}-1$ بر $(n-1)^2$ بخش‌پذير است.

ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389

از dr rezayi عزيز كه در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

جواب رو توضيح دادن ممنون.

راه حل ديگر به صورت زير است
مي‌دانيم

$n^{n-1}-1=(n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+\dots+1)$

براي اين كه حكم مسأله را اثبات كنيم كافي است نشان دهيم عبارت بزرگتر در حاصلضرب سمت چپ تساوي فوق بر $n-1$ بخش‌پذير است. چندجمله‌اي $R(x)$ را به صورت زير در نظر مي‌گيريم

$R(x)=(x+1)^{n-2}+(x+1)^{n-3}+\dots+1$

واضح است كه $R(n-1)=n^{n-2}+n^{n-3}+\dots+1$ .
بسط چندجمله‌اي $R(x)$ را بر حسب توان‌هايي از $x$ مي‌نويسيم. در اين صورت مقدار ثابت اين بسط برابر $R(0)=n-1$ است. بنابراين

$R(x)=Q(x)x+(n-1)$

كه در آن $Q(x)$ چندجمله‌اي از درجه $n-3$ است. بنابراين

$R(n-1)=Q(n-1)(n-1)+(n-1)=(n-1)(Q(n-1)+1)$

و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389

**eh_mn** · 01-09-2010, 15:23

براي چه مقاديري از $\alpha$ تابع $f(x)=\alpha x-|x|$ يك‌به‌يك است؟

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389

**1731** · 01-09-2010, 16:19

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي چه مقاديري از $\alpha$ تابع $f(x)=\alpha x-|x|$ يك‌به‌يك است؟

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389

a>1 , a<-1

**eh_mn** · 01-09-2010, 22:25

نوشته شده توسط 1731 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

a>1 , a<-1

لطفاً از يك توضيح مختصر دريغ نكنيد!

**mofidy1** · 04-09-2010, 17:51

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

فرض کنید r عددی حقیقی و ناصفر باشد به طوری که مجموع ریشه ی سوم r و معکوس ریشه سوم r برابر است با 3. مطلوبست مجموع توان سوم r و معکوس توان سوم r .

موفق باشید.

29 مرداد 1389

با سلام

این هم جواب مساله به زبان اصلی!!!

آموزش حل مساله:

استفاده از اتحادها

موفق باشید.

13 شهریور 1389

**mofidy1** · 04-09-2010, 18:09

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

(مساله ی پنج شنبه ی سی و سوم جبران مافات!!)

فرض کنید که a+b+c=2 و ab+bc+ca=1. ثابت کنید با فرض $a\leq b\leq c$ خواهیم داشت:

$\150dpi 0\leq a\leq \frac{1}{3}\leq b\leq 1 \leq c\leq \frac{4}{3}.$

موفق باشید.

29 مرداد 1389

با سلام

حل مساله باز هم به زبان اصلی. دقت بفرمایید که با تعریف یک تابع چند جمله ای درجه ی 3 و با استفاده از روابط بین ریشه های معادلات درجه ی 3 و نیز بررسی تغییرات مشتق این تابع، مساله به زیبایی حل می شود!!

آموزش حل مساله:

ارتباط بین متن مساله و مطالبی که ظاهراً با آن ارتباطی ندارند.

موفق باشید.

13 شهریور 1389

**mofidy1** · 04-09-2010, 18:26

با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389

**davy jones** · 04-09-2010, 22:34

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389

تابع $\150dpi \large y=\sqrt[x]{x}$ رو در نظر میگیریم. حالا نگاه میکنیم که این تابع صعودی است یا نزولی و نقاط عطف و اکسترمم آن در کجاست.

$\100dpi \large y=x^{\frac{1}{x}}\Rightarrow ln(y)=\frac{1}{x}\; ln(x)\Rightarrow ({ln(y)})'={(\frac{1}{x}\; ln(x))}'\Rightarrow \frac{{y}'}{y}=\frac{-1}{x^{2}}\; ln(x)+\frac{1}{x^{2}}\Rightarrow {y}'=\frac{1}{x^{2}}(1-ln(x))(\sqrt[x]{x})=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=0 \\ x_{2}=e \end{matrix}\right.$

در نتیجه تابع مورد نظر ما بعد از x=e نزولی است.

شکل این تابع به این صورت است:

همانطور که واضح است تابع بعد از x=e نزولی است. بنابراین داریم:

$\120dpi \large \sqrt[3]{3}>\sqrt[\pi ]{\pi }$

در نتیجه:

$\120dpi \large \sqrt[3]{3}>\sqrt[\pi ]{\pi }\Rightarrow (\sqrt[3]{3})^{3\pi }>(\sqrt[\pi ]{\pi })^{3\pi }\Rightarrow 3^{\pi }>\pi ^{3}$

موفق باشین.
89/6/13

**lebesgue** · 04-09-2010, 22:41

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389

با سلام
تابع f(x) = x/lnx رو در نظر می گیریم. مشتق این تابع:
$\frac{df}{dx}=\frac{ln(x)-1}{ln^2(x)}$
به ازای x>e مثبته. بنابراین تابع به ازای x>e صعودی است.
پس اگر داشته باشیم a>b>e :
$a>b \rightarrow \frac{a}{ln(a)}>\frac{b}{ln(b)} \rightarrow aln(b)>bln(a)\rightarrow ln(b^{a})>ln(a^{b})\rightarrow b^{a}>a^{b}$

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

جواب مسئله شنبه سی و هفتم

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و ششم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و هفتم

حل مساله ی پنج شنبه ی سی و دوم(سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله ی پنج شنبه ی سی و سوم(سطح سوال: سوم و چهارم ریاضی)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی سی و چهارم(سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

4 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن