اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

[mir@]

حل مسئله شنبه سی و پنجم

سه توپ تنیس به صورت غیر فشرده در استوانه ای قرار دارند به طوری که با دیواره، کف و سقف استوانه در تماسند. نسبت حجم توپ ها به فضای اطراف آنها داخل استوانه چقدر است؟!

که در آن r شعاع استوانه و توپها است.

[mir@]

فرض کنید در یک مسابقه، پشت یکی از سه در بسته، یک میلیارد دلار و پشت دو در دیگر چیزی نیست. تازه اگر این یک میلیارد دلار را ببرید، بعدا پنچاه میلیارد دلار دیگر به شما می دهند! شما دری را انتخاب می کنید. مجری که می داند پشت کدام در جایزه است، یک در پوچ را به شما نشان می دهد و می پرسد که آیا می خواهید انتخاب خود را تغییر دهید یا نه. در این شرایط بهترین استراتژی چیست؟
الف) روی انتخاب قبلی خود می ایستید.
ب) انتخاب خود را عوض می کنید.
ج) به تصادف مجددا یک در را انتخاب می کنید. یعنی برایتان فرقی نمی کند.

این یک مسئله معروف در دنیای احتمالات است که نشان می دهد نمی توان همیشه بر مبنای شهود پیش بینی نمود.

[dr rezayi]

حل مسئله شنبه سی و پنجم

که در آن r شعاع استوانه و توپها است.

سلام . امیرجان من متوجه نحوه ی قرار گیری این سه گوی نشدم ممکنه با تصویر بگید چطور هر سه با هر سه دیواره در تماس هستند ؟

[davy jones]

سلام . امیرجان من متوجه نحوه ی قرار گیری این سه گوی نشدم ممکنه با تصویر بگید چطور هر سه با هر سه دیواره در تماس هستند ؟

فکر کنم منظور سوال اینطوری بوده که توپها روی سر همدیگه قرار دارند و استوانه ای هم دور این سه تا رو میگیره. یعنی یه چیزی شبیه به جعبه های توپ پینگ پونگ که 6 تا توپ درون یک استوانه دراز هستند.

امیر جان به عنوان پیشنهاد برای سوال جدید، همین سوال رو این بار اینطور در نظر بگیریم که سه تا توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (بهتره بگیم یک دیسک) قرار داره به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

[mir@]

سلام . امیرجان من متوجه نحوه ی قرار گیری این سه گوی نشدم ممکنه با تصویر بگید چطور هر سه با هر سه دیواره در تماس هستند ؟

فکر کنم منظور سوال اینطوری بوده که توپها روی سر همدیگه قرار دارند و استوانه ای هم دور این سه تا رو میگیره. یعنی یه چیزی شبیه به جعبه های توپ پینگ پونگ که 6 تا توپ درون یک استوانه دراز هستند.

امیر جان به عنوان پیشنهاد برای سوال جدید، همین سوال رو این بار اینطور در نظر بگیریم که سه تا توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (بهتره بگیم یک دیسک) قرار داره به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

آقای دکتر رضایی، توضیح آقای جونز درست است. یعنی توپها روی هم قرار گرفته اند.

آقای جونز، مسئله شما جالب تر است. به عنوان مسئله جدید هفته بعد مطرح می کنم. به شرطی که خودت جواب بدی!

[eh_mn]

نشان دهيد هيچكدام از اعداد ظاهر شده در دنباله‌ی زير مربع كامل نيستند

ـــــــــــــــــــــ
27 مردادماه 89

می‌خواهیم بررسی کنیم که وجود یک مربع کامل در این دنباله چه روند ثابتی را بر هم می‌زند و از این طریق یک تناقض پیدا کنیم.


با استفاده از استقرا نشان می‌دهیم که همه‌ی اعداد این دنباله که آن را می‌نامیم در پیمانه‌ی همنهشتی برابر هستند. واضح است که . فرض کنیم هم برابر 3 باشد در این صورت

از طرفی

یعنی مجذور هیچ عدد طبیعی به پیمانه‌ی برابر نیست.



ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389

[eh_mn]

فرض كنيد يك عدد صحيح بزرگتر از باشد. نشان دهيد بر بخش‌پذير است.




ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389

[dr rezayi]

فرض كنيد يك عدد صحيح بزرگتر از باشد. نشان دهيد بر بخش‌پذير است.




ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389

در اعداد حقیقی تابع x^(x-1)-1 در x=1 ریشه مضاعف دارد . بنا براین بر (x-1)^2 بخش پذیر است که اعداد طبیعی هم زیر مجموعه ای از این دسته است .

[mir@]

حل مسئله شنبه سی و ششم

فرض کنید در یک مسابقه، پشت یکی از سه در بسته، یک میلیارد دلار و پشت دو در دیگر چیزی نیست. تازه اگر این یک میلیارد دلار را ببرید، بعدا پنچاه میلیارد دلار دیگر به شما می دهند! شما دری را انتخاب می کنید. مجری که می داند پشت کدام در جایزه است، یک در پوچ را به شما نشان می دهد و می پرسد که آیا می خواهید انتخاب خود را تغییر دهید یا نه. در این شرایط بهترین استراتژی چیست؟
الف) روی انتخاب قبلی خود می ایستید.
ب) انتخاب خود را عوض می کنید.
ج) به تصادف مجددا یک در را انتخاب می کنید. یعنی برایتان فرقی نمی کند.

این یک مسئله معروف در دنیای احتمالات است که نشان می دهد نمی توان همیشه بر مبنای شهود پیش بینی نمود.

اگر به صورت شهودی به این مسئله فکر کنیم، در نگاه اول به نظر می رسد که فرقی نمی کند کدام یک از دو در باقیمانده را انتخاب کنیم. ولی با دقت بیشتر می توان دید که اگر پس از مشخص شدن در پوچ، انتخاب خود را عوض کنیم شانس برنده شدنمان دو برابر می شود.

راه حل دقیق از طریق قضیه بیز است. اگر دری را که از پیش انتخاب کرده ایم عوض کنیم، شانس برنده شدن دو سوم و در غیر این صورت یک سوم است.

برای دیدن راه حل و توضیحات مبسوط [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را ببینید.

[mir@]

سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟