اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**eh_mn** · 04-08-2010, 05:39

نوشته شده توسط dr rezayi [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام خیلی ممنون . حالا من تو این 4 تا موندم . لطفا راهنمایی بفرمایید .

$\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n+1}{n!}$

$\sum_{n=1}^{ \infty } \ sin(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

$\sum_{n=1}^{ k-1 } \ cos\frac{n\pi }{k}$

$\sum_{n=1}^{ \infty } n(\frac{1}{2})^{^(n-1)}$

جواب آخر همشون رو می دونم ولی دلیلش رو چیزی به نظرم نرسید .

بسط مك‌لورن تابع $e^x$ به صورت زير است

$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}.$

بنا بر اين

$\sum_{n=1}^\infty\frac{2n+1}{n!}=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}=2e+(e-1)=3e-1.$

يه قضيه‌ي خوب: فرض كنيم سري $\Sigma_{n=1}^\infty a_n$ همگرا باشد كه در آن $a_n$ دنباله‌اي با جمله‌هاي مثبت است. در اين صورت اگر $\mbox{lim}_{n\to\infty}b_n/a_n=1$ آنگاه سري $\Sigma_{n=1}^\infty b_n$ همگراست و

$\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty b_n.$

چون دنباله‌هاي $a_n=1/\sqrt{n}-1/\sqrt{n+1}$ و $b_n=\sin(a_n)$ در شرايط قضيه‌ي فوق صدق مي‌كنند پس

$\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1.$

گمان مي‌كنم مورد سوم قبلاً بررسي شده. ولي احتمالاً دوباره نوشتنش از پيدا كردنش راحت‌تر باشه!
فرض كنيم $\omega=e^{i\frac{\pi}{k}}$ . در اين صورت $\omega^k=e^{i\pi}=1$ . يعني $\omega^k-1=0$ . از طرفي

$\omega^k-1=(\omega-1)(1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{k-1}).$

چون $\omega-1\neq0$ پس

$\sum_{n=1}^{k-1}\omega^n=0.$

در نتيجه

$\sum_{n=1}^{k-1}\cos\left(\frac{n}{k}\pi\right)=\mbox{Re}\left(\sum_{n=1}^{k-1}\omega^n\right)=0.$

براي مورد چهارم توجه كنيد كه

$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}.$

از طرفين مشتق بگيرين و به جاي $x$ مقدار $1/2$ رو قرار بدين.

**msm43njn** · 08-08-2010, 11:20

خواهشا این سوال رو با جزئیات خیلی زیاد و دقیق جواب بدید که زندگیم رو سیاه کرده و باعث شده روی سریها توقف طولانی داشته باشم.

سوال: به ازای چه مقادیری از p سری $\sum_{n=2 }^{\infty}\frac{1}{(lnn)^{p}}$ همگراست؟

با تشکر

**eh_mn** · 09-08-2010, 17:33

نوشته شده توسط msm43njn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خواهشا این سوال رو با جزئیات خیلی زیاد و دقیق جواب بدید که زندگیم رو سیاه کرده و باعث شده روی سریها توقف طولانی داشته باشم.

سوال: به ازای چه مقادیری از p سری $\sum_{n=2 }^{\infty}\frac{1}{(lnn)^{p}}$ همگراست؟

با تشکر

ممكنه با استفاده از آزمون‌هاي معمول هم بشه اين سوال رو حل كرد ولي فكر مي‌كنم اشاره به اين مطلب فايده بيشتري داشته باشه.

آزمون چگالش كشي (Cauchy condensation test). فرض كنيم $\{a_n\}$ يك دنباله‌ي مثبت و ناصعودي باشد. در اين صورت سري

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

همگراست اگر و تنها اگر سري

$\sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n}$

همگرا باشد.

مثلا سري

$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}$

را در نظر بگيريد. دنباله‌ي $\{a_n=n^{-1}(\ln n)^{-p}\}$ مثبت و نانزولي است و داريم

$2^na_{2^n}=\frac{2^n}{2^n(\ln 2^n)^p}=\frac{1}{n^p(\ln 2)^p}$

بنا براين اين سري با $p$ -سري همرفتار است.

براي مسأله‌اي كه گفتين توجه كنيد كه دنباله‌ی $\{a_n=(\ln n)^{-p}\}$ يك دنباله‌ي نزولي است و

$2^na_{2^n}=\frac{2^n}{(\ln 2^n)^p}=\frac{2^n}{n^p(\ln 2)^p}$

بنا بر اين سري مورد نظر شما همواره واگراست.

اميدوارم جايي اشتباه نشده باشه

**msm43njn** · 11-08-2010, 13:01

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممكنه با استفاده از آزمون‌هاي معمول هم بشه اين سوال رو حل كرد ولي فكر مي‌كنم اشاره به اين مطلب فايده بيشتري داشته باشه.

آزمون چگالش كشي (Cauchy condensation test). فرض كنيم $\{a_n\}$ يك دنباله‌ي مثبت و ناصعودي باشد. در اين صورت سري

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

همگراست اگر و تنها اگر سري

$\sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n}$

همگرا باشد.

مثلا سري

$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}$

را در نظر بگيريد. دنباله‌ي $\{a_n=n^{-1}(\ln n)^{-p}\}$ مثبت و نانزولي است و داريم

$2^na_{2^n}=\frac{2^n}{2^n(\ln 2^n)^p}=\frac{1}{n^p(\ln 2)^p}$

بنا براين اين سري با $p$ -سري همرفتار است.

براي مسأله‌اي كه گفتين توجه كنيد كه دنباله‌ی $\{a_n=(\ln n)^{-p}\}$ يك دنباله‌ي نزولي است و

$2^na_{2^n}=\frac{2^n}{(\ln 2^n)^p}=\frac{2^n}{n^p(\ln 2)^p}$

بنا بر اين سري مورد نظر شما همواره واگراست.

اميدوارم جايي اشتباه نشده باشه

لطفا این سوال رو به صورت خیلی ابتدایی بدون در نظر گرفتن آنالیز حل کنید.

**eh_mn** · 12-08-2010, 23:36

نوشته شده توسط msm43njn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

لطفا این سوال رو به صورت خیلی ابتدایی بدون در نظر گرفتن آنالیز حل کنید.

دوست عزيز هر جور بگيم يه جور آناليز در اون هست. منظورتون چه سطحي هست؟ اين مسأله رو با آزمون انتگرال + آزمون مقايسه هم مي‌توان حل كرد. اگه فكر مي‌كنيد اين آزمون در اون سطحي هست كه به دردتون بخوره بفرماييد تا مطرح بشه.

**msm43njn** · 15-08-2010, 09:35

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوست عزيز هر جور بگيم يه جور آناليز در اون هست. منظورتون چه سطحي هست؟ اين مسأله رو با آزمون انتگرال + آزمون مقايسه هم مي‌توان حل كرد. اگه فكر مي‌كنيد اين آزمون در اون سطحي هست كه به دردتون بخوره بفرماييد تا مطرح بشه.

لطفا آزمون مقایسه

**eh_mn** · 15-08-2010, 11:20

نوشته شده توسط msm43njn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خواهشا این سوال رو با جزئیات خیلی زیاد و دقیق جواب بدید که زندگیم رو سیاه کرده و باعث شده روی سریها توقف طولانی داشته باشم.

سوال: به ازای چه مقادیری از p سری $\sum_{n=2 }^{\infty}\frac{1}{(lnn)^{p}}$ همگراست؟

با تشکر

دو حالت در نظر مي‌گيريم
1) $p\leq1$ . چون

$\frac{1}{n^p}\leq\frac{1}{(\ln n)^p}$

واگرا بودن سري مربوط به سمت چپي واگرا بودن سري سمت راستي رو نتيجه مي‌ده.

2) $p>1$ . تابع $f(x)=(\ln x)^{-p}$ تابعي نزولي بر بازه‌ي $[1,\infty]$ است. بنا بر اين سري

$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(\ln n)^p}$

همگراست اگر و تنها اگر انتگرال

$\int_{2}^\infty\frac{1}{(\ln x)^p}\;dx$

متناهي باشد. اثبات نامتناهي بودن انتگرال ساده است.

بنا بر اين در هر صورت سري مورد نظر شما واگراست.
ممكنه راه حل ساده‌تري هم داشته باشه.

**mohsen_blid** · 17-08-2010, 21:45

سلام خدمت دوستان
می خوام در رابطه با بازه های باز و بسته در شرط پیوستگی و مشتق پذیری بیشتر بدونم
مثل اینکه چرا برای پیوستگی بازه های بسته و برای مشتق پذیری بازه های باز
و همچنین چه فرقی هست (شاید سوال خیلی مبتدیانه باشه)

بعد در رابطه با قضایای میانگین رل و کشی
مثلا می خوام حل این سوال رو بدونم در قضیه کشی
$f(x)=x^3+4x^2+1 , g(x)=5x^2 , x\varepsilon [2,5]$

**mohsen_blid** · 22-08-2010, 17:36

در پست بالا بیشتر می خواستم شرایط احراز پیوسته بودن یک تابع و یا ناپیوستگی یک تابع رو بدونم که تا به الان به این سوال من پاسخی داده نشد که فکر کنم نتونستم مقصودم رو خوب برسونم
سوالم اینه که می خوام بدونم چطور گفته میشه این تابع تعریف شده هست می خوام بفهمم چطور میگن تعریف شده
یعنی شرایط پیوستگی رو داره یا نه ؟اگه اره چطوری حساب کردن که این تابع پیوسته هست
$\int_{1}^{4}\left | x-2 \right |dx \rightarrow \left [ 1,4 \right ]Defined$

**mohsen_blid** · 22-08-2010, 17:52

$f(x)=x^3-2x^2-x+2 \Rightarrow x\varepsilon [-1,2]?$
جواب میشه
$f'(x)=3x^2-4x-13c^2-4c-1=0\rightarrow c_{1},c_{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+3} }{3}=\tfrac{2\pm \sqrt{7}}{3}\Rightarrow c_{1},c_{2}\varepsilon (-1,2)$

حالا اینجا سوال برام پیش اومده که تو قسمت جواب چطور اومده دلتا رو حساب کرده و جواب رو در اورده

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

6 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن