اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**dr rezayi** · 01-01-2010, 15:51

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

انتگرال معین زیر را محاسبه کنید:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan\,x)^{\sqrt{2}}}$

موفق باشید

10 دی ماه 1388

سلام . با توجه به اینکه انتگرال قابل محاسبه نمی باشد و حد تابع در صفر برابر یک و در پی دوم منفی برابر صفر هست و تابع اکیدا نزولی و قابل تقریب با تابع ثابت است . با روش تقریب سازی جواب پی چهارم بدست خواهد آمد .

**mir@** · 03-01-2010, 07:59

حل مسئله شنبه هجدهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگر p یک چند جمله ای با ضزائب صحیح باشند. اگر $p(0) , p(1)$ مقادیر فرد باشند، نشان دهید که p ریشه صحیح ندارد.

فرض کنیم a ریشه صحیح چند جمله ای باشد یعنی $P(a)=0$ اگر همه چیز را به پیمانه 2 حساب کنیم داریم یا $P(1)=0 \pmod{ 2}$ و یا $P(0)=0\pmod{ 2}$ اما طبق فرض داریم $P(1)=P(0)=1 \pmod {2}$ این یک تناقض است

**mir@** · 03-01-2010, 08:36

نشان دهید که اگر m و n دو عدد طبیعی باشند مینیمم مقادیر $\sqrt[n]{m}$ و $\sqrt[m]{n}$ از عدد $\sqrt[3]{3}$ بزرگتر نیست.
f11

**eh_mn** · 06-01-2010, 16:39

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد C ماتريسي مربعي با بعد n باشد كه براي هر بردار $x\in\mathbb{R}^n$ داشته باشيم $x^T(C+C^T)x=0$ نشان دهيد

$C+C^T=0$

ـــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88

ضمن تشكر از ramTn كه اين مسأله رو در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

با استقرا حل كردند راه ديگري را بيان مي‌كنم.
فرض كنيم A يك ماتريس با درايه‌هاي $a_{ij}$ باشد. فرض كنيم ek نشان دهنده‌ي برداري است كه درايه‌ي kام آن يك و بقيه صفرند. در اين صورت به راحتي مي‌توان نشان داد كه

$e^T_iAe_j=a_{ij}$

ماتريس A را همان طور كه ramTn بيان كردند به صورت $A=C+C^T$ تعريف مي‌كنيم. اين ماتريس متقارن است. قرار مي‌دهيم $x=e_i+e_j$ بنا به فرض داريم

$\underbrace{e_i^TAe_i}\limits_{0} + e_i^TAe_j + e_j^TAe_i + \underbrace{e_j^TAe_j}\limits_{0} =0$

يعني $a_{ji} + a_{ij} = 0$ و چون A متقارن است، اين نتيجه مي‌دهد كه A=0.

ــــــــــــــــــــ
14 / 10 / 88

**eh_mn** · 06-01-2010, 17:50

آرايه‌ي n در n از اعداد مثبت را به صورت زير در نظر بگيريد

$\begin{array}{cccc} a_{11} & \dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \cr a_{21} & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \cr \vdots & & & \vdots \cr a_{n1} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \cr \end{array}$

فرض كنيد mj نشان دهنده‌ي كوچكترين عدد در ستون j-ام و m بزرگترين عدد ميان mjها باشد. همچنين فرض كنيد Mj نشان دهنده‌ي بزرگترين عدد در سطر j-ام و M كوچكترين عدد ميان Mjها باشد.
نشان دهيد m از M بيشتر نيست!

ـــــــــــــــــــــــ
16 / 10 / 88

**mir@** · 10-01-2010, 09:27

حل مسئله شنبه نوزدهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید که اگر m و n دو عدد طبیعی باشند مینیمم مقادیر $\sqrt[n]{m}$ و $\sqrt[m]{n}$ از عدد $\sqrt[3]{3}$ بزرگتر نیست.
f11

فرض کنیم $m\le n$ بنابراین $\frac{1}{m}\ge \frac{1}{n}>0$ و لذا $m^{\frac{1}{m}} \ge m^{\frac{1}{n}}$

بنابراین مقدار مینیمم دو عدد $n^{\frac{1}{m}} , m^{\frac{1}{n}}$ از ماکزیمم دو عدد $m^{\frac{1}{m}} \ge n^{\frac{1}{n}}$ بزرگتر نیست.

حال باید ثابت کنیم $\max_{m\in \mathbb{N}}m^{\frac{1}{m}}=\sqrt[3]{3}$

تابع زیر را در نظر می گیریم

$f(x)=x^\frac{1}{x}, x>0$

مشتق آن عبارتست از

$f'(x)=x^\frac{1}{x}\frac{1-\ln{x}}{x^2}$

بنابراین تابع برای مقادیر $x>e$ نزولی است. بنابراین $m^{1/m}$ برای مقادیر $m>3$ کاهش می یابد. ضمنا می دانیم $\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}$ و لذا نتیجتاً

$\max_{m\in \mathbb{N}}m^{\frac{1}{m}}=\sqrt[3]{3}$

**mir@** · 10-01-2010, 09:37

فرض کنید که مربع واحد با دو خط عمود بر هم که با اضلاع مربع موازی هستند به 4 قسمت تقسیم شده است. نشان دهید که حداقل دو قسمت از این چهار قسمت مساحتشان از ¼ بزرگتر نیست. f9

**eh_mn** · 13-01-2010, 22:28

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آرايه‌ي n در n از اعداد مثبت را به صورت زير در نظر بگيريد

$\begin{array}{cccc} a_{11} & \dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \cr a_{21} & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \cr \vdots & & & \vdots \cr a_{n1} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \cr \end{array}$

فرض كنيد mj نشان دهنده‌ي كوچكترين عدد در ستون j-ام و m بزرگترين عدد ميان mjها باشد. همچنين فرض كنيد Mj نشان دهنده‌ي بزرگترين عدد در سطر j-ام و M كوچكترين عدد ميان Mjها باشد.
نشان دهيد m از M بيشتر نيست!

ـــــــــــــــــــــــ
16 / 10 / 88

فرض كنيم r و s دو انديس دلخواه باشند. در اين صورت داريم

$m_r = \min_{1\leq i\leq n}m_{ir} \leq m_{sr} \leq \max_{1\leq j\leq n} m_{sj}=M_s$

از طرفي m يكي از mjها و M هم يكي از Mjهاست بنابراين $m \leq M$ .

ــــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88

**eh_mn** · 13-01-2010, 22:35

فرض كنيم تابع $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ در شرايط زير صدق مي‌كند
(الف) $f(2)=2$ ،
(ب) $f(mn)=f(m)f(n)$ ،
(پ) اگر m>n آنگاه $f(m)>f(n)$ .
نشان دهيد براي هر n،

$f(n)=n$

ــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88

**chessmathter** · 15-01-2010, 16:43

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيم تابع $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ در شرايط زير صدق مي‌كند
(الف) $f(2)=2$ ،
(ب) $f(mn)=f(m)f(n)$ ،
(پ) اگر m>n آنگاه $f(m)>f(n)$ .
نشان دهيد براي هر n،

$f(n)=n$

ــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88

با استقرا حل میکنیم
خب اول به جای m وn یک میزاریم نتیجه میده که: $f(1) = 1$
از طرفی $f(2) = 2$
فرض کنین واسه همه اعداد کوچکتر از p $f(n) = n$

خب p یا اول یا مرکب اگه p مرکب باشه داریم

$p = m.n{\text{ }}m,n < p{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}f(p) = f(m.n) = f(m).f(n) = m.n = p$

اگه p اول بود داربم p+1 , p نسبت به هم اولند پس

$p + 1 = m.n{\text{ }}m,n < p{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}f(p + 1) = f(m.n) = f(m).f(n) = m.n = p + 1$

از طرفی چون تابع اکید صعودی هست و

$\begin{gathered} f(p - 1) = p - 1 \hfill \\ f(p + 1) = p + 1 \hfill \\ p - 1 < p < p + 1 \Rightarrow f(p - 1) < f(p) < f(p + 1) \hfill \\ p - 1 < f(p) < p + 1 \Rightarrow f(p) = p \hfill \\ \end{gathered}$

پس حکم ثابت شد

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه نوزدهم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و دوم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و سوم

مسئله شنبه بیستم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و سوم

مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و چهارم

این کاربر از chessmathter بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن