اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 27-09-2009, 06:02

.
نشان دهید که هر عدد صحیح را می توان به صورت $x^2+y^2-5z^2$ نوشت که در آن x و y و z اعداد صحیح هستند.

**Parser** · 27-09-2009, 11:31

به نام معشوق ازلی

با عرض پوزش، راه حل یاد شده برای مسئله ی چهارشنبه ی دهم، قسمت الف، نادرست بود.

حلال کنید! جدّی می گم.

**ali_hp** · 27-09-2009, 18:36

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

شازده کوچولو، روی سیاره کوچکی زندگی می کند که شعاعش 60 متر است. روزی با شروع از روی خط استوا، 30pi متر به شرق ، 20pi متر به شمال، 30pi متر به غرب و سرانجام 20pi متر به جنوب می رود. شازده کوچولو تا مکان اولش چند متر فاصله دارد؟

سلام،بابت غیبت هفته گذشته از همه عزیزان عذرخواهی می کنم.
پاسخ دوست عزیزمون،zahedy2006 درسته،منظور سوال فاصله زمین بوده.
حل:نصف النهار گذرنده از نقطه شروع حرکت را نصف النهار مبدا در نظر بگیرید،در مرحله اول حرکت،شازده یک چهارم مدار استوا را می پیماید،پس روی نصف النهار 90 درجه قرار می گیرد،در مرحله بعد یک ششم دایره عظیمه را می پیماید،یعنی کمان 60 درجه،و روی مداری(موازی استوا)به شعاع (30pi )قرار می گیرد(چرا؟) در مرحله سوم نصف این مدار را می پیماید،و روی نصف النهار منفی نود درجه قرار می گیرد،و در مرحله آخر روی نصف النهار منفی نود و روی خط استوا قرار می گیرد،که به وضوح فاصله آن تا نقطه شروع 30pi است.

**ali_hp** · 27-09-2009, 19:03

احکام زیر را ثابت یا رد کنید:
الف)برای هر عدد طبیعی n،دایره ای در صفحه وجود دارد که دقیقا شامل n نقطه با مختصات صحیح باشد.
ب)برای هر عدد طبیعی n،کره ای در فضا وجود دارد که دقیقا شامل n نقطه با مختصات صحیح باشد.

**eh_mn** · 30-09-2009, 23:57

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

الف. (با استفاده از مسأله‌ی هفته‌ی قبل) ثابت كنید اگر a و b و x و y و z همگی مثبت باشند آنگاه

$\frac{x}{ay+bz} + \frac{y}{az+bx} + \frac{z}{ax+by}\geq \frac{3}{a+b}$

ب. برای هر a و b و c مثبت، ثابت كنید

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

(راهنمایی: برای شروع مي‌توانید صورت همه‌ی عبارت‌های سمت چپ را طوری تغییر دهید كه به شكل $a+b+c$ تبدیل شود)

ـــــــــــــــــــــــــ
01 / 07 / 88

جناب Parser زحمت كشيدن و در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

جوابي براي اين مسأله نوشتن كه ازشون خواهش مي‌كنم اين قسمت رو توضيحي بدن. آيا علامت نامساوي‌هاي زير

$a,x,y,z>0\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{z}\frac{y}{x}\frac{z}{y}}\Rightarrow a\left ( \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \right )\geq 3a$
$b,x,y,z>0\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{z}\frac{y}{x}\frac{z}{y}}\Rightarrow b\left ( \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \right )\geq 3b$

با علامت نتيجه‌اي كه از آن گرفته شده يعني

$a,b,x,y,z>0\Rightarrow a\left ( \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \right )+b\left ( \frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y} \right )\leq 3(a+b)">$

$a,b,x,y,z>0\Rightarrow a\left ( \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \right )+b\left ( \frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y} \right )\leq 3(a+b)$

مطابقت دارد؟

حل مورد نظر به صورت زير است.
نامساوي مورد سوال درست است اگر و فقط اگر نامساوي زير درست باشد

$(a+b)\left(\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\right)\geq 3$

اگر طرفين را در $(xy+yz+zx)$ كه عددي مثبت است ضرب كنيم، به نامساوي معادل زير مي‌رسيم

$(a+b)(xy+yz+zx)\left(\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\right)\geq 3(xy+yz+zx)~~(1)$

اما داريم

$(a+b)(xy+yz+zx) = x(ay+bz)+y(az+bx)+z(ax+by)$

بنابراين با استفاده از نامساوي كشي-شوارتز داريم

$\left( x(ay+bz)+y(az+bx)+z(ax+by) \right )\left(\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\right)\geq (x+y+z)^2$

حال با استفاده از نامساوي هفته‌ي قبل و نامساوي اخير نامساوي (1) به راحتي اثبات مي‌شود.

ب. اين قسمت را Parser با به خوبي حل كردند. راه حل ايشون اينجاست

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

البته براي به دست آوردن اين نامعادله مي توانستيم در قسمت الف به جاي a,b عدد يك را قرار دهيم!! اما هدف آشنايي با ايده‌هاي جديد بود.

ـــــــــــــــــــــــــ
08 / 07 / 88

**eh_mn** · 01-10-2009, 00:04

ثابت كنيد براي هر عدد فرد مانند n تعداد اعداد فرد دنباله‌ي زير، فرد است

$\binom{n}{1},\binom{n}{2},\dots,\binom{n}{\frac{n-1}{2}}$

(توجه كنيد كه براي هر n و هر دو عدد حقيقي a و b داريم

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

.)
ــــــــــــــــــ
08 / 07 / 88

**mofidy1** · 01-10-2009, 21:15

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

چگونه می توان با دو ظرف آب، یکی به گنجایش نه لیتر و دیگری به گنجایش چهار لیتر، شش لیتر آب از یک نهر برداشت؟!!

موفق باشید.

2 مهر 1388

از amintnt و Iron برای راه حل های درستشان در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تشکر می کنم.

آموزش حل مساله:

ابتدا فرض کنید مساله حل شده است و سعی کنید مرحله به مرحله به عقب برگردید. در مساله ی بالا می توان از این شگرد بسیار خوب، استفاده کرد.

موفق باشید.

9 مهر 1388

**mofidy1** · 01-10-2009, 21:27

با سلام

عبارت زیر را در اعداد حقیقی تجزیه کنید:

$4(x^4+x^3+x^2+x+1)$

موفق باشید.

9 مهر 1388

**mir@** · 02-10-2009, 20:59

حل مسئله شنبه دهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.
نشان دهید که هر عدد صحیح را می توان به صورت $x^2+y^2-5z^2$ نوشت که در آن x و y و z اعداد صحیح هستند.

اگر عدد داده شده زوج یا فرد باشد به صورت زیر می توان آن را نوشت:

$\begin{cases} (n-2)^2+(2n-1)^2-5(n-1)^2 \qquad m=2n\\ (n+1)^2+(2n)^2-5n^2 \qquad\qquad\qquad m=2n+1 \end{cases}$

**mir@** · 02-10-2009, 21:04

تمام ماتریس های دو در دوی B و C را بیابید که

$B^3+C^3= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه دهم

حل مساله یکشنبه هشتم

مساله یکشنبه دهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی دهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی يازدهم

حل مساله ی پنج شنبه ی نهم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

مساله ی پنج شنبه ی دهم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

مسئله شنبه یازدهم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن