اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**zahedy2006** · 15-09-2009, 04:20

شازده کوچولو، روی سیاره کوچکی زندگی می کند که شعاعش 60 متر است. روزی با شروع از روی خط استوا، 30pi متر به شرق ، 20pi متر به شمال، 30pi متر به غرب و سرانجام 20pi متر به جنوب می رود. شازده کوچولو تا مکان اولش چند متر فاصله دارد؟

فاصله روي زمين 30 pi
فاصله مستقيم 60*(1.44) - 60 ضربدر راديكال 2

**Parser** · 15-09-2009, 13:57

به نام معــشوق ازلی

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي هر چهار عدد مثبت مانند a و b و c و d ثابت كنيد

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq \frac{64}{a+b+c+d}$

ـــــــــــــــــــــــ
18 / 06 / 88

میانگین دو عدد حقیقی مثبت، بزرگتر یا مساوی است از واسطه ی هندسی آن دو، به عبارتی

$A>0 \,,\, B>0 \Rightarrow A+B\geq 2\sqrt{AB}$

پس می توان اظهار داشت

$\frac{a}{b}> 0\,,\,\frac{b}{a}> 0\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\frac{b}{a}}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

به همین ترتیب
برای چهار عدد مثبت a و b و c و d

$\frac{c}{a}+\frac{4a}{c}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}\frac{4a}{c}}\Rightarrow \frac{c}{a}+\frac{4a}{c}\geq 4$

$\frac{d}{a}+\frac{16a}{d}\geq 8 \,\,,\,\, \frac{c}{b}+\frac{4b}{c}\geq 4 \,\,,\,\, \frac{d}{b}+\frac{16b}{d}\geq 8 \,\,,\,\, \frac{4d}{c}+\frac{16c}{d}\geq 16$

با جمع شش نامساوی فوق می توان نوشت

$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{4a}{c}+\frac{4b}{c}+\frac{4d}{c}+\frac{16a}{d}+\frac{16b}{d}+\frac{16c}{d}\geq 42$

اگر به طرفین، مقادیر $\frac{a}{a}$ و $\frac{b}{b}$ و $\frac{4c}{c}$ و $\frac{16d}{d}$ را اضافه گردند، عبارت زیر بدست می آید

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}(a+b+c+d)+\frac{1}{b}(a+b+c+d)+\frac{4}{c}(a+b+c+d)+\frac{16}{d}(a+b+c+d)\geq 64$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )(a+b+c+d)\geq 64$

$a+b+c+d> 0 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq \frac{64}{a+b+c+d}$

از عبارت فوق می توان به دو عبارت قبل از آن، که بینشان علامت $\Leftrightarrow$ است، بازگشت. درستی هریک درستی دیگری را نیز نتیجه می دهد.

**eh_mn** · 16-09-2009, 22:33

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي هر چهار عدد مثبت مانند a و b و c و d ثابت كنيد

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq \frac{64}{a+b+c+d}$

ـــــــــــــــــــــــ
18 / 06 / 88

با تشكر از Parser برای حل این مسأله. برای مشاهده‌ی راه حل ایشان به

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

مراجعه كنید.

راه حل دیگری با استفاده از نامساوی كشی-شوارتز كه در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

معرفی شده است، وچود دارد.

$(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}) \geq ( 1 + 1 + 2 + 4 )^2 = 64$

با توجه به مثبت بودن a+b+c+d حكم به راحتی نتیجه می‌شود.

ـــــــــــــــــــــ
25 / 06 / 88

**eh_mn** · 16-09-2009, 22:44

الف. نشان دهيد براي هر سه عدد مثبت x و y و z داريم

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$

ـــــــــــــــــــــــ
25 / 06 / 88

**mofidy1** · 17-09-2009, 11:58

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

با استفاده از محاسبات مربوط به اعداد مختلط (یا روش دیگر) ثابت کنید

$cos(72^\circ )=cos(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$

موفق باشید.

18 شهریور 1388

با سلام و آرزوی قبولی طاعات

برای دیدن راه حلی مقدماتی از این مساله به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که Parser ارسال کردند، مراجعه کنید. از ایشان تشکر می کنم. هدف بنده استفاده از صفحه ی مختلط برای حل این مساله بود که با کاربردهای بی نظیر و زیبای این صفحه آشنایی بیشتری پیدا کنیم.

قرار دهید

$z=cos(\frac{2\pi}{5})+i\,sin(\frac{2\pi}{5})$

بنابر این z یک ریشه ی پنجم واحد است و لذا

$z^4+z^3+z^2+z+1=0$

در نتیجه

$\left(z+\frac{1}{z} \right)^2+\left(z+\frac{1}{z} \right)-1=0$

اما به راحتی می توان دید که

$z+\frac{1}{z}=2cos(\frac{2\pi}{5})$

حال با جای گذاری و حل معادله ی درجه ی 2 به دست آمده بر حسب کسینوس، مساله حل خواهد شد.

نکته:

بد نیست بدانید که این مساله نشان می دهد که یک پنج ضلعی منتظم را می توان به وسیله ی خط کش و پرگار رسم کرد. این مباحث از جمله مباحث بسیار زیبای جبر و جزیی از «نظریه گالوا» است. آیا می توانید مساله ی مشکل زیر را هم حل کنید؟

ساختن یک هفت ضلعی منتظم به وسیله ی خط کش و پرگار امکان پذیر نیست!!

آموزش حل مساله:

مساله ی بالا، امکان اتصال ایده های به ظاهر بی ربط به یکدیگر را برای حل یک مساله، نشان می دهد. بنابر این هر چه اطلاعات شما در زمینه های مختلف ریاضی، بیشتر باشد امکان حل مساله (یا حداقل حل ساده تر مساله) بیشتر است.

موفق باشید.

26 شهریور 1388

**mofidy1** · 17-09-2009, 14:35

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$\int_{0}^{\infty}e^{-t^2}\,dt$

راهنمایی: از تابع گاما استفاده کنید.

موفق باشید.

26 شهریور 1388

**amintnt** · 17-09-2009, 14:51

خواهشی داشتم از عزیزانی که لطف میکنن و سوال ها رو طرح میکنن...

لطفا مثل جناب مفیدی ذکر کنید که سوال در چه سطحی هست...

ممنونم

**Parser** · 18-09-2009, 11:56

به نام معــشوق ازلی

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$\int_{0}^{\infty }e^{-u^2}du$

$\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt$

با توجه به حدود انتگرال٬ t هاي بزرگتر يا برابر با صفر توسط مقاديري از u طبق رابطه ي $t=u^2$ توليد مي گردند.

تابع $u^2$ به ازاي u هاي مثبت٬ اعداد مثبت را پوشش مي دهد.

همچنين اگر $u\geq 0$ ٬ $u^2$ يك به يك است.

با در نظر گرفتن شرايط لازم براي تعويض متغيّر٬ $u^2$ را با t مي توان جايگزين نمود و حدود جديد انتگرال را بدست آورد.

$t=0\Leftrightarrow u=0$

ملاحظه بفرماييد كه كران بالاي انتگرال٬ پس از تعويض متغيّر $\infty$ است.

$\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt=\int_{0}^{\infty }(u^2)^{x-1}e^{-u^2}(2u)du=2\int_{0}^{\infty }u^{2x-1}e^{-u^2}du$

$\Rightarrow \Gamma (x)=2\int_{0}^{\infty }u^{2x-1}e^{-u^2}du$

ثابت مي شود كه $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

$\Rightarrow \Gamma (\frac{1}{2})=2\int_{0}^{\infty }e^{-u^2}du$

$\Rightarrow \int_{0}^{\infty }e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

**mir@** · 19-09-2009, 01:23

پاسخ مسئله شنبه هشتم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.
تمام توابع f ِهمه جا مشتق پذیر را بیابید که در رابطه زیر صدق کنند:

$f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

برای تمام x و y هایی که $xy\neq 1$

راهنمایی: نسبت به x و y مشتق گرفته و ساده کنید.

با گرفتن مشتق جزئی نسبت به دو متغیر داریم:

$f'(x)=\frac{1+y^2}{(1-xy)^2}f'\left(\frac{x+y}{1-xy} \right)$

$f'(y)=\frac{1+x^2}{(1-xy)^2}f'\left(\frac{x+y}{1-xy} \right)$

با ساده کردن این عبارات، مثلا تقسیم یکی بر دیگری خواهیم داشت:

$(1+y^2)f'(y)=(1+x^2)f'(x)$

از آنجا که یک طرف کاملا وابسته به y و یکطرف کاملا وابسته به x است، بنابراین هریک از طرفین باید مساوی یک مقدار ثابت باشد.

$f'(x)=\frac{c}{1+x^2}$

بنابراین تابع در حالت کلی به صورت زیر خواهد بود:

$f(x)=c\arctan(x)+d$

اما اگر در رابطه اصلی قرار دهیم : $y=0$

خواهیم داشت:

$f(x)+f(0)=f(x)$

بنابراین $d=0$

و نتیجتاً تابع برابر خواهد بود با:

$f(x)=c\arctan(x)$

خدا به من جزای خیر بدهد!

**mir@** · 19-09-2009, 01:33

برای $x>1$ حاصل مجموع بی نهایت زیر را بیابید:

$S_n(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x^2}{(x+1)(x^2+1)}+\frac{x^4}{(x+1)(x^2+1)(x^4+1)}+\ldots$

راهنمایی: در عبارت $\tfrac{1}{x-1}$ ضرب کنید طرفین را و بعد ساده کنید. بعدش به کسرهای جزئی تجزیه کنید، بعد بعدش ...

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

این کاربر از zahedy2006 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی هشتم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی نهم

حل مساله ی پنج شنبه ی هفتم (سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی هشتم (سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

3 کاربر از Parser بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسئله شنبه نهم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن