اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 02-09-2009, 11:21

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد براي هر سه عدد مثبت a، ‏b و c داريم

$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 9a^2b^2c^2$

ــــــــــــــــــــ
04 / 06 / 88

با استفاده از نامساوي ميانگين حسابي-ميانگين هندسي داريم

$\begin{align} {\nonumber \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{3} & \geq \sqrt[3]{a^3b^3c^3}\cr \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{3} & \geq \sqrt[3]{a^3b^3c^3}\cr }\end{align}$

با تغييري كوچك در اين نامساوي‌ها و ضرب طرفين، حكم به راحتي به دست مي‌آيد.

ــــــــــــــــــــــ
11 / 06 / 88

**eh_mn** · 02-09-2009, 11:30

يكي ديگر از نامساوي‌هاي مهم، نامساوي كوشي-شوارتز است:
اگر a1 و a2 و ... و an و b1 و b2 و ... و bn اعدادي نامنفي باشند آنگاه

$(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)$

با استفاده از نامساوي كوشي-شوارتز مسأله‌ي زير را حل كنيد.

فرض كنيد $P(x)$ يك چندجمله‌اي با ضرايب مثبت باشد. ثابت كنيد كه اگر رابطه‌ي

$P\left(\frac{1}{x} \right )\geq \frac{1}{P(x)}$

براي x=1 برقرار باشد آنگاه براي هر x>0 برقرار است.

ــــــــــــــــــ
11 / 06 / 88

**mir@** · 05-09-2009, 13:09

حل مسئله شنبه ششم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.
مقدار مجموع زیر را برای تمامی n های مثبت بیابید:

$S=\sum_{k=0}^n \frac{\binom{n}{k}}{\binom{2n-1}{k}}$

راهنمایی: عبارت زیر را ساده کرده و از قاعده تلسکوپی استفاده کنید:

$\frac{\binom{n}{k}}{\binom{2n}{k}}-\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{2n}{k+1}}$

با تشکر از استاد amintnt که برای حل این مسئله سعی بلیغ نمودند.

$\frac{\binom{n}{k}}{\binom{2n}{k}}-\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{2n}{k+1}}=\\ \frac{n!(2n-k)!}{(n-k)!2n!}-\frac{n!(2n-k-1)!}{(n-k-1)!2n!}\\ =\frac{n!(2n-1-k)!}{(n-k)!(2n-1)!}\left( \frac{2n-k}{2n}-\frac{n-k}{2n} \right )\\ =\frac{1}{2}\frac{\binom{n}{k}}{\binom{2n-1}{k}}\\ \Rightarrow S=2 \sum_{k=0}^n \left( \frac{\binom{n}{k}}{\binom{2n}{k}}-\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{2n}{k+1}} \right )\\ =2\left( \frac{\binom{n}{0}}{\binom{2n}{0}}-\frac{\binom{n}{n+1}}{\binom{2n}{n+1}} \right )=2$

**mir@** · 05-09-2009, 13:17

.
لطفا حاصل مجموع زیر را بیابید:

$S=\sum_{n=1}^\infty \tan^{-1}\frac{2}{n^2}$

راهنمایی: از اتحاد زیر استفاده کنید:

$\tan^{-1}\frac{1}{n-1}-\tan^{-1}\frac{1}{n+1}=\tan^{-1}\frac{2}{n^2}$

توجه: $\tan^{-1}(x)\leftrightarrow \arctan(x)$

**saber57** · 05-09-2009, 15:05

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.
لطفا حاصل مجموع زیر را بیابید:

$S=\sum_{n=1}^\infty \tan^{-1}\frac{2}{n^2}$

راهنمایی: از اتحاد زیر استفاده کنید:

$\tan^{-1}\frac{1}{n-1}-\tan^{-1}\frac{1}{n+1}=\tan^{-1}\frac{2}{n^2}$

توجه: $\tan^{-1}(x)\leftrightarrow \arctan(x)$

در این مساله هم از قاعده تلسکوپی استفاده میکنیم فقط یک نکته جالب در حل مساله نهفته هست و اونم یک عبارت اضافه (بجز عبارات اول و آخر)هست .طبق اتحادی که خودتون فرمودید و براحتی با استفاده از اتحاد تانژانت تفاضل قابل اثبات هست و داریم:

$\sum_{n=1}^{\infty }tan^{-1}\left ( \frac{1}{n-1} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n+1} \right )=tan^{-1}\infty -tan^{-1}\frac{1}{2}+tan^{-1}1-tan^{-1}\frac{1}{3}+tan^{-1}\frac{1}{2}-tan^{-1}\frac{1}{4}+....-tan^{-1}\frac{1}{\infty }=tan^{-1}\infty +tan^{-1}1-tan^{-1}0=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

فقط عبارت $tan^{-1}1$ وجود دارد که قرینه اش در کل مجموع وجود ندارد ولی تفاضل عبارات اول و آخر را داریم

البته به فرم دیگر :

$A=\sum_{n=1}^{\infty }tan^{-1}\left ( \frac{2}{n^2} \right )=\sum_{n=1}^{\infty }\left (tan^{-1}\left ( \frac{1}{n-1} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n+1} \right ) \right )$

$A=\sum_{n=1}^{\infty }\left (tan^{-1}\left ( \frac{1}{n-1} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n} \right ) \right )+\sum_{n=1}^{\infty }\left (tan^{-1}\left ( \frac{1}{n} \right )- tan^{-1}\left ( \frac{1}{n+1} \right ) \right )$

$A=\left (tan^{-1}\infty -tan^{-1}0 \right )+\left ( tan^{-1}1-tan^{-1}0 \right )=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**Parser** · 06-09-2009, 10:49

به نام معشوق ازلي
حل مسئله ي چهارشنبه‌ي هفتم

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يكي ديگر از نامساوي‌هاي مهم، نامساوي كوشي-شوارتز است:
اگر a1 و a2 و ... و an و b1 و b2 و ... و bn اعدادي نامنفي باشند آنگاه

$(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)$

با استفاده از نامساوي كوشي-شوارتز مسأله‌ي زير را حل كنيد.

فرض كنيد $P(x)$ يك چندجمله‌اي با ضرايب مثبت باشد. ثابت كنيد كه اگر رابطه‌ي

$P\left(\frac{1}{x} \right )\geq \frac{1}{P(x)}$

براي x=1 برقرار باشد آنگاه براي هر x>0 برقرار است.

$(P(1))^{2}\geq 1$
$P(x)=A_{n}x^n+A_{n-1}x^{n-1}+...+A_{0}$
$\Rightarrow (A_0+A_1+...+A_n)^2\geq 1$
$P(x)P(\frac{1}{x})=(A_{n}{(\frac{1}{x})}^n+A_{n-1}{(\frac{1}{x})}^{n-1}+...+A_{0})(A_{n}x^n+A_{n-1}x^{n-1}+...+A_{0})$

$(a_0b_0+a_1b_1+...+a_nb_n)^2\leq (a_0^2+a_1^2+...+a_n^2)(b_0^2+b_1^2+...+b_n^2)$
$\sqrt{A_{n}\frac{1}{x^n}}=a_0$
$\sqrt{A_{n}x^n}=b_0$
$\sqrt{A_{n-1}\frac{1}{x^{n-1}}}=a_1$
$\sqrt{A_{n-1}x^{n-1}}=b_1$

...

$\Rightarrow 1\leq (A_0+A_1+...+A_n)^2\leq (A_n\tfrac{1}{x^n}+...+A_0)(A_nx^n+...+A_0)$
$\Rightarrow 1\leq P(\frac{1}{x})P(x)$
$P(x)>0$
$\Rightarrow P(\frac{1}{x})\geq \frac{1}{P(x)}$

**ali_hp** · 06-09-2009, 12:51

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

27) در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه است (B=90o) و AB=10-π و BC=6. نیم استوانه ای با شعاع واحد و محور عمود بر AB، بین نقاط A وC مانع شده است.

مورچه بنا به دلایلی (!) باید هر چه سریع تر از نقطه ی A به لانه اش در نقطه ی C برود. طول کوتاه ترین مسیر ممکن چقدر است؟
(مساله مرحله اول بیست یکمین المپیاد ریاضی ایران،برای دیدن کلیه مساِیل به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بروید.)

سلام

با تشکر ازCppBuilder2006 عزیز،جوابشونو بررسی می کنیم:

نوشته شده توسط CppBuilder2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فک کنم جواب بشه رادیکال 136 یعنی الف
البته منظور از AB=10-pio رو بدون احتساب تکۀ زیر استوانه می گیریم.

با تشکر،راه حل شما درسته،ولی منظور سوال با احتساب تیکه زیر استوانه است.

با تشکر از saber57 عزیز،جوابشونو بررسی می کنیم:

نوشته شده توسط saber57 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

کوتاهترین مسیر همون AC هست پس کافیه مقدار وتر بدست بیاد . محیط نیم دایره برابر pi هست . با توجه به شکل مشخصه که اختلاف طول وترAC و ضلع مقابلش AB برابر محیط نیم استوانه یا pi هست !!بنابراین:

AC-AB=pi ---->AC=AB+pi----->AC=10-pi+pi----->AC=10

بنابراین گزینه ج صحیح میباشد

راه حلتون درست نیست،چرا کوتاهترین مسیر AC میشه؟
اختلاف طول وترAC و ضلع مقابلش AB برابر محیط نیم استوانه یا pi نیست.

حل:
صفحه را مسطح کنید!به وضوح کوناهترین مسیر مسیری است که پس از مسطح کردن صفحه A را به C وصل می کند.بعد از مسطح کردن صفحه طول AB برابر 8 می شود.(چرا؟)پس طول مسیر AC برابر 10 می شود.(طبق قضیه فیثاغورث!)
دقت کنید که کوتاهترین مسیر AC نیست!بلکه مسیری است که پس از مسطح کردن صفحه A را به C وصل می کند،که لزوما منطبق بر AC قبل از مسطح کردن صفحه نیست!

**ali_hp** · 06-09-2009, 13:02

قضیه هرون:
در مثلث دلخواه ABC فرض کنید BC=a , AB=c , AB=c و S مساحت مثلث باشدو P برابر نصف محیط مثلث باشند ثابت کنید:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

**Parser** · 07-09-2009, 16:55

به نام معشوق ازلي
حل مسئله‌ي یکشنبه هفتم

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

قضیه هرون:
در مثلث دلخواه ABC فرض کنید BC=a , AB=c , AB=c و S مساحت مثلث باشدو P برابر نصف محیط مثلث باشند ثابت کنید:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S=\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}b.c.\sqrt{1-\cos^2 A}$
$a^2=b^2+c^2+2b.c.\cos A \Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b.c}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}b.c\sqrt{1-\left (\frac{b^2+c^2-a^2}{2b.c}\right )^2}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}b.c\sqrt{\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}=\frac{1}{4}{}\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4}$

$\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4}{(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}=a+b+c$

$\Rightarrow S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}}$

$\Rightarrow S=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}$

$\Rightarrow S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

**eh_mn** · 09-09-2009, 13:47

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يكي ديگر از نامساوي‌هاي مهم، نامساوي كوشي-شوارتز است:
اگر a1 و a2 و ... و an و b1 و b2 و ... و bn اعدادي نامنفي باشند آنگاه

$(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)$

با استفاده از نامساوي كوشي-شوارتز مسأله‌ي زير را حل كنيد.

فرض كنيد $P(x)$ يك چندجمله‌اي با ضرايب مثبت باشد. ثابت كنيد كه اگر رابطه‌ي

$P\left(\frac{1}{x} \right )\geq \frac{1}{P(x)}$

براي x=1 برقرار باشد آنگاه براي هر x>0 برقرار است.

ــــــــــــــــــ
11 / 06 / 88

راه حل Parser هر چند بدون شرحه ولي كاملا درسته. اين راه حل رو در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

ملاحظه كنيد. با تشكر فراوان از ايشان.

ــــــــــــــــــــــ
18 / 06 / 88

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مسأله‌ي چهارشنبه‌ي ششم

مسأله‌ي چهارشنبه‌ي هفتم

2 کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مسئله شنبه هفتم

2 کاربر از Parser بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله یکشنبه ششم

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه هفتم

2 کاربر از Parser بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی هفتم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن