اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

[zahedy2006]

این طوری که نمیشه حاجی باس مثلث و ثابت نگه داری بلاخره بینهایت وتر هست که راس مثلث نیستن اونا باید تو احتمال حساب شه

سلام
چرا بايد مثلث ثابت باشه؟؟
براي ما احتمال طول مهم هست

ابتدا وتر رسم شده را مي گيريم و از يك سر آن مثلث خودمان را رسم مي كنيم
طول ضلع مثلث تغيير نمي كند
طول وتر نيز تغيير نمي كند
پس در كليت مساله - احتمال ما - تاثيري ندارد.

البته چون خودم مي خواستم اين جواب رو بنويسم ولي ديدم جواب داده شده اومدم توضيح بدهم

[saber57]

سوال eh_mn سوال شانزدهمین المپیاد ریاضی(مرحله دوم بهار 77) بود

با سلام

دقیقاً توضیح دهید. چرا جواب، یک سوم است؟!

15 مرداد 1388

مشکل اینجاست ممکنه وتر اصلا شامل راس های مثلث نشه

اگه مثلث متساوی الاضلاع رو طوری بچرخونیم که راس A روی یک نقطه وتر قرار بگیره ، برای اینکه وتر فرضی بزرگتر از طول یک ضلع مثلث باشه ، نقطه دوم وتر قطعا روی کمان BC قرار خواهد گرفت و در واقع کمان BC مکان هندسی نقاطی از وتر است که طول وتر آن بزرگتر از طول یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع و نقطه طرف دیگر آن وتر روی راس مقابل کمان BC قرار گرفته باشه . مجموع این نقاط کمان BC را تشکیل میدهند که یک سوم محیط کل دایره است . احتمالش هم میشه :

[chessmathter]

سلام
چرا بايد مثلث ثابت باشه؟؟
براي ما احتمال طول مهم هست

ابتدا وتر رسم شده را مي گيريم و از يك سر آن مثلث خودمان را رسم مي كنيم
طول ضلع مثلث تغيير نمي كند
طول وتر نيز تغيير نمي كند
پس در كليت مساله - احتمال ما - تاثيري ندارد.

البته چون خودم مي خواستم اين جواب رو بنويسم ولي ديدم جواب داده شده اومدم توضيح بدهم

سوال eh_mn سوال شانزدهمین المپیاد ریاضی(مرحله دوم بهار 77) بود





اگه مثلث متساوی الاضلاع رو طوری بچرخونیم که راس A روی یک نقطه وتر قرار بگیره ، برای اینکه وتر فرضی بزرگتر از طول یک ضلع مثلث باشه ، نقطه دوم وتر قطعا روی کمان BC قرار خواهد گرفت و در واقع کمان BC مکان هندسی نقاطی از وتر است که طول وتر آن بزرگتر از طول یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع و نقطه طرف دیگر آن وتر روی راس مقابل کمان BC قرار گرفته باشه . مجموع این نقاط کمان BC را تشکیل میدهند که یک سوم محیط کل دایره است . احتمالش هم میشه :

ببینین وقتی میگه احتمال اینکه وتر بزرگتر از ضلع باشه یعنی همه وتر ها ولی در راه حل شما فقط وتر هایی محاسبه میشه که از یه راس اونم راس مشخص میگذره محاسبه میشه نه همه وتر ها
ببینین یه مثلث دادن دایره محیطی شم دادن وتر های هست که از راس مثلث نگذره بلاخره تو که نمیتونه هی مثلث و دوران بدی.... چه جوری بگم یه مثال باس پیدا کنم

[saber57]

شما میتونید یک مثلث فرضی قرینه با مثلث اصلی در دایره رسم کنید . اضلاع این دو مثلث دو بدو موازیند .(مثل پرچم اسراییل) هر وتر موازی با دو ضلع متناظر موازی و بین آنها بزرگتر از ضلع مثلث اصلی هست. حالا مثلث محاط در دایره رو اونقدر میچرخونیم تا موازی با وتر باشه بالطبع مثلث قرینه موازی هم یک ضلع موازی با وتر خواهد داشت . در صورتی وتر تصادفی بین دو ضلع موازی باشه مقدارش بزرگتر از ضلع مثلث و خارج کوچکتر هست و چون مجموع کمانهای واقع بین دو ضلع موازی 120 درجه هست پس بعبارتی احتمال 3/1 خواهد بود

[< A L I >]

ببینین وقتی میگه احتمال اینکه وتر بزرگتر از ضلع باشه یعنی همه وتر ها ولی در راه حل شما فقط وتر هایی محاسبه میشه که از یه راس اونم راس مشخص میگذره محاسبه میشه نه همه وتر ها
ببینین یه مثلث دادن دایره محیطی شم دادن وتر های هست که از راس مثلث نگذره بلاخره تو که نمیتونه هی مثلث و دوران بدی.... چه جوری بگم یه مثال باس پیدا کنم

سلام
مي تونيم به جاي اين كه مثلث( ABC ) را دوران بدهيم تا وتر بر يكي از راس هاي آن منطبق شود،مثلث اوليه(مثلث ABC) را نگه داريم و مثلث متسوي الاضلاع ديگري را(مثلث MNP) در دايره محاط كنيم به صورتي كه يكي از راس هاي آن ،راس وتر فرضي باشد.(قبول داريد كه در اين صورت تمامي وترها محسبه مي شود؟)
و ادمه ي كار.....=احتمال اين كه وتر از ضلع مثلث MNP بزرگتر باشد 1/3 مي شود.
قسمت بنفش رنگ را كه دوستان به اشكال مختلف ثابت كردند.
مي دانيم كه ABC و MNP هم نهشت هستند.(دو مثلث متساوي الاضلاع كه در يك دايره محاط شده اند)
پس اگر وتر فرضي از ضلع مثلث MNP بزرگتر باشد از ضلع مثلث ABC نيز بزرگتر مي شود.پس احتمال اين كه وتر از ضلع ABC بزرگتر شود نيز برابر 1/3 مي شود.


البته من اثبات ديگر دوستان را كه از روش دوران رفته اند، كاملاً قبول دارم.

[chessmathter]

با سلام

دایره ی ثابتی به شعاع 1 و مثلث متساوی الاضلاع محاط در این دایره را در نظر بگیرید. طول ضلع این مثلث را L فرض می کنیم. فرض کنید وتری از این دایره به طور تصادفی انتخاب شده باشد. احتمال این که طول وتر - که آن را M می گیریم - از طول ضلع مثلث محاط در دایره - که L فرض کردیم - بیشتر باشد، چه قدر است؟

موفق باشید.

15 مرداد 1388

دوستان من فکر کردم و فهمیدم اصلا مثلث وجودش لازم نیست ضلع مثلث رادیکال 3 هست
سوال میگه احتمال اینکه یه وتر بیشتر از رادیکال 3 باشه چقدره
از اونجایی که راه حل من 1/4 بود و راه حل شما 1/3 و من به جواب خودم مطمعنم و یه مسله 2 جواب نداره تحقیق کردم و جالبه جوابه 1/2 هم داریم
اینم از پارادکس برتراند

مساله:وتر، پاره خطی است که نقطه های انتهایش، دو نقطه از دایره باشند.در دایره ای به شعاع1 ,احتمال این که طول وتری بیش از باشد، چقدر است؟

چنین مساله ي ساده ای می تواند بسیار شگفت انگیز باشد، به این علت که می توان چندین راه حل به ظاهر منطقی برای آن ارائه داد که هر یک به پاسخی متفاوت می انجامد.

راه حل اول:
وتری مانند AB را در نظر بگیرید که در نقطه ی M بر دایره ي به شعاع و مرکز دایره ي نخست ، مماس باشد.( شکل1 )

از آن جا که AB بر این دایره مماس است ، بر شعاع MC عمود خواهد بود.پس بنا بر قضیه ی فیثاغورث داریم:

به طریق مشابه داریم: =AM.پس طول وتر AB برابر است.
برای وتر دلخواه EF ،اگر پای عمودی که ازمرکز دایره بر این وتر اخراج می شود،درون دایره ی داخلي بیفتد، آن گاه :
طول AB < EF طول و در غیر این صورت :
طول AB EF طول . پس این نتیجه گیری به نظر منطقی می آید که احتمال این که طول وتری از بیش تر باشد برابر است با احتمال این که پای عمود آن درون دایره ی داخلی واقع شود.پس احتمال مورد نظربرابر است با:

راه حل دوم:
همه ی وترهایی را که از نقطه ی A واقع بر دایره می گذرند، در نظر بگیرید.نقطه هاي B و C را بر دايره طوري بگيريد كه .شکل 2 را خواهیم داشت:

با توجه به شکل،از آن جا که ABD>،زاويه محاطي روبروي نيم دايره است،قائمه خواهد بود و چون کسینوسBAD>،برابر است،درنتیجه: >.به همین ترتیب > ،پس >ولذا طول كمان BDC برابر محیط دایره است.هر وتری که یک سرش A و سر دیگرش (نقطه اي غير از B,C )بر کمان BDC واقع باشد،از بزرگ تر است و هر وتری که از A بگذرد وسرديگرش بر كمان BDC نباشد از کوچک تر است.پس احتمال این که طول وتری بیش از باشد،همان احتمال واقع شدن سرديگر وتر در كمان BDC مي باشد و این یعنی احتمال مورد نظر برابراست با:

راه حل سوم:
همه ی وتر هایی را در نظر بگیرید که بر شعاعی از دایره ،چون CDعمود باشند،براي وتري به طول ، نقطه ی E در فاصله ی از C قرار می گیرد(شكل3).حال با توجه به قضیه ی فیثاغورث در مورد مثلث BEC داریم:

هر وتر عمود برCD ،اگر به C نزدیک تر باشد تا به D،از بزرگ تر و در غیر این صورت از کوچک تر است.پس منطقی است که نتیجه بگیریم: احتمال این که طول وتری بیش از باشد،برابر است با احتمال این که فاصله ی نقطه ی تقاطع وتر و شعاع عمود بر آن ، بين C وE واقع شود واین یعنی احتمال مورد نظر برابر است با :

ما در این جا به یک پارادوکس می رسیم که چون توسط ژوزف برتراند مطرح شده است،به پارادوکس برتراند مشهور است.

[mir@]

حل مسئله شنبه دوم

.
معادله زیر را حل بفرمایید:

تعيين علامت به بازه هاي
x<-1

-x+1-x-x-1=x+2 ---------> x=-0.5
در دامنه مورد بحث يعني كوچكتر از -1 نيست

x>=1

x-1+x+x+1=x+2 --------> x=1

0<x<1

-x+1+x+x+1=x+2 -----> x=x

0>x>-1

-x+1-x+x+1=x+2 -------> x=0

جواب هاي زير را مي دهد

x=0
x=1
[0,1]j


ساعت حل : 5:57 صبح!!!

با تشکر از جناب zahedy2006 که این مسئله را به درستی حل کردند.

[mir@]

.
تمام سه تایی های صحیح را پیدا کنید که در رابطه زیر صدق کنند:

[ali_hp]

الف)بیشترین و کمترین مقدار تابع f رابدست اورید:



ب)قرار دهید:



نشان دهید بیشترین و کمترین مقدار f یکی از مقادیر زیر می باشند:

حل:
الف)حالت خاصی از ب) است.
بدون کم شدن از کلیت مساله فرض کنید:



دامنه f به n+1 بازه تقسیم کنید،دقت کنید که f در هریک از این بازه ها تابعی خطی است(چرا؟)،و هر تابع خطی بیشترین و کمترین مقدارش را در یکی از نقاط انتهایی دامنه اش می گیرد،پس f بیشترین و کمترین مقدارش را در یکی از نقاط می گیرد!

اولی min میشه 2- و max میشه بینهایت.

دومی از این قضیه به دست میاد:
«ماکسیمم و مینیمم هر تابع در نقاط بحرانی حاصل میشوند»

با تشکر از شما،اگه ممکنه راه حلتونو کامل کنید،نقاط بحرانی در اینجا کدوم نقاط هستند؟در کدوم نقطه ها مشتق صفر می شود؟

[ali_hp]

الف)آیا تابع که یک به یک و پوشا باشد وجود دارد؟

ب)آیا تابع که یک به یک و پوشا باشد وجود دارد؟