ک.م.م و ب.م.م در مجموعه اعداد گنگ

[Kesel]

سلام
چند وقت پیش [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گرامی در اتاق ریاضیات سوال مهمی رو بیان کردن که منو به فکر فرو برد. و اون هم ک.م.م یا ب.م.م گرفتن از دو یا چند عدد گنگ بود.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

یکی از دوستان همونجا حساب کرده بودن و ظاهرا درست بود ، اما من با دیدن دو صفحه ی زیر و معلومات اندک قبلیم به شک افتادم :

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

گفتم شاید مثلا این تعریف ویکی پدیا ناقصه یا مثلا از بعضی اعداد گنگ مثل پی می شه ک.م.م و ب.م.م گرفت.
باز از طرفی اعداد گنگ سوالی رو که مطرح کرده بودن توی متمتیکا و سایت ولفرم و متلب زدم هیچ کدوم جواب ندادن !

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

امروز تو یه پی دی اف مال دوره ی راهنمایی بود فک کنم نوشته بود اگر هر دو عدد گویا یا هر دو عدد گنگ باشن می شه ک.م.م گرفت !
دیدم نه اینجوری نمی شه این اسمش ریاضی نیست . یا باید بشه یا نشه .
شما اگه بخواین به تعریف ک.م.م و ب.م.م بها بدین ، همچین مساله ای رو دیدین فورا باید بگین سوال غلطه ... مثل متلب .
اما راه حل دوستمون [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رو هم نمی تونم رد کنم ، یعنی معلومات ریاضیشو ندارم.

دوستانی که رشته شون ریاضی هست آیا تو کتاباتون همچین بحثی رو دارید که اثبات کنه راه حل ارائه شده درست نیست ؟ چون الان یه حسی بهم می گه غلطه ولی نمی تونم حرفمو اثبات کنم.

خیلی ممنون

[ali_hp]

سلام
هر چند من جایی تعریفی رسمی از بمم و کمم برای اعداد غیر صحیح ندیدم (به جز بمم در حلقه ها) ولی به طور خیلی معقول و طبیعی این مفهوم قابل تعمیم هست.
دقت کنید که به عنوان مثال تفاوت مجموعه اعداد صحیح با مجموعه همه مضارب صحیح عدد پی فقط در یک تغییر واحد هست ، و این دو مجموعه ساختار یکسانی دارند.و مفاهیمی که روی اعداد صحیح داریم به سادگی قابل پیاده کردن روی چنین مجموعه هایی هستند.و این میتونه یکی از دلایلی باشه که تعریف در ظاهر فقط برای اعداد صحیح داده شده.
بمم یعنی بزرگترین مقسوم علیه مشترک ، پس اگه بخوایم مفهموم بمم رو برای اعداد غیر صحیح تعمیم بدیم باید اول مفهوم مقسوم علیه برای یک عدد غیر صحیح مثل a تعریف کنیم.خوب احتمالا همه موافقن که b رو بگیم مقسوم علیه a اگر و تنها اگر a/b صحیح بشه!ادامه راه هم خیلی طبیعی و منطقی هست!و میتونیم مفهوم بمم و کمم رو تعمیم بدیم به اعداد غیر صحیح.فقط دیگه الزامی بر وجود بمم و کمم نیست!چون ممکنه دو عدد مقسوم علیه مشترک نداشته باشن ، یا به عبارت دیگه متوافق نباشن!
حتی به نظر من این که بگیم تعمیم درست نیست!چون مفهوم بمم به اینکه واحدمون عدد یک باشه ربطی نداره!و به طور کاملا طبیعی برای هر دو عددی ظاهر شده! حداقل مم که ظاهر شده!
شاید بد نباشه مفهوم کمیت های متوافق رو یاد اوری کنم:
دو کمیت رو متوافق می گیم ، به شرطی که کمیتی از همان جنس ،که ان را واحد می نامیم، وجود داشته باشد که هر یک از دو کمیت مورد نظر مضرب صحیحی از ان باشند.
این واحد همون مفهوم مقسوم علیه مشترک هست!
مفهموم تقسیم هم قابل تعمیم هست!خیلی جاها هم لازم میشه!مثلا:جز اعشاری یعنی باقیمانده تقسیم بر یک ، جز صحیح یعنی خارج قسمت تقسیم بر یک!
این که در این تعمیم بمم بر سر قضیه بزو چی میاد هم مساله جالبیه.
قضیه بزو:کوچکترین عضو مثبت مجموعه همه ترکیبات خطی چند عدد صحیح برابر بمم ان چند عدد هست.
راه حل دوستمون هم قسمت اولش درسته .دقت کنید که pi/30 یک مقسوم علیه مشترک اعداد داده شده است. که ما اونو واحد فرض می کنیم!حالا میتونیم اعدادمونو به صورت مضاربی از pi/30 بیبنیم ، و بمم و کمم رو برای این مضارب حساب کنیم و در نهایت باید حواسمون باشه که واحد یک نیست بلکه pi/30 است!
اما فرمول حاصلضرب = بمم×کمم برای دو تا عدد درسته ، برای سه تا لزوما درست نیست.و بهتره که بمم هم مستقیما حساب بشه.

[kvhsade]

سلام راستش من هم بجز آن روشي كه قبلا گفتم مطلبي رسمي در اين مورد نديدم من كتاب تئوري مقدماتي اعداد مرحوم غلامحسين مصاحب را كه واقعا ميشه گفت از آن كتابهاي ناب در رياضي است نگاه كردم ولي چيزي نديديم يا شايد من پيدا نكردم بهرحال موضوع جالبي است و ميشه بيشتر در اين مورد جستجو كرد با تشكر