معرفی چند رده
يكي از مفاهيم مقدماتي در رياضيات مفهوم مجموعه است . بارها و بارها از اين مفهوم در نوشتارهاي رياضي استفاده كرده ايم , اما چقدر مطمئنيم كه از اين مفهوم به درستي استفاده مي كنيم؟
مثلا" آيا مي توانيم از مجموعه هاي : تمام مجموعه ها , تمام مجموعه هاي يك عضوي , دو عضوي... n عضوي , تمام زوج هاي مرتب , تمام رابطه ها يا تمام تابع ها سخن به ميان آوريم ؟
قبل از بحث در اين باره ابتدا چند مفهوم را معرفي مي كنيم :
1. زوج مرتب : زوج مرتب (x,y) عبارت است از مجموعه ي, x را مولفه اول و y را مولفه دوم گويند.
تمرين : تحقيق كنيد كه (c ,d) = (a ,b) اگر و تنها اگر a=c, b=d .
2. رابطه : رابطه R عبارت است از: مجموعه اي از زوج هاي مرتب .
3. تابع : تابع F عبارت است از: رابطه اي كه به هر عضو دامنه { مجموعه مولفه هاي اول} يك و فقط يك عضو برد {مجموعه مولفه هاي دوم } را نسبت مي دهد .
4. اصل اجتماع :براي مجموعه دلخواه A ,مجموعهوجود دارد . مثلا" اگر
باشد آن گاه
.
سوال 1: آيا مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد , مجموعه A را به صورتتعريف مي كنيم , اگر
چون
در نتيجه
كه تناقض است.
اگر
سوال 2 : آيا مجموعه تمام مجموعه هاي يك عضوي وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد , چونپس
و اين يعني
برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است .از اين رو بايد از رده تمام مجموعه هاي يك عضوي سخن گفت .
سوال 3 : آيا مجموعه تمام مجموعه هاي دو عضوي وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد , چونپس
تمرين : نظير دو سوال قبلي را براي مجموعه هاي n عضوي بيان كنيد و پاسخ دهيد .
سوال 4 : آيا مجموعه تمام زوج ها ی مرتب وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد و A مجموعه دلخواهي باشد ،بنابر اين
و اين يعني
برابر مجموعه تمام مجموعه هاست كه تناقض است.ازاين رو بايد از رده تمام زوج هاي مرتب سخن گفت .
سوال 5 : آيا مجموعه تمام رابطه ها وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد آن گاه
سوال 6 : آيا مجموعه تمام تابع ها وجود دارد ؟
اگر C چنين مجموعه اي باشد آن گاه
تمرين : سعي كنيد نمونه هاي ديگري از چند رده بيابيد .
جواب بصورت نقل قول
