در مورد مسأله خاصی نمی خوام بحث کنم ،ولی چیزایی می نویسم که به درد علاقه مندان ریاضی بخوره،در ضمن سعی میشه تا حد امکان ساده و روون باشه!
Printable View
در مورد مسأله خاصی نمی خوام بحث کنم ،ولی چیزایی می نویسم که به درد علاقه مندان ریاضی بخوره،در ضمن سعی میشه تا حد امکان ساده و روون باشه!
بسم الله الرحمن الرحیم
((متأسفانه به علت امکانات سایت در اینجا نمیشه ریاضی رو به زبون خودش نوشت))
وقتی که برای اولین بار مفهوم حد و پیوستگی رو برام گفتن متوجه نشدم که واقعأ متوجه نشدم ! تا سالها بعدشم ،از حد و پیوستگی، جز یه مشت ε وδ چیزی یادم نبود،شاید به خاطر این بود که بعضیا بدون اینکه به علت چیزی اشاره کنن شالاپ اونو میارن روی تخته. البته باید به اونا هم حق بدیم چون بعضی از مطالب رو عمیقأ فهمیدن، سخت تر از اونی هست که تصوّر میشه و به پیشنیازهای غالبأ پیچیده ای نیاز داره . واسه همین اینجا می خوام توضیح بدم که چرا برای اینکه نشون بدیم f در a (عضو X)پیوسته است معادلأ رابطه زیر(*) رو اثبات می کنیم: اگر به ازای هر عدد مثبت ε عددی مثبت مانندδ یافت شود به طوری که به ازای هرx عضو X فاصله ی a از x کمتر از δ)δ بزرگتر از صفر) نتیجه بدهد فاصله ی f(a ازf(x کمتر از ε است. (*)
((در اینجا فاصله ی a از b برابر است با فاصله ی b ازa))
با این فرض که مخاطبین،دانشجویان مبتدی ریاضی و یا علاقه مند به ریاضی باشند،بحث رو شروع می کنیم:برای اثبات ابتدا نیاز به پیشنیاز هایی (فقط در حد آشنایی) هست که در مورد آنها توضیحاتی می دهیم.
تعریف1: فرض کنیم X مجموعه ای و τ گردایه ای از زیر مجموعه های X باشد،یعنی اعضای τ خود به فرم مجموعه اند که در هر یک از آنها از اعضای X قرار دارند ( τ زیر مجموعه ی مجموعه توانی X است). τ را توپولوژی در X خوانیم در صورتی که تابع شرایط سه گانه زیر باشد:
1. ø و X هر دو عضو τ.
2.همواره اگرA وB عضوτ ، آنگاه A اشتراک B عضو τ.
3.به ازای هر زیر گردایه τ مانند Ә ،اجتماع دلخواه از Ә ها نیز عضو τ باشد.
تذکر:از تعریف 2 بر می آید که اگر n عضو متعلّق به τ باشد آنگاه اشتراک n تا نیز در τ است(برخلاف شرط 3 برای تعداد نامتناهی نمی توان گفت)
تعریف2: اگر τ توپولوژی درX باشد،زوج مرتب( τ وX ) را یک فضای توپولوژیک می نامند.
تعریف3:اعضای τ را مجموعه های باز می نامند و F زیر مجموعه ای از X را بسته خوانیم در صورتی که متمم آن (X منهای F ) باز باشد،به عبارتی X -F عضو توپولوژی باشد.
تعریف4:فرض کنیم X مجموعه ای باشد، و ς زیر مجموعه ای ازمجموعه ی توانی X باشد،مجموعه های ςσ و ςδ را به صورت زیر تعریف می کنیم:
(A زیر مجموعه ی X است)
A هایی که Aمقطع تعدادی متناهی از اعضای ς است
A هایی که Aاجتماع دلخواهی از اعضای ς است
اولین مجوعه همان ςδ
دومین مجموعه ςσ است.
تعریف5:فرض کنیم X مجموعه ای باشد، و β زیر مجموعه ای از مجموعه ی توانی X باشد. در این صورت گردایه ی β را یک پایه ی توپولوژیک درX گوییم هرگاهβσ یک توپولوژی باشد.در این صورت گوییم β، توپولوژی βσ را تولید می کند.
مثال1:فرض کنیم{a وb و X={c مجموعه ی مفروض باشد،کدام یک از مجوعه های زیر یک توپولوژی( در X) است.
{τ1:{ø,X
{τ2:{ø,}a},{b},X
{τ3:{ø,{b},{c},{b,c},{a,b,c
حل: τ1 به وضوح یک توپولوژی در X است زیرا:ø,Xєτ1
ø ∩ X= øєτ1
ø U X= Xєτ1
τ2 توپولوژی در X نیست زیرا:
{b وa} عضو τ2 نیست.زیرا{a,b} هست اجتماع aوb که در توپولوژی دومی نیست.
وτ3 یک توپولوژی در X است؟
مثال2: اگر {a وb و X={cو{{a وb وc}و{}و{a وb}و{b}و{a}}=τ باشد آنگاه ø ={}و {b}و{a}و{a وb}و {a وb وc} همگی در X بازند و{b وc }و{a وc}و{c}و ø وX بسته اند .
مثال3:مثالی بزنید که در آن عضوی باشد که نه باز باشد و نه بسته؟
حل:با X مثال 2 و{{a وb وc}و{}و{a وb}و{b} }= τ.در این صورت {cوb}نه باز است زیرا عضو توپولوژی نیست ونه بسته است(زیرا متمم آن که a باشد باز نیست)
مثال4: اجتماع دلخواه از بازه های حقیقی را یک پایه برای توپولوژی معمولی خوانیم،توپولوژی معمولی همان R است.
تذکر:بر روی این جمله تأکید می کنیم که توپولوژی که تعریف می شود بر روی یک مجوعه ی مفروض است،به عبارتی اگرτ در X توپولوژی نباشدبه معنی آن نیست که در هر مجوعه ی غیر از X نیز توپولوژی نیست،ممکن است τ در X توپولوژی نباشدولی درY توپولوژی باشد.
لم1:فرض کنیم (τ وX) یک فضای توپولوژیک باشد وβ زیر مجموعه ای از مجموعه ی توانی X باشد. در این صورت،β پایه برای توپولوژی است اگر و تنها اگر در عین حال
1) β زیر مجموعه τ
2)به ازای هرU از τ، و هرx ازU،گردایه β عضوی مانند B داشته باشد به طوری کهxمتعلق به B و B زیر مجموعه ای از U باشد.
اثبات(چون هدف تنها اثبات رابطه ی اول بحث می باشد لذا از اثبات این لم صرف نظر می کنیم)
تعریف:فرض کنیم f تابعی ازX به توی Y باشد و نیز x عضوی ازX باشد،در این صورت f را در x پیوسته گوییم هرگاه به ازای هر مجموعه ی باز شامل f(x مانند V،مجموعه ی بازی مانند U شامل x وجود داشته باشد به طوری که f(U زیر مجموعه ی V باشد.
تعریف:باشرایط فوقfدر A)A زیر مجموعه ی X است) راپیوسته گوییم هر گاه f در هر نقطه از A پیوسته باشد بالاخص A=X.
لم2:فرض کنیم γ پایه ای برای توپولوژی Y یعنیυ باشد در این صورت f در x پیوسته است هرگاه به ازای هر عضو γ شامل f(x مانند В،مجموعه ی بازی مانند U شامل x وجود داشته باشد به طوری که f(U زیر مجموعه ی В باشد.
اثبات:برای این که ثابت کنیم f در x پیوسته است بنابر تعریف باید مجموعه ی بازی مانند U شامل x پیدا کنیم به طوری که f(Uزیر مجموعه ی V باشد. بنا بر فرض لم2 مجموعه ی بازی مانند U شامل x وجود دارد و بنا بر فرض(تعریف) V در Y بازاست و f(x عضو Vو همچنین γ پایه ای برای توپولوژی Y است در این صورت شرط 2 لم1 برقرار است یعنی گردایه γ عضوی مانند B داردبه طوری که f(x متعلق به B و B زیر مجموعه ای از V است اما f(U زیر مجموعه ی В است پس f(U زیر مجموعه ی V است.
تا اینجا مفهوم دقیق پیوستگی را آموختیم،در شماره بعد نشان خواهیم داد که اگر f در X پیوسته باشد آنگاه گزاره(*) برقرار است و بر عکس. به همین دلیل برای اثبات پیوستگی f در X از رابطه * استفاده می کنند.
(در این اثبات پیش نیاز همان مطلب قبل است در اکثر مواردبرهان، اشاره ای به نام تعریف ها و لم ها نخواهیم کرد تا خواننده خود پی به این مهم ببرد)نقل قول:
فرض کنیم R=X وY=R و توپولوژیهایX وY را معمولی در نظر میگیریم(به شماره ی قبلی مراجعه کنید).فرض کنیمf تابعی ازX به تویY باشد و۪ x عضوX وf در ۪x پیوسته باشد. به علاوه فرض کنیم ε عدد مثبت دلخواهی باشد.در این صورت،بازه ی B برابر با اف ایکس صفر منهای اپسیلون و اف ایکس صفر به علاوه ی اپسیلون ،عضوی از پایه برای توپولوژی Y است که شامل اف ایکس صفر است.(دقت کنید که در توپولوژی معمولی مجموعه های باز همان بازه ها ی بازند و عضو پایه توپولوژی معمولی اند، منتهی با شرایط خاص، ولی در هر صورت عضو توپولوژی هستند چون هر مجموعه ی بازی عضو توپولوژی خاص مجوعه ی مرجعِ مد نظر است)اینک از پیوستگی f در ۪ x معلوم می شود که مجمو عه ی بازی مانندU درX هست که۪ x متعلق بهU وB شامل اف یواست.اینک گوییم چونU باز و ۪ x متعلق بهU است،بازه ی بازی مانند (dوc) وجود دارد که زیر مجموعه ی U و شامل ۪ x است.قرار می دهیم δ را برابر با مینیمم ایکس صفر منهای سی و دی منهای ایکس صفر . در این صورت ملاحظه خواهد شد که(d وc) شامل بازه ی ایکس صفر منهای دلتا و ایکس صفر به علاوه ی دلتا است.حال اگرx عضو دلخواهی ازX باشد که فاصله ی x از ۪ x کمتر از δ باشد آنگاهx عضو(d وc) و بنابراین عضوU است. از آنجااف ایکس متعلق به اف یو می باشد . پس اف ایکس عضوB . یعنی فاصله اف ایکس از اف ایکس صفر کمتر است از ε .
به طور خلاصه ملاحظه کردیم اگرf در۪ x پیوسته باشد،آنگاه به ازای هر عدد مثبت مانند ε عدد مثبتی مانند δ یافت می شود که به ازای هرx اگر فاصله ی x از۪ x کمتر از δ باشد آنگاه فاصله ی اف ایکس از اف ایکس صفر کمتر است از ε.
در ادامه نشان خواهیم داد عکس این مطلب را...
برای درک بهتر خودتان به زبان ریاضی بنویسید،اینجا که چنین نوشتن مشکله!
فاعله(نابغه)>>>فواعل(نوابغ))
نوابیغ دیگه چیه؟!لطفا توضیح بفرمایید.
با تشکر
منظورش افراد بیغ هستن
تازه دسته ی نوابوغ رو فراموش کرده
ولی این مطلب نشون میده نویسندش خیلی دوست داره پیش داوری بکنه
همونطور که (ن)میدونید قضیه برتران(چبیشف) 5 سال حل نشده بود ولی اگه راه حل های اردوش و رامانوجان رو واسه این قضیهنقل قول:
* مدّعيان حل مسأله هاي حل نشده معروف
اين دسته نسبت به دسته اوّل كمي معقول ترند. ايشان آدم هايي هستند كه سعي مي كنند مسأله هاي بزرگ حل نشده را كه به پيش زمينه هاي رياضي قوي نياز دارند، بدون داشتن آن پيش زمينه ها حل كنند. مثلاً فرضيه كلدباخ، فرمول توليد اعداد اول و ....
بخونید , می فهمید که به هیچ چیز پیچیده ای احتیاج ندارن فقط با ایده های نابی حل میشن
باسلام و تشكر از پستتان،
من با اجازه شما فقط چند نكته را در اين زمينه يادآوري ميكنم:
1- عمل تفكر و تعقل در يك مسئله رياضي به نوبه خود باعث انبساط خاطر ،فعاليت مغزي،افزايش قدرت استدلال،بالا رفتن توان ذهني و ... مي شود وحتما" لازم نيست كه آن مسئله حل شده و يا به يك نتيجه معقول برسد.
2- كم نيستند مسائل رياضي كه درامتداد تفكر برروي مسائل ديگر حل شده اندواين موضوع مهمي است.
3-گاه باشد كه كودكي نادان به خطا بر هدف زند تيري
البته با نظر شما نسبت به شيادان و سوء استفاده كنندگان (كه در تمام موارد و زمينه ها و در تمام قرون و اعصار حضوري مستمرو پررنگ دارند) كاملا" موافقم.
با تشكر
سلام کسی می تونه گراف چهار رنگ و رنگ آمیزی گراف ها را را متن انگلیسی ان را بزاره شدیدا نیاز دارم :20:
احتمالاً معروف ترين مجادله در تاريخ علم مربوط به نيوتن و لايب نيتز در مورد اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال مي شود.
نيوتن در سال 1669 ميلادي متني را در مورد تجزيه ي معادلات عددي نامتناهي مي نويسد که اين متن را به رياضي دان مشهور انگليسي يعني ايساک بارو مي دهد تا او اين متن را مطالعه کند . ايساک بارو نيز اين متن را به يک رياضي دان ديگر يعني جان کولينز مي دهد ، که جان کولينز ، اين متن را براي خود کپي مي کند .
وقتي لايب نيتز در سال 1675 به طور مستقل به روي حساب ديفرانسيل کار مي کند، نه تنها با نيوتن به عنوان شخص ثالث مکاتبه مي کند ، بلکه با جان کولينز هم رابطه بر قرار مي کند .
برخي محققان معتقدندکه به راستي ، لايب نيتز به طور مستقل به روابط موجود در حساب ديفرانسيل دست پيدا کرد و برخي ديگر ، خلاف اين نظر را دارند .
با اين وجود لايب نيتز ، کتابي را در سال 1684 ميلادي منتشر مي کند ولي در اين کتاب ، هيچ صحبتي از مکاتبه با نيوتن و يا مبادله ي اطلاعات با جان کولينز نمي کند .
اين موضوع به رياضي دانان اروپايي اين احساس را القا کرد که ، لايب نيتز يگانه مخترع حساب ديفرانسيل و انتگرال است ؛ چون در 20 سال قبل ، نيوتن هيچ کتابي در اين رابطه منتشر نکرده بود .
در واقع نيوتن بسياري از مطالب خود را مدت ها بعد منتشر مي کرد و هميشه در انتشار مطالب خود کوتاهي به خرج مي داد .
در اين ميان رياضي داناني چون ، جان کيل و يوهان برنولي هر يک نوشته هايي را در دفاع از استادان خود ، به ترتيب ، نيوتن و لايب نيتز منتشر کردند . هر گروه ، ديگري را به سرقت آثار و فريب کاري متهم کردند و رسوايي بزرگي را رقم زدند .
به هر حال آلفرد هال ، محقق اروپايي در مقدمه ي کتاب خود يعني " جنگ فيلسوفان " مي نويسد : "به طور حتم نيوتن اولين کسي بود که طرح هاي فراگيري رابراي محاسبه هاي بي نهايت کوچک با روشي استادانه طرح ريزي کرد ، ولي حساب ديفرانسيل و انتگرالي که هم چون فواره اي سبب توسعه هاي فراوان و پي در پي از سال 1684 تا به امروز شده است ، به طور مستقل توسط لايب نيتز به وجود آمده است . "
منبع : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
خیلی ببخشید وللی تلاش برای اثبات مسایل سخت که جرم نیست بالاخره یکی بایداونهارواثبات کنه درضمن دراین جهان همه چی نظم داره اعداداول هم مینطورفقط پیداکردن نظم بین اعداداول غیرممکن نیست ویکی بایداین کارروبکنه