لطفا اثبات روابط مثلثاتی را بگذاری؟
لطفا اثبات روابط مثلثاتی را بگذاری؟
سلام لطفا اگر می تونید این سوال منو با راه حل کامل واسم ایمیل کنید...........
اگر در داخل یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a دایره ای محاط کنیم سپس در درون آن دایره ,مثلث متساوی الاضلاع دیگری محاط کنیم و این کار را تا بی نهایت بار ادامه دهیم...
الف) مجموع مساحت مثلث ها؟؟؟؟؟؟؟
ب)مجموع مساحت دایره ها؟؟؟؟؟؟؟
ج) اگر این کار را با یک n ضلعی انجام دهیم مجموع مساحت دایره ها و مجموع مساحت مثلث ها چند خواهد شد؟؟؟؟؟؟
د)آیا رابطه ای میان مساحت دایره و n ضلعی ها وجود دارد؟؟؟؟؟؟؟
سلام.
یه مساله ی جالب دیدم گفتم اینجا مطرحش کنم تا دوستان در موردش نظر بدن:
سوال: مکان هندسی کانونی از یک بیضی، که در آن بیضی، کانون دیگر و 2 نقطه از محیط آن بیضی همواره در صفحه ثابت اند، چیست؟
اگه تا یک هفته کسی جواب نداد، جواب رو میذارم.
موفق باشین.
91/3/24
بنا به تعریف، بیضی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فواصلشان از دو نقطه ثابت (کانونها)، ثابتی مثبت است. پس اگر A و B دو نقطه روی بیضی باشند که فاصله A از کانون اول، d واحد کمتر از فاصله B از کانون اول باشد، آنگاه فاصله A از کانون دوم، d واحد بیشتر از فاصله B از کانون دوم خواهد بود. پس مکان هندسی کانون دوم، مجموعه نقاطی از صفحه است که فاصله شان از نقطه A، به مقدار d واحد بیشتر از فاصله شان از نقطه B باشد، که این همان تعریف هذلولی است. البته تنها یک شاخه اش.
سلام.نقل قول:
با تشکر از جناب [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که به درستی و با توضیحی رسا و کامل، جواب رو گفتند.
یه سوال دیگه هم در همین رابطه مطرح میکنم که مشابه قبلیه:
سوال: در ذوزنقه ی قائم الزاویه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داریم:
1- [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
2- [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
3- [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
4- [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (نقطه های C و D از ذوزنقه در صفحه ثابت و معین هستند.)
حال سوال اینجاست که مکان هندسی راس B در تمام ذوزنقه هایی که 4 شرط بالا را دارند چیست؟
باز هم تا یک هفته فرصت دارین برای پاسخگویی.
موفق باشین.
91/4/1
سلام.نقل قول:
بیش از یک هفته گذشت و کسی جواب نداد.
این هم جواب:
طبق شرط شماره ی 3، در ذورنقه ی ABCD فاصله ی نقطه ی B از خط AD همواره برابر با فاصله ی این نقطه از نقطه ی C هستش.
و طبق شرط شماره ی 4، فاصله ی نقطه ی C از خط AD هم همواره مقدار ثابتی هستش.
پس بنابراین اگر خطی رو که از دو نقطه ی A و D میگذره رو از هر دو طرف، امتداد بدیم و این خط رو L بنامیم، این خط همواره در جای خودش، ثابته. از طرفی نقطه ی C هم همواره در بیرون از خط L قرار داره و ثابته.
و در این حالت، نقطه ی B مکان هندسی نقاطیه که از خط L و نقطه ی ثابت C به یک فاصله اند که این دقیقا تعریف یک سهمی است.
برای درک بهتر به شکل سمت راست دقت کنید:
موفق باشین.
91/4/9
مثلثهای T1 و T2 در یک صفحه واقع بوده و T2 درون T1 جای دارد. آیا امکان دارد که محیط T2 بزرگتر از محیط T1 باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.
خیر ممکن نیست.برای توضیح بهتر دو محور مختصات را برای صفحه ی مذکور در نظر می گیریم به طوری که یکی از محور ها موازی یکی از اضلاع مثلث T1 باشد.آنگاه برای رسم مثلث کوچکتر که قرار است درون T1 واقع شود ، باید از اضلاعی استفاده کنیم که هم مولفه ی اول کوچکتر و هم مولفه ی دوم کوچکتر دارند . لذا بنابر قاعده ی فیثاغورس ضلع سوم هم قطعا کوچکتر از ضلع سوم مثلث T1 است . لذا محیط آن (مجموع سه ضلع) کوچک تر خواهد بود.نقل قول:
پاسخ شما را متوجه نمیشوم. آیا منظور شما از مولفه های یک ضلع، طول تصویرش بر محورهای مختصات است؟
این مولفه ها از چه چیزی کوچکترند؟نقل قول:
به خاطر تاخیر در پاسخ عذر خواهی می کنم.نقل قول:
خیر منظور من در اصل این گونه است:
توجه داریم که برای یافتن بزرگترین محیط ممکن باید هر سه ضلع بزرگترین مقادیر خود را اختیار کنند.
1 - برای ساده تر شدن مساله یکی از محور ها را (به نام x) منطبق (حالت خاصی از توازی) بر یکی از اضلاع مثلث T1 در نظر می گیریم . هم چنین باز هم برای ساده شدن ، مبدا مختصات را نیز منطبق بر یکی از دو راس سر ضلع مذکور فرض می کنیم.
اکنون بزرگ ترین ضلعی که از نظر مختصه ی اول ممکن است درون این مثلث جای گیرد ، ضلعی است موازی ضلع منطبق بر محور x ها و با اختلاف ناچیز از آن . در هر حال این ضلع ، کوچک تر از ضلع منطبق بر محور x هاست.
2 - در این مرحله باید ضلعی دیگر از مثلث T2 را به طریق مشابه آنالیز کنیم ، لذا این ضلع نیز حداکثر مولفه ی دوم (y) که خواهد داشت ، اندکی کوچکتر از عریض ترین نقطه ی مثلث T1 است . بنابراین ناگزیر این ضلع نیز کوچک تر از ضلعی دیگر از این مثلث است .
3 - از دو قسمت قبل به دست آمد که دو ضلع مثلث T2 کوچک تر از دو ضلع مثلث T1 است . بنابر قاعده ی فیثاغورس ضلع سوم نیز کوچک تر است . لذا مجموع سه ضلع T2 کوچک تر از مجموع سه ضلع T1 است.
از پاسخ شما سپاسگزارم.
این گزاره کمی ابهام دارد. اگر طول بزرگترین ضلع T1، برابر m باشد، در اینصورت هر کدام از اضلاع T2 به طور جداگانه، میتوانند در بازه 0 تا m تغییر کنند، اما نه به طور همزمان. بزرگترین مقدار برای هر ضلع را چه در نظر می گیرید؟ توجه دارید که اگر x و y دو متغیر مستقل باشند، آنگاه z=x+y زمانی بیشینه می شود که هر کدام از x و y بیشینه شوند. اما اگر x و y به یکدیگر وابسته باشند، نمیتوان چنین گفت، و شاید امکان نداشته باشد هر دو همزمان بیشینه شوند.نقل قول:
منظور شما از "بزرگترین ضلع از نظر مختصه اول" چیست؟نقل قول:
درست می فرمایید.شاید باید از کلمه ی ممکن استفاده می کردم.درهر حال منظور از «بزرگترین مقدار خود» ، مقداری است که بیش تر از آن ممکن نباشد . طبیعتا برای رسم ضلع اول محدودیتی نداریم اما برای رسم اضلاع دیگر قاعدتا عدم استقلال ، محدودیتی ایجاد می کند . این محدودیت در جواب کلی مساله تاثیر گذار نیست و صرفا بزرگترین مقدار ممکن مد نظر است.نقل قول:
ما باید محور های مختصات را طوری قرار دهیم که بزرگترین ضلع قابل رسم درون مثلث T1 ، دقیقا همان ضلعی باشد که بیشترین مختصه ی اول را دارد. یعنی اگر مبدا مختصات را طوری انتخاب کردیم که بزرگترین پاره خط درون مثلث ، دارای بزرگترین مختصه ی اول نبود ، فورا مبدا را روی یکی از دو راس دیگر تنظیم می کنیم تا بالاخره این شرط برقرار شود.به صورت خیلی ساده تر محور x ها را منطبق بر بزرگترین ضلع می گیریم ولی چون به کار بردن وسیله ی اندازه گیری شاید قابلیت استدلال نداشته باشد از عبارت «منطبق بر بزرگترین ضلع» پرهیز کردم.
به این اشکال توجه کنید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اما برای رسم ضلع دوم ، محدودیت این است که این ضلع حتما باید از یکی از دو سر ضلعی که در مرحله ی 1 رسم کردیم ، رسم شود. توجه کنید که مجموع دو ضلع دوم و سوم زمانی حد اکثر می شود که دقیقا چسبیده به اضلاع مثلث T1 باشند.(بنا به قضیه ی *)
قضیه ی *
شرط : اگر نقطه ی K درون مثلث ABC باشد.
حکم : BK+KC<AB+AC
موارد استفاده :
با استفاده از این قضیه می توان اثبات کرد:
الف : که مجموع دو ضلع مثلث T2 درصورتی بیشینه است که بی نهایت به دو ضلع مثلث T1 نزدیک باشد.
ب : در هر صورت مجموع دو ضلع مثلث درونی کوچک تر از مجموع دو ضلع مثلث بیرونی است.
توضیحات : چنین قضیه ای در هندسه به چشم من نخورده است.برای همین ممکن است این قضیه قبلا مطرح و یا حتی اثبات شده باشد.در هر حال من در این مساله نیازمند طرح این قضیه بودم.اگر جایی مطرح شده یا اثبات دیگری یا مشابه دارد ، این اثبات را هم به آن ها اضافه کنید اگر که نه ، گویا باید به نام من شود (!):20:
شکل :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
متن اثبات قضیه :
ازنقطه ی A خطی عمود بر ضلع BC رسم می کنیم . نقطه ی D را طوری انتخاب می کنیم که اولا D روی AH قرار گیرد و ثانیا :
رابطه ی 1 : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
توجه داریم که :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
لذا خواهیم داشت :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
به طور مشابه می توان اثبات کرد :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با جمع زدن طرفین دو نامساوی بالا داریم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با توجه به شرط (رابطه ی 1) و چایگذاری در سمت راست عبارت خط قبل حکم ثابت می شود :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همانطور که دیدیم در این قضیه ، ضلع اول هر دو مثلث را منطبق گرفتیم . بنابراین اگر حکم برای حالت انطباق درست باشد ، برای حالتی که ضلع مثلث درونی فاصله ای ناچیز از بیرونی دارد نیز صادق خواهد بود و مجموع سه ضلع T2 حتی کوچکتر از مقدار به دست آمده در قضیه خواهد شد. (قیاس اولویت)
ضمنا استفاده از قضیه ی فیثاغورس فقط در حالت خاصّ وجود زوایه ی قائمه قابل استدلال است و مطرح کردن این قضیه در این مساله در حالت کلی چندان منطقی به نظر نمی رسد.
پ.ن : اثبات قضیه ی بالا با استفاده از قضایای دیگر هم امکان پذیر است مثل «ضلع رو به رو به زاویه ی بزرگتر ، بزرگتر از ضلع رو به رو به زاویه ی کوچکتر است» منتهی اثبات کوچکتر یا بزرگتر بودن زاویه ، کار را دشوار می کند
ممنون از توجه شما
سلام
میدونیم که حجم قطاعی از یک کره ( برش وتری ) رو از فرمول [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست میارن . که R شعاع کره و h ارتفاع قطاع هستش . ( البته اگه درست خاطرم باشه )
کنجکاو شدم ببینم که آیا اثباتی برای این فرمول وجود داره ؟ ( حتما وجود داره [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] )
اگر از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] استفاده کنید، میتوانید ببینید که حجم مورد نظر برابر با انتگرال زیر است:
که پس از محاسبه و ساده سازی، به همان عبارت شما میرسد.
Kesel گرامی،
از آنجا که پرسش، اثبات یک گزاره نسبتاً بدیهی را میخواهد، انتظار داریم گزاره ای نابدیهی تر از آن، برای اثبات بکار گرفته نشود. این درست است که اگر طول بزرگترین ضلع T1 برابر m باشد، امکان ندارد که هیچ کدام از اضلاع T2 بزرگتر از m باشند، اما در جای خود، نیاز به اثبات دارد. آن قضیه ای هم که بیان کردید، در صورتی قابل استفاده است که ابتدا نشان دهید حتماً یکی از اصلاع T2 باید منطبق بر یک ضلع T1 باشد. در ضمن این را اضافه کنم که، اگر چه در صورت سوال بطور روشن اشاره نشده، اما اضلاع و رئوس مثلث T2 میتوانند روی اضلاع مثلث T1 باشند.
البته ما در اینجا به دنبال ساده ترین اثباتها هستیم، اما اثبات شما با اضافه کردن چند گام میانی، به نظر من درست است. من نیز چند اثبات در نظر داشتم، که شاید در فرصتی دیگر آنها را بنویسم.
-------------------------------
پرسشی که مطرح شد، در واقع پیش درآمدی بود برای پرسش زیر:
چهاروجهی T2 درون چهاروجهی T1 جای دارد. آیا امکان دارد که مجموع طول شش یال T2 بزرگتر از مجموع طول شش یال T1 باشد؟ درستی پاسخ خود را نشان دهید.
منبع: اضافه خواهد شد.
متشکرم
اگر امکان داره قبل از حل و رفع پرسش چهار وجهی ، مساله ی مثلث رو به طور کامل پاسخ دهید چون اولا پیش درآمدی بر این پرسش دوم هست و ثانیا مفاهیمی مثل "بدیهی تر" یا "نابدیهی تر" متر و مقیاس دقیقی ندارند.اگر اثبات دیگه ای هست من خوشحال می شم بدونمش. این مساله رو جنابعالی توی هوپا هم مطرح فرمودید منتهی باز هم جوابی پذیرفته نشده واسه همین خیلی مشتاقم راه اثباتش رو بدونم.یا اگر فکر می کنید می شه بین گام های راه حل من گام دیگه ای گذاشت باز هم خوشحال می شم بدونمش.
با تشکر
لطفا حذف شود
من بیشتر رفتم روی این مساله فکر کردم و یه اثبات دیگه براش نوشتم . اولش یه نقص هایی داشت که الان فرصت کردم برطرفشون کردم . به نظرم این راه حل اصلا قسمت مبهمی نداشته باشه.
خوشحال می شم نظرتون رو بدونم .
مطابق شکل یک دایره درون هر مثلث محاط می کنیم.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
چون هر دایره درون مثلث محاط شده است بنابراین مساحت هر دایره کوچک تر از مساحت مثلث محیط خود است (طبق تعریف محاط بودن) :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با تقسیم طرفین دو عبارت بالا خواهیم داشت:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همچنین می دانیم مساحت هر یک از مثلث های T1 ویا T2 برابر با مجموع مساحت های سه مثلث به وجود آمده در شکل است :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اکنون به بیان و اثبات قضیه ی زیر می پردازیم :
قضیه : اگر مثلث T2 درون مثلث T1 باشد ، آنگاه محیط T1 بزرگتر از محیط T2 خواهد بود.
اثبات :
برهان خلف : فرض می کنیم که محیط T1 کوچک تر یا مساوی محیط T2 است :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با توجه به روابط سبز رنگ نتیجه می گیریم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اما در صورت قضیه فرض شده که مثلث T2 درون مثلث T1 است ، یعنی مساحت T1 بزرگتر از مساحت T2 می باشد :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بنا به دومین رابطه ی سبز داریم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که این مغیر با نتیجه ی به دست آمده ای است که در بالا با رنگ قرمز مشخص شده است ، لذا در مسیر اثبات نقیض حکم به تناقض منطقی برخورد کردیم ؛ بنابراین نقیض حکم باطل و حکم اثبات می شود.
ظا هرا شما در ابتداي اثبات ، از اين استفاده مي كني كه هر پاره خطي داخل مثلث از بزرگترين ضلع مثلث كوچكتر است. بعد ميخواي از قضيه اي كه مطرح كردي نتيجه بگيري كه كه مجموع دو پاره خط ديگه هم از دو ضلع ديگه مثلث كو چكتره .كه البته اين قسمت به نظر من ابهام داره ، حتي جمله " دقيقا چسبيده به اضلاع مثلث باشن " معناي رياضيش مشخص نيست .نقل قول:
و البته مشخص نيست كه بايد چسبيده به كدام دو ضلع باشن! اگه چسبيده به ضلع بزرگتر و يه ضلعه ديگه باشن مشكل ايجاد ميشه در ادامه راه حل.
البته اثبات قضيه تون هم درست نيست ، چون وجود نقطه D با خواصي كه شما مد نظرتون هست بديهي نيست . و اصلا يه جورايي معادل حكم قضيه است !( البته اثبات وجود نقطه D از خود قضيه سخت تره به نظره من)
البته قضيه با ايده اي مشا به ايده شما قابل حله ، و بعد هم با همين قضيه ميشه مساله رو حل كرد.
يه نكته ساده كه ميتونه مفيد باشه ، اينه كه در يك مثلث ضلع رو برو به زاويه منفرجه بزرگترين ضلع هست.
راستي بابت قضيه اي هم كه كشف كردين تبريك ، به هر حال چه جديد باشه چه نباشه ( كه نيست) ، به نام شما هم مي شود!
در مورد اين راه حل اخرتونم ، همون اولش دو تا نامساوي همجهت رو به هم تقسيم كردين ! كه مشكل داره اين كار!
به نظر من روند اولتون كه سعي ميكردين چيزايي كه درك و شهودتون بهتون ميگه رو به زبون رياضي بنويسين ، بهتر از اينه كه بخواين با بازي با فرمولها مساله رو حل كنين.
احتمالا شما هم حس مي كني كه اين مساله خيلي سادست و حكمش اصلان قوي نيست! ولي مشكل اينه كه خيلي هم وحشيه! يعني يه مثلث دلخواه كه داخل مثلث ديگه محاطه شايد يه جورايي ارتباط كمي با مثلث اصلي داره ، پيشنهاد من اينه كه سعي كنيد با دنباله اي از تغييرات كه محيط مثلث رو كم نميكنن ، اين مثلث وحشي دروني رو به يك مثلث اهلي تر تبديل كنيد! كه ارتباطات بهتري با مثلث بيروني داره.
دوست من ای کاش نقد راه حل قبلی رو یک ماه پیش می نوشتید تا من همونجا ازش استفاده می کردم.نمی تونم درک کنم چی باعث شده بعد از یک ماه پاسخ بدید . در هر حال ممنون
چرا پس حلش نمی کنید ؟ من اینو توی پست قبلی ازتون درخواست کردمنقل قول:
البته قضيه با ايده اي مشا به ايده شما قابل حله ، و بعد هم با همين قضيه ميشه مساله رو حل كرد.
اصلا منطورتون رو متوجه نمی شم . من وقتی دارم بین صحبت هام شوخی می کنم شما باید مسخره کنید ؟ نمی تونستید فقط جایی که این قضیه اثبات شده رو ذکر کنید ؟ هیچ معنایی غیر از تمسخر از این جملتون نمی بینمنقل قول:
راستي بابت قضيه اي هم كه كشف كردين تبريك ، به هر حال چه جديد باشه چه نباشه ( كه نيست) ، به نام شما هم مي شود!
دقیقا ! این چیزیه که به عنوان کمک از شما قبول می کنم . کاملا به جا اشاره فرمودید و راهکار من اشتباه هست (اگر ماه بعد کسی این رو تکرار نکنه)نقل قول:
در مورد اين راه حل اخرتونم ، همون اولش دو تا نامساوي همجهت رو به هم تقسيم كردين ! كه مشكل داره اين كار!
شما اگه می تونید اونو ادامه بدید من خوشحال می شم . من حدود یک ماهه که دارم روش فکر می کنم و به این نتیجه رسیدم که بهترین راه برهان خلفه چون به قول شما مثلث T2 خیلی وحشیه . البته نمی گم راه دیگه ای نیست . چرا هست ولی لطفا ارائش کنید .نقل قول:
به نظر من روند اولتون كه سعي ميكردين چيزايي كه درك و شهودتون بهتون ميگه رو به زبون رياضي بنويسين ، بهتر از اينه كه بخواين با بازي با فرمولها مساله رو حل كنين.
نه اصلا هم فکر نمی کنم ساده هست . کسی که ده دقیقه با این مساله کار کنه متوجه می شه که ساده نیست چه برسه به من که نصف یه دفتر 200 برگ رو به خاطر همین یک مساله سیاه کردم.نقل قول:
احتمالا شما هم حس مي كني كه اين مساله خيلي سادست و حكمش اصلان قوي نيست!
می شه بیشتر توضیح بدید؟نقل قول:
پيشنهاد من اينه كه سعي كنيد با دنباله اي از تغييرات كه محيط مثلث رو كم نميكنن ، اين مثلث وحشي دروني رو به يك مثلث اهلي تر تبديل كنيد!
با تشکر
راستش من نقد راه حل قبليرو همون يك ماه پيش كامل تايپ كرده بودم ، ولي ارسال نشد ، و بعدش هم فراموش كردم كه ارسالش كنم!
دوست عزيز ، من تمسخر نكردم! واقعا تبريك گفتم! همونطوري كه وقتي خودم چيز جديديرو مي فهمم به خودم تبريك ميگم!من واقعا هدفم تحسين روند فكري شما بود فقط!نه چيز ديگه اي.
براي اثبات قضيه تون كافي است عمودي از K بر BC رسم كنيد ، و محل برخورد امتداد اين عمود با AC را D بناميد ، حال با توجه به منفرجه بودن زواياي BKD و CKD و يا همانطور كه خودتان مشابها ثابت كرديد مي دانيم كه
BK+CK < BD + CD
حال با توجه به نامساوي مثلث ، داريم :
BD < BA + DA
كه با جمع زدن اين دو نامساوي حكم قضيه نتيجه ميشه .
دقت كنيد كه در اين راه حل هم ما با دنباله اي از تغييرات مثلث KBC رو اهلي تر كرديم!
حالا برگرديم به مساله اصلي :
اول اينكه منظور من از سادگي اين بود لحظه اولي كه اين سوالو ميبينيم فكر مي كنيم حكمش چيز واضحييه و ما حس مي كنيم كه مساله سادست .
مشابه ايده اثبات قضيه عمل مي كنيم!
هرچند ظاهرا در مورد مثلثهاي محاط در يك مثلث ، اونايي كه راسهاشون روي اضلاع مثلث بيروني هست ميتونن محيطهاي بيشتري داشته باشن ، اما مساله در مورداينها ساده تره ، چون اينا مثلثهايي اهلي ترن!
در مورد مثلثهايي كه راسهاشون روي ضلعهاي مثلث اصلي هست ، كافيه سه بار نامساوي مثلث نوشته و با هم جمع كنيم تا حكم ثابت شه.
در مورد يك مثلث دلخواه داخل مثلث بيروني ، هدف اينه كه سعي كنيم با يه تغييراتي كه محيطو كم نمي كنن راس هاشو بندازيم روي اضلاع ( مثل كاري كه در مورد قضيه كرديم!)
مثلث داخلي رو xyz مي ناميم ارتفاع xh رو رسم كنيد تا امتدادش از طرف x محيط مثلث در نقطه q قطع كنه ، حال طبق قضيه ( البته اگه xyz زواياش حاده باشه) qyz محيطش بيشتر از xyz است و با ادامه روند مي توان همه راسها رو روي ضلعها انداخت!
در حالتي هم كه بعضي از مثلثهاي اين روند زاويه منفرجه داشته باشن به سادگي قابل اصلاحه.
البته از همون اول هم ميشه يه جوري مثلث داخلي xyz رو به مثلث بيروني به طور خوبي ربط داد، كافيه ضلع xy رو از طرف y و ضلع yz رو از طرف z و ضلع zx رو از طرف x امتداد بديم تا اضلاع مثلث ABC رو قطع كنن ، حالا با نوشتن چند تا نامساوي مناسب !و جمع كردن اونها ميشه حكمو نتيجه گرفت!
بسیار هوشمندانه بود ! به نظر خودم تنها نقطه ی تاریک اثبات قضیه ی * اثبات وجود نقطه ی D بود که به قول شما اثباتش به دشواری اثبات خود حکم هست . ایده ی استفاده از قضیه ی حمار برای اثبات قضیه ی * خیلی محدودیت ها رو به نظرم کنار می گذاره .
راه حلی که شما فرمودید استفاده ی چندین و چند باره از این قضیه ی * هست که جالب بود و تونسته بودید مثلث T2 رو اهلی کنید.
یعنی هر سه راس مثلث T2 رو انداختید روی اضلاع T1 .
حالا که از نامساوی مثلثی برای اثبات قضیه ی * استفاده کردید راه زیر به نظرم ساده تر از چند بار استفاده کردن از قضیه ی * و در نهایت استفاده ی مجدد از قضیه ی حمار هست و این که برهان خلف هم داره آخرش (برهان مورد علاقه ی من!) :
می دونیم که هم دوران و هم انتقال ایزومتری هستند . یعنی فاصله ی نقاط رو تغییر نمی دن و در نتیجه محیط تغییری نمی کنه . یکی از رئوس غیر منفرجه ی مثلث T2 رو انتقال می دیم روی یکی از اضلاع T1 (مهم نیست کدوم ضلع). حالا حول همون راس ، مثلث T2 رو دوران می دیم تا ضلع رو به رو به زاویه ی منفرجه یا قائمه (اگر زاویه ی منفرجه یا قائمه داشتیم در غیر این صورت ضلع رو به رو به هر زاویه ای) ، منطبق بر ضلع مثلث T1 بشه . و به شکل زیر از از قضیه ی * برای اثبات حکم استفاده می کنیم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مثلث ABC همان مثلث T1 است و DEF همان دوران و انتقال یافته ی مثلث T2 .
خط HJ عمود بر ضلع BC و قطع کننده ی ضلع AC در نقطه ی J است. نقطه ی J را به دو نقطه B و C وصل می کنیم (B و C نقاط ابتدا و انتهای ضلعی هستند که در قسمتی از این ضلع مثلث ها با هم مشترکند)
با استفاده از قضیه ی * داریم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قبلا شرط کردم که زوایای D و F حق منفرجه یا قائمه بودن را ندارند در غیر این صورت دوران داده می شدند تا جای نقطه ی کنونی E رو پر کنند .
زوایای BDJ و CFJ منفرجه هستند .(چون EFH و HDE حاده هستند (چون ارتفاع EH درون مثلث است)) بنابراین : (در هر مثلث ضلع رو به رو به زاویه ی منفرجه بزرگترین ضلع است)
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با جمع زدن دو نامساوی بالا داریم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
که بنا بر قضیه ی * نتیجه می شود :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با با جمع زدن دو نامساوی سبز رنگ بالا ثابت می شود :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حال این نامساوی را با نامساوی قرمز رنگ بالا جمع می زنیم تا به دست بیاید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حالا با توجه به عبارت بالا اگر قرار باشد محیط مثلث T2 بزرگتر از محیط مثلث T1 باشد ، ایجاب می کند که ضلع DF بزرگتر از ضلع BC باشد (به سادگی می توان نشان داد) که این با فرض در تناقض است . ما فرض کردیم مثلث T2 درون مثلث T1 باشد که موجب این است که هیچ یک از اضلاع T2 از T1 خارج نشود .
این قسمت رو متوجه نشدم.یعنی می گید محل برخورد رئوس T2 و اضلاع T1 رو به هم وصل کنیم ؟ از کجا معلوم محیط این مثلث جدید بیشتر از T2 باشه؟ نامساوی مثلث رو برای چه چیزی می نویسید ؟نقل قول:
البته از همون اول هم ميشه يه جوري مثلث داخلي xyz رو به مثلث بيروني به طور خوبي ربط داد، كافيه ضلع xy رو از طرف y و ضلع yz رو از طرف z و ضلع zx رو از طرف x امتداد بديم تا اضلاع مثلث ABC رو قطع كنن ، حالا با نوشتن چند تا نامساوي مناسب !و جمع كردن اونها ميشه حكمو نتيجه گرفت!
انتقال و دوران ایده جالبیه ، فقط باید بگین که چرا میشه با انتقال و دوران طوری دو راس مثلث داخلی رو روی یک ضلع مثلث بیرونی انداخت که " تمام مثلث داخلی" همچنان داخل مثلث بیرو نی باقی بمونه!
در مورد اون راه حل دیگه هم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر داخل هم نیفته باز هم مشکلی ایجاد نمی کنه :نقل قول:
فرض می کنیم در هیچ صورتی ممکن نباشد که با دوران و انتقال ، مثلث T2 کاملا درون T1 قرار گیرد لذا ایجاب می کند :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
چون مثلث T2 درون T1 واقع شده ، لذا مساحت کمتری دارد :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با جمع زدن سه نامساوی سبز حکم اثبات می شه و دیگه نیازی هم به قضیه * و حمار نخواهد بود.
ضمنا این راه حلی که توضیح دادید هم کوتاهه هم خیلی شیرینه.به نظرم از این راه حل شما ساده تر نداشته باشه این مساله.
با تشکر
اين قسمت استدلال كامل نيست ، دقيقا چرا ايجاب مي كنه؟نقل قول:
دقت كنيد كه براي اينكه بتوانيم مثلث داخلي رو به شكلي كه شما مد نظرتونه در بياريم ، مشكل فقط بزرگ بودن انداز ارتفاع مثلث داخلي نيست!
واضحه . شما اگر محور طول ها رو روی ضلع CB در نظر بگیرید ، برای این که مثلث T2 بیرون از T1 باشه لازمه که نقطه ای در مثلث T2 وجود داشته باشه که عرض بیشتری از عریض ترین نقطه ی T1 داشته باشه. ضمن این که توجه کنید که هر سه ارتفاع T2 باید بزرگتر از هر سه ارتفاع T1 باشد . در صورتی که فقط دو ارتفاع یا فقط یک ارتفاع بلند تر داشته باشیم با دوران می تونیم T2 رو درون T1 جا بدیم (چون یک یا دو ارتفاعش کوچک تر از T1 خواهد شد)نقل قول:
چه مشکل دیگه ای می تونه وجود داشته باشه ؟نقل قول:
دقت كنيد كه براي اينكه بتوانيم مثلث داخلي رو به شكلي كه شما مد نظرتونه در بياريم ، مشكل فقط بزرگ بودن انداز ارتفاع مثلث داخلي نيست!
واضح نيست ! باز هم اثباتي از ادعاتون ارايه نكردين!خطرناكترين كلمه رياضيات " واضح " هست!
البته از نظر شهودي هم حرفتون واضح نيست ، ممكنه نقاطي از مثلث داخلي بدون اينكه ارتفاع بيشتري از ارتفاع مثلث بيروني داشته باشن ، خارج از مثلث بيروني قرار بگيرن ، بخصوص وقتي قاعده مثلث داخلي خيلي جاي مانور نداشته باشه و یکی از زوایای قاعده مثلث داخلی از زاویه نظیرش (؟) در مثلث بیرونی بزرگتر باشه!
البته اينارو من براي شهود ميگم و حتي حل اين مشكلات به منزله اثبات نيست!به نظر من بايد يكم دقيقتر فكر و صحبت كنيد، يعني يكم به زبون رياضي!
بررسي حالتهاي ممكنه از نظر خودمون ، و بدترين حالتها از نظر خودمون ، و ديدن درستي حكم در مورد اون حالتها ، براي ايده و شهود گرفتن خیلی خوبه ، اما اثبات نيست.
خب نه من فک کنم منظورم رو بد رسوندم یا در واقع واضح نرسوندم.
ببینید من متوجهم شما چی می فرمایید ، منظورتون همچین چیزی هست دیگه :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
الان اگر از F بر BC عمود کنیم ، کوچکتر می شه از این که از A به BC عمود کنیم در حالی که قسمتی از T2 خارج از T1 هست .
من این رو فک می کنم اشاره کردم شاید واضح نگفتم که اگه به همچین شکلی برخوردیم ، این رو می تونیم با دوران دادن ، درون مثلث T1 بندازیم . چرا ؟ چون الان همون چیزی پیش اومده که من اول اثباتم با شرط هایی که گذاشتم رامش کردم :
ببینید یعنی اون زاویه ی DEF طبق شرطی که گذاشتم حق نداره منفرجه باشه . به محض این که منفرجه شد دورانش می دیم تا راس منفرجه روی BC نیفتهنقل قول:
می دونیم که هم دوران و هم انتقال ایزومتری هستند . یعنی فاصله ی نقاط رو تغییر نمی دن و در نتیجه محیط تغییری نمی کنه . یکی از رئوس غیر منفرجه ی مثلث T2 رو انتقال می دیم روی یکی از اضلاع T1 (مهم نیست کدوم ضلع). حالا حول همون راس ، مثلث T2 رو دوران می دیم تا ضلع رو به رو به زاویه ی منفرجه یا قائمه (اگر زاویه ی منفرجه یا قائمه داشتیم در غیر این صورت ضلع رو به رو به هر زاویه ای) ، منطبق بر ضلع مثلث T1 بشه
بنابراین این قسمت رو با شرطی که گذاشته بودم کاملا می شه برطرف کرد
حالا اگه منفرجه نبود شکلی غیر از شکل زیر نخواهیم داشت :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این رو هم من پیش بینی کرده بودم . این بار نیاز به انجام عمل انتقال داریم .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فقط دو حالت وجود داره که مثلث T2 ارتفاعی کوچک تر از ارتفاع T1 داشته باشه ، ولی کل T2 درون T1 نباشه . اولین حالت رو می شه با دوران و دومی رو هم با انتقالمی شه استاندارد کرد.
حالتی که هر سه ارتفاع T2 بزرگتر از T1 است در حالی که T2 درون T1 باشد ، محال است ولی من نیازی به اثبات محال بودنش ندارم چون بر فرض محال ، همونطوری که توی پست قبل اشاره کردم ، خدشه ای به حکم وارد نمی کنه.
بنابراین اگر شما ضلع BC رو محور x ها در نظر بگیرید فقط در صورتی مثلث T2 بیرون قرار خواهد گرفت که نقطه ای روی آن ، عرض بیشتری نسبت به بالاترین نقطه ی T1 داشته باشد. در غیر این صورت می شه با شروطی که گذاشتم مرتفعشون کرد .
حرف من رو از لحاظ شهودی قبول دارید ؟ اگر قبول دارید من حاضرم از لحاظ ریاضی هم روش فکر کنم که با فرمول این بحث رو ثابت کنم
ممنون
با توجه به ادامه استدلالتون ، شما مجاز به استفاده از شرطهایی که برای رام کردن گذاشتین ، نیستین!یعنی اینکه شما می خواین استدلالتدنو برای هر سه ارتفاع تعمیم بدین ، و بگین که هر ارتفاع مثلث داخلی "متناظرا" از یک ارتفاع مثلث بیرونی بزرگتره.(و اینجا هم باید بیشتر دقت کنید!حتی اینکه ثابت کنید همه ارتفاعهای مثلث داخلی از "یک" ارتفاع مثلث بیرونی بزرگتره ، کافی نیست!) پس مثلا الان استدلالتون ارتفاع خارج شده از F رو پوشش نمیده.نقل قول:
لطفا کمی با دقت بیشتر ادامه بدین!مشکل همون چیزیه که اول گفتم ، این ایجاب کردن واضح نیست ، و اثباتی هم براش ارایه نکردین!
نقل قول:
حالا اگه منفرجه نبود شکلی غیر از شکل زیر نخواهیم داشت :
این رو هم من پیش بینی کرده بودم . این بار نیاز به انجام عمل انتقال داریم .
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فقط دو حالت وجود داره که مثلث T2 ارتفاعی کوچک تر از ارتفاع T1 داشته باشه ، ولی کل T2 درون T1 نباشه . اولین حالت رو می شه با دوران و دومی رو هم با انتقالمی شه استاندارد کرد.
حالتی که هر سه ارتفاع T2 بزرگتر از T1 است در حالی که T2 درون T1 باشد ، محال است ولی من نیازی به اثبات محال بودنش ندارم چون بر فرض محال ، همونطوری که توی پست قبل اشاره کردم ، خدشه ای به حکم وارد نمی کنه.
بنابراین اگر شما ضلع BC رو محور x ها در نظر بگیرید فقط در صورتی مثلث T2 بیرون قرار خواهد گرفت که نقطه ای روی آن ، عرض بیشتری نسبت به بالاترین نقطه ی T1 داشته باشد. در غیر این صورت می شه با شروطی که گذاشتم مرتفعشون کرد .
حرف من رو از لحاظ شهودی قبول دارید ؟ اگر قبول دارید من حاضرم از لحاظ ریاضی هم روش فکر کنم که با فرمول این بحث رو ثابت کنم
ممنون
مثالتون خیلی خاصه ، لزومی نداره راسها بر هم منطبق باشن.و البته:
نقل قول:
بخصوص وقتي قاعده مثلث داخلي خيلي جاي مانور نداشته باشه و یکی از زوایای قاعده مثلث داخلی از زاویه نظیرش (؟) در مثلث بیرونی بزرگتر باشه!
شکلهایی که شما رسم کردین فقط ویژگی دوم از این دو ویژگی خاصو داره ، حالا اگه قاعده مثلث داخلی جای مانور نداشته باشه ، یعنی بزرگ باشه ،(تقریبا هم اندازه ضلع نظیرش در مثلث بیرونی!) دیگه اصلا واضح نیست که میشه با انتقال مشکل حل کرد.(البته شما هم اثباتی یا شهودی! از اینکه میشه با انتقال مشکلو حل کرد ارایه نکردین.)
باز هم میگم ، به نظر من باید دقیقتر فکر کنید ، و سعی کنید چیزهایی که به نظرتون درسته رو اثبات کنید...
نه ، من از نظر شهودی هم قبول ندارم حرفتونو .
این مساله که ایا میشه واقعا یک مثلث داخل مثلث دیگرو با انتقال و دوران یک ضلعشو انداخت روی مثلث بیرونی مساله جالبیه.البته مساله ای که شما برای تکمیل راه حلتون نیاز دارید دقیقا این نیست!فقط اگه بتونین مثلثی همنهشت با مثلث داخلی رو جایی که مد نظرتون هست رسم کنید ، حله!
و البته راه حلی هم براش ندارم.به نظرم خیلی ساده نباشه!
اگر فقط هدفتون این باشه که دو راس مثلث داخلی بیافتن روی اضلاع مثلث بیرونی (نه لزوما روی یک ضلع ) کاره سختی نیست ، ولی ادامه راه حل هم عوض میشه یکم!
من فکر می کنم منظورم رو کامل متوجه نشدید . ولی خب باز هم مهم نیست چون شما به چیزی اشاره کردید که دیگه به نظرم لازم نیست استدلالم رو توضیح بدم :
بله این مساله رو تصور کرده بودم منتهی تصویر سازی ذهنیم اشتباه بود ، در این حالتی که گفتید بی نهایت مثلث قابل رسمن که صحبت من رو نقض می کنن ، یعنی مشکلشون با انتقال و دوران حل نمی شه .نقل قول:
شکلهایی که شما رسم کردین فقط ویژگی دوم از این دو ویژگی خاصو داره ، حالا اگه قاعده مثلث داخلی جای مانور نداشته باشه ، یعنی بزرگ باشه ،(تقریبا هم اندازه ضلع نظیرش در مثلث بیرونی!)
بنابراین استدلال من کامل نیست و غیر قابل ارائه هست مگر این که کامل بشه (که حتما متوجه شدید چه قدر دشوار هست سروکله زدن با مثلثی که حتی با این همه شرط باز هم رام نمی شه)
در هر حال هر دو راه حل شما به نظر من درست هستند و راحت و قابل فهم
ممنون
سلام هركي ميتونه لطف كنه اثبات كنه :
بين مثلث هايي با محيط برابر مثلث متساوي الاضلاع بيشترين مساحت را دارد
تورو خدا زودتر جواب بدين لازم دارم
مرسي از سايت باحال بروبچ باحالترش
سلام دوستان من سوالی واسم پیش اومده رشته من ریاضی نیست اگر دوستان می تونن کمک کنن ممنون می شم.
سوال
مختصات راس مخروط = (x1, y1, h1)
زاویه مخروط = alpha
ارتفاع مخروط = H
شعاع مخروط = R
مختصات یک نقطه درون مخروط = P1 (x2, y2, h2)
مختصات یک نقطه بیرون از مخروط = P2( x3, y3, h3)
من فرمولی می خوام که از روی اون تشخیص بدم که ایا یک نقطه با مختصات داده شده در داخل مخروط است یا خیر
مثلا فرمول برای نقطه P1 باید تشخیص بده داخله مخروطه اما نقطه دیگه بگه داخل مخروط نیست
ممنونم از توجه شما
سلامنقل قول:
اثبات ساده ای بر پایه ی قضایای « هرون » و « نابرابری میانگین حسابی-هندسی » داره :
اثبات :
بنابر قضیه ی هرون داریم : (توجه کنید که S مساحت مثلث و P نصف محیط مثلث است)
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
چون P عددی ثابت است لذا برای حداکثر کردن مساحت باید سمت راست تساوی زیر حداکثر شود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بنا به قضیه ی نابرابری میانگین حسابی-هندسی داریم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و باز هم بنا به قضیه ی نابرابری میانگین حسابی-هندسی می دانیم که تساوی فقط در صورتی اتفاق خواهد افتاد که :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
لذا از تمام مثلث هایی با محیط برابر ، این مثلث متساوی الاضلاع است که بیشترین مساحت را دارد.
فرمول هرون :
نابرابری میانگین حسابی-هندسی :
من منظورتون رو از داخل مخروط متوجه نمی شم ... داخل یک رویه ی درجه ی دوم چه معنایی داره ؟نقل قول:
در هر حال برای این که ببینیم نقطه ای با طول و عرض و ارتفاع x , y , z جزو مخروط هست یا نه باید این نقطه رو در معادله ی مخروط بزارید . اگر صدق کرد این نقطه جزئی از مخروطه در غیر این صورت نیست
عالي بود واقعا ممنون
من واقعا از KESEL ممنونم چون واقغا احتياج داشتم به جوابش
سلامنقل قول:
ميخواستم بپرسم از راه بهينه سازي هم حل ميشه ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
اگه بشه واقعا عاليه
از همه علاقمندان ممنوووونم
سلام دوستان
2 تا سوال فوری داشتم از هندسه هیلبرت !
1-CAB> و نقطه D واقع بر BC مفروض اند.انگاه D در درون CAB> واقع است،اگر و فقط اگر B*D*C (* به معنای میان است،از اصطلاحات تعریف نشده.)
2-قضیه قطعه بر : هرگاه AD بین AC و AB واقع باشد انگا AD پاره خط BC را می برد.
ایا کسی میتونه با استفاده از بنداشتهای هیلبرت 1 گزاره و یک قضیه را ثابت کند؟ !
ممنون دوستان
سلامنقل قول:
جواب هر دو سوالتون و سوالات مشابه رو در پی دی اف زیر جستجو کنید :
بیان قضیه و اثبات سوال اولتون تحت عنوان Lemma 3.6 و بیان و اثبات سوال دومتون تحت عنوان Theorem 3.10 در این پی دی اف مطرح شدهکد:http://www.math.northwestern.edu/~richter/hilbert.pdf
موفق باشید
نقل قول:
دوست عزیز یک دنیا ممنون.
يه سوال
ثابت كنيد اگر در مثلثي دو ميانه با هم برابر باشند آن مثلث متساوي الساقين است.
البته که این قضیه دو شرطی هست.نقل قول:
اثبات :
مثلث زیر را در نظر بگیرید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بنا به فرض CD=BE . پاره خط FB را هم اندازه ی ED در امتداد BC رسم می کنیم .
نقطه ی D را به F وصل می کنیم . لذا DEBF متوازی الاضلاع است . ( بنا بر یک قضیه ، خط واصل نقاط میانی دو ضلع ، با ضلع سوم موازی است )
طبق قضیه ی خطوط موازی و مورب ، زاویه ی F و B1 که با a نشان داده شده اند با هم برابرند.
اضلاع رو به رو در متوازی الاضلاع با هم برابرند لذا : FD=BE که طبق فرض : BE=CD بنابراین خواهیم داشت : FD=DC که نشان دهنده ی متساوی الساقین بودن مثلث FDC است پس : C1=a
BC مشترک
B1=C1
BE=DC
لذا دو مثلث BEC و CDB به حالت دو ضلع و زاویه ی بین همنهشتند . نتیجه ی زیر از همنهشتی دو مثلث به دست می آید :
B=C (زوایای B و C مساوی هستند)
که عبارت بالا حکم را مستقیما اثبات می کند