حل مساله هفته اول- پست 57
نقل قول:
نوشته شده توسط mofidy1
با سلام خدمت دوستان اتاق ریاضیات
خدا را شکر. احساس می کنم که این اتاق کم کم در حال تبدیل شدن به محلی با نشاط برای استفاده قشر وسیعی از دانش آموزان و دانشجویان است. در حدود 40 روزی که از افتتاح این اتاق می گذرد، به طور متوسط روزانه 35 بازدید از آن صورت گرفته است، با اینکه هنوز مطالب ارائه شده در آن خیلی زیاد نیست.
از امروز با اجازه شما بخش «مساله هفته » را آغاز می کنیم. شنبه ها مساله را طرح و جمعه ها حل کامل آن را ارائه خواهیم کرد. در طول هفته منتظر حل مساله از طرف بازدید کنندگان محترم خواهیم بود و روز جمعه، راه حلهای درست را مشخص می کنیم. توجه فرمایید که هدف، ارائه راه حلهای مختلف برای یک مساله است و فقط حل مساله هدف ما نیست.
از دوستان - به ویژه eh_mn و ali_hp - انتظار شرکت فعال در حل این مسائل داریم حتی اگر روشها متفاوت و طولانی باشد.
ذکر این نکته لازم است که «مساله خوب» مساله ای لزوما مشکل نیست. «مساله خوب» مساله ای است که حل آن به ایده های «زیبا» و «کلی» نیازمند باشد. بنابر این مساله های هفته، نه مشکل و نه آسانند. از طرف دیگر مسائل این بخش لزوما دبیرستانی نیستند، هر چند سعی خواهیم کرد که مسائل عمومی تر باشند.
مساله هفته اول:
فرض کنید:
ثابت کنید:
ارسال متن: 8 خرداد 1385
با سلام
طبق قراری که گذاشتیم به حل مساله هفته اول می پردازیم و فردا مساله هفته دوم را مطرح خواهیم کرد. از دوست خوبم آقای حسين پوران که در پست 58 مساله را به طور کامل حل کردند متشکرم. در اینجا مساله ای مطرح می کنم که تعمیم مساله هفته اول است و سپس آنرا حل می کنم.
مساله: قرار دهید
ثابت کنید:
حل مساله:
حال اگر به جای آلفا، 18 قرار دهید، x به دست آمده ، مساله هفته اول حل می شود.
موفق باشید.
ارسال متن: 12 خرداد 1385
حل مساله هفته دوم- پست 66
نقل قول:
نوشته شده توسط mofidy1
مساله این هفته را مطرح و انشاءالله جمعه راه حل آن را ارائه می کنیم. منتظر راه حلهای بازدید کنندگان محترم هستیم.
مساله: مثلث زیر را در نظر بگیرید. زوایای PBC و PCA و PAB همگی مساوی و برابر با 30 درجه اند. ثابت کنید این مثلث متساوی الاضلاع است. توجه کنید که هیچ اطلاعی درباره مکان نقطه P نداریم.
ارسال متن: 13 خرداد 1385
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
با تشکر از آقای حسين پوران که در پست 67 به حل مساله هفته دوم پرداختند. و اما می پردازیم به حل مساله که تقریباً شبیه راه حل آقای حسين پوران است. راه حلی که خدمتتان تقدیم میکنم متعلق است به دوست بسیار عزیزم آقای «حسین تیموری فعال» در مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان.
حل مساله:
به شکل زیر توجه کنید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فرض کنید
بنابر قضیه سینوسها در مثلث داریم:
لذا می توان نوشت:
به همین ترتیب می توان ثابت کرد که:
باضرب اینها درهم خواهیم داشت:
و بنابراین
درنتیجه:
حال فرض کنید
می توان دید که اگر x>0 آنگاه
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
لذا
که نتیجه می دهد:
بد نیست بدانیم که این مساله قابل تعمیم به چند ضلعی های محدب است. به طور مثال یک چهار ضلعی محدب را با نقطه ای در درون آن در نظر بگیرید. از این نقطه به چهار راس چهار ضلعی وصل کنید به گونه ای که همانند مساله بالا یک در میان زاویه های مساوی اما در اینجا 45 درجه ایجاد شود. در اینصورت این چهار ضلعی باید یک مربع باشد. این مطلب برای چند ضلعی های بالاتر نیز برقرار است. حالت کلی مساله را به طور ساده می توان به صورت زیر بیان کرد:
در داخل یک n-ضلعی محدب، نقطه P را در نظر بگیرید و آنرا به همه رئوس وصل کنید. یکی از n مثلث به وجود آمده و یکی از زوایای غیر هم راس با P را انتخاب کنید. این زاویه را آلفا بنامید. حال در جهت مثلثاتی حرکت کنید و همه زوایای مثلثهای دیگر را هم که از لحاظ مکانی مشابه با این زاویه هستند (به شکل زیر توجه کنید) آلفا بنامید. ثابت کنید اگر همه این زوایا با هم برابر باشند و داشته باشیم:
آنگاه این n-ضلعی، منتظم است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
البته حل این مساله چندان آسان نیست. اگر به راه حل خوبی از این مساله کلی تر دسترسی پیدا کردید، خوانندگان این اتاق را بی نصیب نگذارید. متشکریم.
ارسال متن: 19 خرداد 1385
