دوستانتان را با حل این تمرین ها متعجب کنید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
دوستانتان را با حل این تمرین ها متعجب کنید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
شگرد 26 : ضرب سریع دو عدد که تفاضلشان برابر 4 است
نقشه : در این جا شگرد دیگری مطرح می شود که با آن توانایی خود در مجذور کردن اعداد می آزمایید. ابتدا عددی را که دقیقاً وسط آن دو عدد است مجذور کنید. بعد از این حاصل ضرب ، 4 تا کم کنید تا جواب به دست آید به خاطر سپردن عددی که کم می شود ( 4 ) ساده است زیرا همان تفاضل دو عددی است که در هم ضرب می شوند. برای مشاهده ی طرز کار این شگرد جالب مثال ها را ببینید.
مثال ساده ی 1 : 12 × 8قدم 1 ) عدد وسط را مجذور کنید : 100 = [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]قدم 2 ) 4 تا کم کنید : ( جواب ) 96 = 4 – 100مثال ساده ی 2 : 9 × 13قدم 1 ) عدد وسط را مجذور کنید : 121 = [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]قدم 2 ) 4 تا کم کنید : ( جواب ) 117 = 4 – 121
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مثال فکری 1 : 2/2 × 1/8قدم 1 ) ممیزها را نادیده بگیرید و به " 22 × 18 " فکر کنید.قدم 2 ) عدد وسط را مجذور کنید : 400 = [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]قدم 3 ) 4 تا کم کنید : ( تفاضل میانجی ) 396 = 4 – 400قدم 4 ) آ.م.ب را به کار گیرید : با تخمینی سریع می فهمیم که جواب در حدود 4 است.فدم 5 ) در تفاضل میانجی ممیزی بزنید تا جواب ، یعنی 3/96 ، به دست آید.مثال فکری 2 : 130 × 1/7قدم 1 ) ممیز و صفر را نادیده بگیرید و به " 13 × 17 " فکر کنید.قدم 2 ) عدد بین این دو را مجذور کنید : 225 = [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]قدم 3 ) 4 تا کم کنید : ( تفاضل میانجی ) 221 = 4 – 225قدم 4 ) آ.م.ب را به کار گیرید : با تخمینی سریع می فهمیم جواب بین 200 و 300 است.بنابراین نتیجه ی میانجی ، یعنی 221 ، جواب است. ( نکته : چرا برای وارسی این جواب از شگرد 20 ، یعنی " ضرب کردن دو عدد دارای رابطه ای خاص " ، استفاده نمی کنید ؟ )نکته ای برای محاسبه ی سریع : این شگرد گونه ای از شگرد 13 ( ضرب کردن سریع دو عدد با تفاضل 2 است. از این شگرد اشکال دیگری نیز وجود دارد. مثلاً اگر تفاضل دو عددی که در هم ضرب می شوند 10 باشد عدد وسط را مجذور کنید و ازحاصل 25 تا کم کنید. و یا اگر تفاضل 20 باشد عدد وسط را مجذور کنید و از حاصل 100 تا کم کنید. دو شکلی که در این کتاب آمده است مفیدترین و احتمالاً از لحاظ حفظ کردن ساده ترین آن هاست.
تمرین های ساده
بعضی از این تمرین ها را به کمک شگردهای قبلی نیز می توان کامل کرد.
1) = 15 × 112) = 17 × 133) = 29 × 334) = 8 × 125) = 13 × 96) = 12 × 167) = 32 × 288) = 43 × 479) = 23 × 2710) = 19 × 2311) = 14 × 1812) = 39 × 4313) = 53 × 5714) = 98 × 10215) = 72 × 6816) = 53 × 49
تمرین های فکری
1) = 130 × 92) = 15 × 193) = 21 × 174) = 6/2 × 5/85) = 6/7 × 6306) = 19 × 2/37) = 920 × 0/888) = 1/4 × 1809) = 7/7 × 7/310) = 790 × 0/83
شگرد 27 : ضرب سریع دو مرحله ای
نقشه : روز 14 را با شگرد ساده ای شروع می کنیم که کمتر کسی به فکر استفاده از آن می افتد. وقتی اعداد خیلی بزرگ اند و ضرب کردن آن ها ساده نیست یک عدد را به دو عدد کوچکتر تبدیل کنید تا محاسبه مهار شدنی تر شود. مثلاً وقتی 16 × 7 به صورت 2 × 8 × 7 درآید حل کردنش سریعتر و آسان تر است. فرض شده است که بیشتر افراد نمی توانند راحت جواب مثال های بعدی را به دست آورند.
مثال ساده ی 1 : 14 × 8قدم 1 ) 14 را دو پاره کنید : 2 × 7قدم 2 ) مسئله را بازنویسی کنید : ( جواب ) 112 = 2 × 56 = 2 × 7 × 8مثال ساده ی 2 : 18 × 9قدم 1 ) 18 را دو پاره کنید : 2 × 9قدم 2 ) مسئله را بازنویسی کنید : ( جواب ) 162 = 2 × 81 = 2 × 9 × 9
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مثال فکری 1 : 2/2 × 14قدم 1 ) ممیز را نادیده بگیرید و به " 22 × 14 " فکر کنید.قدم 2 ) 22 را دو پاره کنید : 2 × 11قدم 3 ) مسئله را بازنویسی کنید : ( حاصل ضرب میانجی ) 308 = 2 × 154 = 2 × 11 × 14 ( در قدم 3 به استفاده از " شگرد 11 " توجه کنید. )قدم 4 ) آ.م.ب را به کار گیرید : با تخمینی سریع می توان فهمید که جواب در حدود 30 است.قدم 5 ) در حاصل ضرب میانجی ممیز بزنید تا جواب ، یعنی 3/08 ، به دست آید.مثال فکری 2 : 320 × 16قدم 1 ) صفر را نادیده بگیرید و به " 32 × 16 " فکر کنید.قدم 2 ) 32 را دو پاره کنید : 2 × 16قدم 3 ) مسئله را بازنویسی کنید : 512 = 2 × 256 = 2 × 16 × 16قدم 4 ) آ.م.ب را به کار گیرید : صفری را که در ابتدا نادیده گرفتیم باید دوباره قرار دهیم تا جواب ، یعنی 5120 ، به دست آید.نکته ای برای محاسبه ی سریع : در واقع شگردهای بسیاری هستند که با تجزیه ی محاسبه به دو یا چند قسمت سروکار دارند. مثلاً در شگرد 57 به شما نشان می دهیم که چگونه 78 را در 6 یا 706 را در 8 ضرب کنید. امکانات این روش نامحدود است و فقط دامنه ی تصورات شما آن را محدود می کند.
تمرین های ساده
در هنگام تجزیه ی این تمرین ها به عناصر کوچکتر اغلب متوجه می شوید که برای تکمیل محاسبه شگرد دیگری به شما کمک می کند.
1) = 14 × 72) = 12 × 93) = 16 × 84) = 18 × 65) = 22 × 156) = 18 × 57) = 24 × 128) = 22 × 139) = 16 × 910) = 14 × 911) = 18 × 812) = 22 × 1713) = 18 × 714) = 16 × 615) = 16 × 716) = 16 × 5
تمرین های فکری :
1) = 1/6 × 62) = 1/8 × 803) = 2/2 × 1/74) = 160 × 75) = 1/4 × 906) = 16 × 0/97) = 18 × 608) = 1/8 × 79) = 2/2 × 13010) = 160 × 8
شگرد 28 : ضرب سریع دو عدد که کمی از 100 بزرگترند
نقشه : هفته ی دوم را با شگردی به پایان می رسانیم که از عهده ی محاسبه هایی نظیر ( 103 × 102) و ( 104 × 109 ) بسیار خوب برمی آید. جواب همیشه عددی پنج رقمی است که با 1 شروع می شود. دو رقم بعد حاصل جمع رقم های یکان و رقم های آخر حاصل ضرب رقم های یکان است. در این صورت حاصل جمع یا حاصل ضرب یک رقمی ، نظیر 6 ، دو رقمی ، یعنی 06 ، نوشته می شود. به مثال هایی از این شگرد زیرکانه نگاه می کنیم.
مثال ساده ی 1 : 103 × 102قدم 1 ) محاسبه ی جواب را شروع کنید : 1قدم 2 ) رقم های یکان را با هم جمع کنید : 05 = 3 + 2قدم 3 ) رقم های یکان را در هم ضرب کنید : 06 = 3 × 2قدم 4 ) از چپ به راست بنویسید و ترکیب کنید : 10506 ( جواب ) ( نکته : سه رقم اول ، یعنی 105 ، را می توان تنها با اضافه کردن 3 به 102 یا 2 به 103 به دست آورد. )مثال ساده ی 2 : 104 × 109قدم 1 ) محاسبه ی جواب را شروع کنید : 1قدم 2 ) رقم های یکان را با هم جمع کنید : 13 = 4 + 9قدم 3 ) رقم های یکان را در هم ضرب کنید : 36 = 4 × 9قدم 4 ) از چپ به راست بنویسید و ترکیب کنید : 11336 ( جواب )این شگرد برای محاسبه ای نظیر 112 × 107 نیز کارساز است. اما در این حالت 7 و 12 باید با هم جمع شوند و در هم ضرب شوند تا جواب یعنی 11984 ، به دست آید. ( این شگرد برای محاسبه ای نظیر 113 × 108 کارساز نیست زیرا حاصل ضرب 8 و 13 بزرگتر از 99 است. ) به دو کاربرد پیشرفته تر نگاه می کنیم.
مثال فکری 1 : 105 × 116قدم 1 ) محاسبه ی جواب را شروع کنید : 1قدم 2 ) رقم های یکان و دهگان را با هم جمع کنید : 21 = 5 + 16قدم 3 ) رقم های یکان و دهگان را در هم ضرب کنید : 80 = 5 × 16قدم 4 ) از چپ به راست بنویسید و با هم ترکیب کنید : 12180 ( جواب )مثال فکری 2 : 127 × 101قدم 1 ) محاسبه ی جواب را شروع کنید : 1قدم 2 ) رقم های یکان و دهگان را با هم جمع کنید : 28 = 27 + 1قدم 3 ) رقم های یکان و دهگان را در هم ضرب کنید : 27 = 27 × 1قدم 4 ) از چپ به راست بنویسید و با هم ترکیب کنید : 12827 ( جواب )نکته ای برای محاسبه ی سریع : شگرد 28 در مورد اعداد اعشاری ( نظیر 10/7 × 1/01 ) نیز کارساز است ؛ اما در مثال های مان برای سهولت کار تنها از اعداد صحیح استفاده کرده ایم. برای ضرب کردن دو عددی که کمی از 100 کوچکترند نیز شگردی وجود دارد اما چون به کاربردن و به خاطر سپردن این شگرد دشوار است آن را در این کتاب نیاوردیم.
تمرین های ساده :
هنگام انجام دادن این تمرین ها به خاطر داشته باشید که ابتدا جمع کنید ، بعد ضرب کنید.
1) = 101 × 1012) = 105 × 1073) = 106 × 1034) = 109 × 1095) = 102 × 1046) = 107 × 1087) = 109 × 1018) = 106 × 1069) = 104 × 10510) = 101 × 10711) = 109 × 10812) = 105 × 10113) = 107 × 10314) = 106 × 10815) = 105 × 10916) = 108 × 102
تمرین های فکری
1) = 112 × 1062) = 104 × 1153) = 107 × 1134) = 111 × 1095) = 125 × 1036) = 102 × 1337) = 108 × 1128) = 117 × 1059) = 167 × 10110) = 104 × 122
آزمون سریع هفته ی 2
با این آزمون کوتاه ببینیم چند شگرد از هفته ی دوم را به خاطر می آورید و به کار می بندید. محدودیت زمانی ندارید اما سعی کنید محاسبه ها را تا حد ممکن سریع انجام دهید. قبل از شروع محاسبه ها خوب نگاه کنید شگردی را که می توان به کار گرفت تعیین کنید. وقتی جواب تمرین ها را می بینید متوجه می شوید که کدام شگرد مورد نظر بوده است.
مسئله های ساده1) = 9 × 262) = 63 × 673) = 18 × 3/54) = 7 × 185) = 56 × 1257) بدون نوشتن عملیات محاسبه کنید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
8) = 65 × 129) = 21 × 2910) 5/5 ÷ 4411) = 48 × 5212) = 31 × 3113) = 15 % × 3614) = 125 ÷ 700015) = 58 × 5816) = 108 × 103
مسئله های فکری
1) = 1/2 × 1802) = 12/5 ÷ 3003) = 610 × 6/14) = 7/2 × 7/85) = 1/9 × 236) = 45 ÷ 18007) = 640 × 1/258) = 104 × 1189) = 57 × 5/710) = 150 × 6411) = 1/6 × 7012) = 0/9 × 36013) = 160 × 4/514) بدون نوشتن عملیات ، محاسبه کنید :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
هفته 3 جمع و تفریق
شگرد 29 : تفریق سریع به کمک جمع
نقشه : موقّتاً ضرب و تقسیم را کنار می گذاریم و این هفته روی جمع و تفریق متمرکز می شویم. به خاطر داشته باشید که معمولاً جمع آسان تر از تفریق است. بنابراین هر جا که ممکن باشد باید تفریق را به کمک جمع انجام دهید. مثلاً برای تفریق 27 از 50 باید ببینید که " 27 با چه جمع شود برابر 50 می شود ؟ " به علاوه جمع کردن از چپ به راست یا جمع کردن " هم زمان همه ی رقم ها " معمولاً سریعتر از آن است که ابتدا یکان ها و بعد دهگان ها را جمع کنیم. چند مثال می زنیم.
مثال ساده ی 1 : 56 - 72قدم 1) ببینید که " 56 با چه عددی جمع شود تا 72 به دست می آید ؟ "قدم 2 ) بعد می بینید که " 56 ، 66 ، 72 " و به خاطر بسپارید که برای به دست آوردن جواب 16 ابتدا 10 را به دست آورید و بعد با 6 جمع کردید. ( نکته : در قدم 2 ابتدا دهگان با جمع کردن به دست می آید و بعد یکان. ترجیح داده می شود که از همین روش استفاده کنید ، نه روش مشابه دیگری.
مثال ساده ی 2 : 35 - 62قدم 1 ) ببینید که " 35 با چه عددی جمع شود تا 62 به دست آید؟ "قدم 2) بعد می بینید که " 35 ، 45 ، 55 ، 62 " . به خاطر بسپارید که برای به دست آوردن جواب 27 ابتدا 20 را با جمع کردن به دست آورید و بعد 7 را.
تمرین فکری 1 : 75 - 121قدم 1) ببینید که " 75 با چه عددی جمع شود 121 به دست می آید؟ "قدم 2 ) بعد می بینید که ، " 75 ، 85 ، 95 ، 105 ، 115 ، 121 " . به خاطر بسپارید که برای به دست آوردن جواب 46 ابتدا 40 را با جمع کردن به دست آورید و بعد 6 را .تمرین فکری 2 : 85 - 137قدم 1 ) ببینید که " 85 با چه عددی جمع شود 137 به دست می آید ؟ "قدم 2 ) با امتحان کردن و جمع کردن از چپ به راست به راحتی متوجه می شوید که جواب 52 است.
نکته ای برای محاسبه ی سریع : با تمرین می توانید این نوع محاسبات را در زمانی بسیار کوتاه انجام دهید. مثلاً به مسئله ای نظیر مثال فکری 1 نگاه کنید و فقط در ذهنتان " 46 " را به دست می آورید هر چند در ابتدا می توانید تعداد ده تایی هایی را که با هم جمع می شوند با انگشت بشمارید.
تمرین های ساده
هنگام انجام دادن این تمرین ها یادتان نرود که تفریق را از طریق جمع انجام دهید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
شگرد 30 : تفریق سریع به کمک جمع - گونه ای دیگر
نقشه : واضح است که ، هر جا ممکن است ، باید تفریق را به کمک جمع انجام دهید. وقتی مفروق و مفروق منه در دو طرف 100 ، 200 یا نظیر آن قرار دارند فاصله ی هر عدد را از مضرب صد به دست آورید و دو عدد حاصل را با هم جمع کنید تا جواب به دست آید. مثال های بعدی این روش بسیار مفید را روشن می کند.
مثال ساده ی 1 : 98 - 143قدم 1 ) می بینید که " 143 ، 43 تا بیشتر از 100 است و 98 ، 2 تا کمتر از صد است " .قدم 2 ) جمع کنید : ( جواب ) 45 = 2 + 43
مثال ساده ی 2 : 87 - 155قدم 1 ) می بینید که " 155 ، 55 تا از 100 بیشتر است و 87 ، 13 تا از 100 کمتر است" .قدم 2 ) جمع کنید : ( جواب ) 68 = 13 + 55
مثال فکری 1 : 189 - 245قدم 1 ) می بینید که " 245 ، 45 تا بیشتر از 200 است و 189 ، 11 تا کمتر از 200 است. "قدم 2 ) جمع کنید : ( جواب ) 56 = 11 + 45مثال فکری 2 : 979 - 1038قدم 1) می بینید که " 1038 ، 38 تا بیشتر از 1000 است و 979 ، به اندازه ی 21 کمتر از 1000 است."قدم 2 ) جمع کنید : ( جواب ) 59 = 21 + 38نکته ای برای محاسبه ی سریع : این شگرد در مواقعی که اعداد در دو طرف مضرب های مختلفی از 100 قرار دارند نیز کارساز است. مثلاً اگر در مثال فکری 1 از شما خواسته شده بود که 189 را از 345 کم کنید. محاسبه ی آن فقط چند ثانیه وقت شما را می گرفت. ( کافی بود : 145 + 11 ) .
تمرین های ساده
با تمرین می توانید مسائلی نظیر این مثال ها را در کمترین مدت حل کنید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
شگرد 31 : تفریق سریع با تغییر دادن
نقشه : مبارک باشد ! به وسط برنامه ی محاسبه ی سریع رسیده اید. به کارتان ادامه دهید. نظریه ای که در پس شگرد امروز است این است که کردن مضرب های ده ساده تر از غیرمضرب هاست. به علاوه اگر مفروق منه و مفروق به یک اندازه و در یک جهت تغییر کند. جواب عمل تفریق تغییر نمی کند. مثلاً جواب 8 - 25 همان جواب 10 - 27 است. دقت کنید که برای آن که محاسبه کمی ساده تر شود هم به مفروق منه و هم به مفروق 2 تا اضافه شده است. وقتی مفروق ( عددی که باید از مفروق منه کم شود ) کمی کمتر از مضربی از ده است ، مثلا 56 ، بهتر است عددی را به آن اضافه کنید تا مضربی از ده ، یا در این مورد برابر 60 ، شود. اما اگر مفروق کمی بیشتر از 10 است ، مثل 31 ، بهتر است از آن کم کنید تا مضربی از ده ، یا در این مورد برابر 30 ، شود. چند دقیقه بعد می بینید که این شگرد آن قدر که به نظر می رسد مشکل نیست.
مثال ساده ی 1 : 59 - 86قدم 1) به هر دو عدد یکی اضافه کنید تا ببینید که " ( جواب ) 27 = 60 – 87 "
مثال ساده ی 2 : 28 - 44قدم 1 ) به هر دو عدد 2 تا اضافه کنید تا ببینید که " ( جواب ) 16 = 30 – 46 "
مثال فکری 1 : 32 – 61قدم 1 ) از هر دو عدد 2 تا کم کنید تا ببیند که " ( جواب ) 29 = 30 - 59 "
مثال فکری 2 : 51 - 90قدم 1) از هر دو عدد یکی کم کنید تا ببینید که " ( جواب ) 39 = 50 - 89 "
مثال فکری 3 : 485 - 630قدم 1 ) به هر عدد 15 تا اضافه کنید تا ببینید که " ( جواب ) 145 = 500 - 645 "نکته ای برای محاسبه ی سریع : در هنگام استفاده از این شگرد خلاقیت خود را به کار گیرید. مثلاً چطور می توانید 775 - 2200 را انجام دهید؟ درست حدس زده اید. به هر عدد 225 تا اضافه کنید تا مسئله به صورت ساده تر 1000 - 2425 درآید که برابر است با 1425 .
تمرین های ساده
در هنگام حل کردن این تمرین ها سعی کنید مفروق را به مضربی از ده تبدیل کنید.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
شگرد 32 : جمع سریع با تغییر دادن
نقشه : نکته ی نهفته در این شگرد آن است که جمع کردن مضرب های ده ساده تر از غیر مضرب هاست. این شگرد بسیار شبیه شگرد 31 است. وقتی مضاف یا مضاف الیه کمی کوچکتر از مضربی از ده باشد معمولاً سریعتر و ساده تر است که آن را به طور اضافی گرد کنید. عمل جمع را انجام دهید و بعد همان عددی را که در هنگام جمع کردن اضافه کردید کم کنید. مثلاً برای جمع کردن 59 + 85 ساده تر است که " 145 = 60 + 85 " را در نظر بگیریم و بعد 1 را که قبلاً به 59 اضافه کرده اید کم کنید تا جواب ، یعنی 144 ، را به دست آورید. مثال هایی می زنیم :
مثال ساده ی : 38 + 54قدم 1 ) 2 تا به 38 اضافه کنید تا ببینید که " 94 = 40 + 54 "قدم 2 ) 2 تا از 94 کم کنید تا جواب ، یعنی 92 به دست آید.
مثال ساده ی 2 : 55 + 88قدم 1 ) 2 تا به 88 اضافه کنید تا ببینید که " 145 = 55 + 90 "قدم 2 ) 2 تا از 145 کم کنید تا جواب ، یعنی 143 ، به دست آید.
مثال فکری 1 : 149 + 276قدم 1 ) یکی به 149 اضافه کنید تا ببینید که " 426 = 150 + 276 "قدم 2 ) از 426 یکی کم کنید تا جواب ، یعنی 425 ، به دست آید.( نکته : راه دیگر آن است که علاوه بر آن که به 149 یکی اضافه می کنید از 276 هم یکی کم کنید تا مسئله به صورت 150 + 275 درآید. )مثال فکری 2 : 442 + 388قدم 1 ) 12 تا به 388 اضافه کنید تا ببینید که " 842 = 442 + 400 "قدم 2 ) از 842 ، 12 تا بردارید تا جواب ، یعنی 830 ، به دست آید.( نکته : می توانستید 388 را به 390 گرد کنید ( و بعد 2 تا کم کنید ) اما احتمالاً افزودن 12 و گردن کردن 400 کارسازتر است. )نکته ی محاسبه ی سریع : این شگرد برای مضاف یا مضاف الیه کمی بزرگتر از 10 ( مثل 62 + 85 ) نیز کارساز است. در این مورد انجام دادن محاسبه بدون ایجاد تغییر هم ساده است.
تمرین های ساده
هنگام انجام دادن این تمرین ها فراموش نکنید که ابتدا جمع کنید و بعد کم کنید.
1) = 25 + 492) = 28 + 563) = 68 + 544) = 76 + 195) = 45 + 896) = 94 + 387) = 79 + 338) = 58 + 169) = 65 + 9810) = 74 + 3911) = 69 + 3612) = 48 + 8513) = 96 + 2914) = 44 + 7815) = 59 + 6316) = 18 + 59
تمرین های فکری
1) = 65 + 1782) = 127 + 493) = 129 + 544) = 189 + 455) = 68 + 1266) = 114 + 597) = 133 + 388) = 75 + 1889) = 79 + 14410) = 86 + 48