مجموعه مسائل هفته ی هفدهم - سال دوم
با سلام
سطح A
همه ی جوابهای حقیقی معادله ی زیر را بیابید:
سطح B
روی یکی از اضلاع مربع، یک مثلث قائم الزاویه بسازید به گونه ای که ضلع مربع وتر آن باشد. از راس قائمه ی این مثلث ( که آنرا A می نامیم) به مرکز مربع وصل کنید. ثابت کنید این پاره خط، نیمساز زاویه ی A است.
=================================
سطح C
فرض کنید G یک گراف همبند با k یال باشد. ثابت کنید می توان یالهای G را با اعداد 1 و 2 و 3 و ... و k طوری نامگذاری کرد که در هر راس که از آن دو یال یا بیشتر از دو یال می گذرد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک تمام اعداد وابسته به این یالها برابر 1 باشد.
=================================
سطح ِD
نشان دهید اگر G یک گراف ساده ی تسطیح پذیر (planar) با p>2 راس و q ضلع باشد آنگاه q کمتر یا مساوی 3p-6 است. نتیجه بگیرید که K_5 (گراف کامل با 5 راس) تسطیح پذیر نیست.
موفق باشید.
5 آبان 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی هفدهم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
همه ی جوابهای حقیقی معادله ی زیر را بیابید:
سطح B
روی یکی از اضلاع مربع، یک مثلث قائم الزاویه بسازید به گونه ای که ضلع مربع وتر آن باشد. از راس قائمه ی این مثلث ( که آنرا A می نامیم) به مرکز مربع وصل کنید. ثابت کنید این پاره خط، نیمساز زاویه ی A است.
=================================
سطح C
فرض کنید G یک گراف همبند با k یال باشد. ثابت کنید می توان یالهای G را با اعداد 1 و 2 و 3 و ... و k طوری نامگذاری کرد که در هر راس که از آن دو یال یا بیشتر از دو یال می گذرد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک تمام اعداد وابسته به این یالها برابر 1 باشد.
=================================
سطح ِD
نشان دهید اگر G یک گراف ساده ی تسطیح پذیر (planar) با p>2 راس و q ضلع باشد آنگاه q کمتر یا مساوی 3p-6 است. نتیجه بگیرید که K_5 (گراف کامل با 5 راس) تسطیح پذیر نیست.
موفق باشید.
5 آبان 1386
با سلام
سطح A
آقا امیر در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
جوابها را معین کرده اند اما نگفته اند چرا جوابها فقط همینها هستند و جواب دیگری وجود ندارد. برای اثبات این مطلب می توان نوشت:
سطح B
راه حل آقا امیر در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
درست است. با تشکر از ایشان.
سطح C
از راسی مانند v_0 شروع می کنیم. در طول یالهای متمایز حرکت کرده، آنها را با 1و2و...طوری شماره گذاری می کنیم که از روی تمام آنها عبور کرده باشیم و امکان جلو رفتن روی شکل میسر نباشد مگر آنکه از یک یال دو بار عبور کنیم. اگر هنوز یالهایی وجود داشته باشند که شماره گذاری نشده اند، یکی از آنها راسی دارد که از آن عبور کرده ایم، چون در غیر این صورت G نمی تواند همبند باشد. از این راس شروع می کنیم و حرکت را روی یالهایی که به کار نرفته اند ادامه می دهیم؛ شماره گذاری را از قسمتهایی که جا افتاده باشند از سر می گیریم و سرانجام متوقف می شویم. این عمل را همان گونه که توضیح داده شد تکرار می کنیم تا تمام یالها شماره گذاری شود.
فرض کنیم v راسی باشد که از آن d یال گذشته است (d>1). اگر v=v_0 آنگاه v روی شماره ی 1 است و بنابر این بزرگترین مقسوم علیه مشترک در v برابر 1 است. اگر v همان v_0 نباشد فرض کنیم اولین دفعه که به راس v می رسیم پس از یال شماره ی r باشد. در این صورت d-1 یال به کار نرفته وجود دارد که با v متقاطعند و لذا یکی از آنها با r+1 شماره گذاری شده است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک هر همجموعه شامل r و r+1 برابر 1 است.
سطح D
بنابر فرمول اویلر p-q+r=2 ، نیز 3r کمتر یا مساوی 2q است و در نتیجه 3*(2+q-p) کمتر یا مساوی 2q است که نتیجه را به دست می دهد. برای K_5 می توان نوشت: 3p-6=9<10=q.
موفق باشید.
13 آبان 1386
مجموعه مسائل هفته ی هجدهم - سال دوم
با سلام
سطح A
ثابت کنید خطوطی که وسطهای اضلاع هر مثلث را به وسطهای ارتفاعهای متناظر وصل می کنند، یکدیگر را در یک نقطه قطع می کنند(همرسند).
=================================
سطح B
فرض کنید n عددی طبیعی و x عددی حقیقی باشد. اگر [x] جزء صحیح x باشد عبارت زیر را ثایت کنید:
سطح C
معادله ی همه خطوطی در فضا را بیابید که در این خاصیت صدق کنند: اگر (x,y,z) روی خط باشد آنگاه z=xy
=================================
سطح ِD
کوچکترین عدد طبیعی n را بیابید به طوری که میانگین مجموع مربعات اعداد 1 تا n، مربع کامل باشد.
موفق باشید.
13 آبان 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی هجدهم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
ثابت کنید خطوطی که وسطهای اضلاع هر مثلث را به وسطهای ارتفاعهای متناظر وصل می کنند، یکدیگر را در یک نقطه قطع می کنند(همرسند).
=================================
سطح B
فرض کنید n عددی طبیعی و x عددی حقیقی باشد. اگر [x] جزء صحیح x باشد عبارت زیر را ثایت کنید:
سطح C
معادله ی همه خطوطی در فضا را بیابید که در این خاصیت صدق کنند: اگر (x,y,z) روی خط باشد آنگاه z=xy
=================================
سطح ِD
کوچکترین عدد طبیعی n را بیابید به طوری که میانگین مجموع مربعات اعداد 1 تا n، مربع کامل باشد.
موفق باشید.
13 آبان 1386
با سلام
سطح A
از آقا امیر که در در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این مساله ی سنگین هندسه را حل کردند بی نهایت سپاسگزارم. هدف بنده نیز استفاده از قضیه ی مهم «سوا» بود که در حل بسیاری از مسائل خوب هندسه، کمک بسیار خوبی است و هر دانش آموز یا دانشجوی علاقمند به هندسه باید آنرا بشناسد و بتواند از آن استفاده کند.
سطح B
از yugioh به علت مشارکت در حل مساله تشکر می کنم. از استقراء استفاده می کنیم. ابتدا فرض کنید x عددی در بازه ی زیر باشد و حکم را ثابت کنید:
حال فرض کنید k عددی طبیعی و x عددی حقیقی در بازه ی زیر باشد و فرض کنید حکم در این بازه درست است:
حال با توجه به فرض بالا حکم را در بازه زیر ثابت کنید:
با این روش حکم برای هر عدد مثبت x ثابت می شود. با جایگذاری x-1/n به جای x و به روشی مشابه حکم برای مقادیر منفی x نیز ثابت می شود.
سطح C
با نوشتن معادلات پارامتری خطوط و جایگذاری در فرمول رویه نتیجه خواهد شد که تنها خطوط راستی که در رویه z=xy واقع اند به شکل z=ax، y=a یا به شکل z=ay، x=a هستند که a عددی ثابت و دلخواه است.
سطح D
از پاکر و yugioh که در حل این مساله مشارکت کردند، متشکرم. n=1 جواب بدیهی است اما جواب نابدیهی آن به وسیله معادله ی دیوفانتی پل ( Pell ) به دست می آید که آقا امیر در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این کار را کرده اند که از ایشان تشکر می کنم. حل معادله ی پل روشهای خاص خودش را دارد که در اینجا نمی توان به آنها پرداخت.
موفق باشید.
3 آذر 1386
مجموعه مسائل هفته ی نوزدهم - سال دوم
با سلام
سطح A
نامساوی زیر را برای هر عدد حقیقی a و b اثبات کنید:
سطح B
فرض کنید P نقطه ای روی نمودار f(x)=ax^3+bx باشد. اگر مماسی از نقطه ی P بر نمودار تابع رسم کنیم تا بار دیگر نمودار را در نقطه ی Q قطع کند، ثابت کنید طول نقطه ی Q برابر است با 2c- که c طول نقطه ی P است.
=================================
سطح C
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
سطح ِD
حد زیر را محاسبه کنید:
موفق باشید.
4 آذر 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی نوزدهم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
نامساوی زیر را برای هر عدد حقیقی a و b اثبات کنید:
سطح B
فرض کنید P نقطه ای روی نمودار f(x)=ax^3+bx باشد. اگر مماسی از نقطه ی P بر نمودار تابع رسم کنیم تا بار دیگر نمودار را در نقطه ی Q قطع کند، ثابت کنید طول نقطه ی Q برابر است با 2c- که c طول نقطه ی P است.
=================================
سطح C
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
سطح ِD
حد زیر را محاسبه کنید:
موفق باشید.
4 آذر 1386
با سلام
سطح A
از آقا امیر و mm-gh (عضو جدید p30world) که حل مساله را ارسال کردند متشکرم. البته روش آقا امیر کمی نیاز به اصلاح دارد اما روش mm-gh در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
کاملاً درست است. فکر می کنم روش زیر ساده تر باشد:
همه ی جملات را به سمت راست بیاورید و عبارت به دست آمده را بر حسب b مرتب کنید. خواهیم داشت:
حال با تشکیل دلتای این عبارت به دست می آوریم:
که همواره منفی و لذا علامت عبارت، موافق ضریب b^2 است که حل مساله را کامل می کند.
سطح B
از sherlockholmz که در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مساله را حل کردند متشکرم.
سطح C
از miladweb عضو جدید p30world که حل مساله را در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ارسال کردند تشکر می کنم. راه حل دیگری را که معمولا در کتب قدیمی ریاضی (مانند کتب استاد شهریاری) یافت می شود، توضیح می دهم:
دقت کنید که (tan^8(x برابر است با:
با توجه به مشتق تابع تانژانت، جواب انتگرال بلافاصله به دست می آید که عبارت است از:
سطح D
از sherlockholmz که در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
این مساله را هم حل کردند ممنون و سپا سگزارم. امیدوارم همکاریشان را با این تاپیک همچنان ادامه دهند (هر چند که احتمالا از دست ما به علت جواب ندادن به سوالشان دلخورند. البته به این سوال قبلاً جواب داده شده بود. در هر صورت به بزرگواری خودتان ببخشید.)
موفق باشید.
11 آذر 1386
مجموعه مسائل هفته ی بیستم - سال دوم
با سلام
سطح A
در صفحه ی شطرنج، چند مربع وجود دارد؟!
=================================
سطح B
فرض کنید A و B و C سه نقطه در صفحه باشند که در یک راستا نیستند.
الف) مثلثی رسم کنید که این سه نقطه، وسط اضلاعش باشند.
ب) دایره ای به مرکز C چنان رسم کنید که مماسهای رسم شده از A و B بر این دایره با هم موازی باشند.
=================================
سطح C
آیا یک عدد طبیعی که توانی از عدد 2 است وجود دارد که با جابجایی ارقام آن، توان دیگری از 2 حاصل شود؟!
=================================
سطح ِD
فرض کنید a و b دو عدد حقیقی مثبت باشند که a+b=1. ثابت کنید:
موفق باشید.
11 آذر 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی بیستم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
در صفحه ی شطرنج، چند مربع وجود دارد؟!
=================================
سطح B
فرض کنید A و B و C سه نقطه در صفحه باشند که در یک راستا نیستند.
الف) مثلثی رسم کنید که این سه نقطه، وسط اضلاعش باشند.
ب) دایره ای به مرکز C چنان رسم کنید که مماسهای رسم شده از A و B بر این دایره با هم موازی باشند.
=================================
سطح C
آیا یک عدد طبیعی که توانی از عدد 2 است وجود دارد که با جابجایی ارقام آن، توان دیگری از 2 حاصل شود؟!
=================================
سطح ِD
فرض کنید a و b دو عدد حقیقی مثبت باشند که a+b=1. ثابت کنید:
موفق باشید.
11 آذر 1386
با سلام
سطح A
از pp8khat که در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حل مساله را ارسال کردند تشکر می کنم.
در یک مربع 2 در 2 ، پنج مربع وجود دارد: 1+4
در یک مربع 3 در 3 چهارده مربع وجود دارد: 1+4+9=14
در یک مربع 4 در 4 سی مربع وجود دارد: 1+4+9+16=30
.................................................. ...............
.................................................. ...............
و دریک مربع 8 در 8 دویست و چهار مربع وجود دارد: 1+4+9+16+25+36+49+64=204
سطح B
از آقا امیر بابت حل این سوال متشکرم. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید.
سطح C
چنین عددی وجود ندارد، در غیر این صورت، فرض کنید a=2^m و b=2^n به طوری که رقمهای آنها برابر باشند. می توان فرض کرد m<n. حال چون b/a<10 پس
و لذا n-m یکی از اعداد 1 یا 2 یا 3 است. اما a و b به پیمانه ی 9 همنهشت هستند؛ پس باید
که با نتیجه ای که برای n-m به دست آوردیم تناقض دارد.
سطح D
از آقا امیر برای راه حل خوبشان در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
، ممنونم.
موفق باشید.
18 آذر 1386
مجموعه مسائل هفته ی بیست و یکم - سال دوم
با سلام
سطح A
درمربع زیر، وسط اضلاع را به ضلع مقابل وصل کرده ایم. ثابت کنید مساحت چهارضلعی وسط، یک پنجم مساحت مربع است:
سطح B
در یک مرسم قرعه کشی، درون کیسه ای 52 مهره که شماره های 1 تا 52 روی آنها نوشته اند، ریخته شده است و هر نفر سه مهره بیرون می آورد. اگر شماره ی هیچ یک از این سه مهره بالاتر از 40 نباشد، شخص مورد نظر برنده است. آیا حاضرید در این قرعه کشی شرکت کنید؟!
=================================
سطح C
فرض کنید p و q اعداد حقیقی باشند به گونه ای که سه جمله ای x^2+px+q دارای ریشه نباشد. ثابت کنید اگر n عددی طبیعی و فرد باشد، برای هر ماتریس مربعی X از مرتبه ی n، ماتریس X^2+pX+qI_n مخالف صفر است. (I_n ماتریس واحد مرتبه ی n است.)
=================================
سطح ِD
فرض کنید f تابعی مثبت باشد که روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتق پذیر باشد. ثابت کنید در (a,b) عددی مانند c وجود دارد به طوری که
موفق باشید.
18 آذر 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی بیست و یکم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
درمربع زیر، وسط اضلاع را به ضلع مقابل وصل کرده ایم. ثابت کنید مساحت چهارضلعی وسط، یک پنجم مساحت مربع است:
سطح B
در یک مرسم قرعه کشی، درون کیسه ای 52 مهره که شماره های 1 تا 52 روی آنها نوشته اند، ریخته شده است و هر نفر سه مهره بیرون می آورد. اگر شماره ی هیچ یک از این سه مهره بالاتر از 40 نباشد، شخص مورد نظر برنده است. آیا حاضرید در این قرعه کشی شرکت کنید؟!
=================================
سطح C
فرض کنید p و q اعداد حقیقی باشند به گونه ای که سه جمله ای x^2+px+q دارای ریشه نباشد. ثابت کنید اگر n عددی طبیعی و فرد باشد، برای هر ماتریس مربعی X از مرتبه ی n، ماتریس X^2+pX+qI_n مخالف صفر است. (I_n ماتریس واحد مرتبه ی n است.)
=================================
سطح ِD
فرض کنید f تابعی مثبت باشد که روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتق پذیر باشد. ثابت کنید در (a,b) عددی مانند c وجود دارد به طوری که
موفق باشید.
18 آذر 1386
با سلام
سطح A
از sherlockholmz بابت حل مساله در پست 190 تشکر می کنم. برای دیدن این راه حل به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه شود. راه حل کوتاه تری خدمتتان تقدیم می کنم.
چهار ضلعی 'A'B'C'D مربع است. A'B'=B'B و نیز 'MB نصف 'AA است. نیز مثلثهای MBC و AQB و ADP و DCN برابرند. بنابر این
نیز مساحت مثلث 'MBB یک چهارم مربع 'A'B'C'D است. پس مساحت ABCD چهار برابر مساحت MBC است. همچنین مساحت MBC پنج برابر مساحت 'MBB است. که مطلب را نتیجه می دهد.
سطح B
از sherlockholmz بابت حل این سوال نیز متشکرم. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید. (دقت کنید که بالاخره احتمال باختن بیشتر از بردن است. تصمیم هم با خودتان!! بنده دخالتی نمی کنم!)
سطح C
فرض کنیم چنین نباشد. پس می توان نوشت:
از طرفین دترمینان بگیرید. با توجه به فرد بودن n و منفی بودن دلتای عبارت درجه ی 2 به راحتی به تناقض می رسیم.
سطح D
از sherlockholmz که این مساله را هم حل کردند،متشکرم. به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
موفق باشید.
23 آذر 1386
مجموعه مسائل هفته ی بیست و دوم - سال دوم
با سلام
سطح A
معادله ی زیر را حل کنید:
سطح B
برد تابع زیر را حساب کنید که [x] جزءصحیح x است:
سطح C
فرض کنید دنباله ی x_n به صورت بازگشتی با ضابطه ی زیر تعریف شود:
ثابت کنید این دنباله همگراست و سپس حد آنرا به دست آورید.
=================================
سطح ِD
ثابت کنید گروهی مانند G موجود نیست به طوری که 'G (زیر گروه مشتق G) با S_3 (گروه متقارن روی 3 حرف) یکریخت باشد.
موفق باشید.
24 آذر 1386
