سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.
Printable View
سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.
با تشكر از دوست عزيز 1233445566 كه در اينجانقل قول:
مسأله را به خوبي حل كردهاند.کد:http://forum.p30world.com/showpost.php?p=5389041&postcount=467
ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389
نشان دهيد براي هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد زير بر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخشپذير است.
ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]نقل قول:
از هر پنج عدد صحیح متوالی:
1- دستکم دو تا بر 2 بخش پذیرند که دستکم یکی از آنها بر 4 بخش پذیر می باشد، در نتیجه A بخش پذیر بر 8 است.
2- یکی بر 5 بخش پذیر است، در نتیجه A بخش پذیر بر 5 است.
3- از دو حالت زیر خارج نیست:
الف- یکی از آنها بر 3 بخش پذیر است، که در اینصورت آن عدد وسطی می باشد.
ب- دو تا از آنها بر 3 بخش پذیر است.
که در هر دو حالت، A بخش پذیر بر 9 است.
پس A بر 9*5*8 = 360 بخش پذیر است.
------------------------------------------------------
از آنجا که اینجانب به حل مسائل در حالت کلی علاقه مندم! :31:
بزرگترین عددی که حاصلضرب n عدد صحیح متوالی همواره بر آن بخش پذیر است، به روشی مشابه بدست می آید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در اینجا p_j ، نشان دهنده j امین عدد اول است.
حل مسئله شنبه سی و نهم
نقل قول:
دوست عزیز، 12233445566 مسئله را به درستی در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کرده اند. خدا به ایشان خیر دهد.
حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.
فرض کنیم مقدار پول اولیه A_0 و مقدار پول بعد از n سال A_n باشد.نقل قول:
با استقراء ریاضی، به کمک رابطه بازگشتی زیر:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ثابت می شود که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای اینکه شرط مسئله برقرار باشد، لازم و کافی است که به ازای هر n، مقدار A_n مثبت باشد.
می توان محاسبه کرد که:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتیجه حداقل مقدار A_0 (پول اولیه) برابر است با:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سلامنقل قول:
دقت کنید که هیچ دوتایی مضرب مشترک کوچکتر از هزار ندارند،پس مضارب کوچکتر از هزار این اعداد متمایزند.
این n عدد را [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنامید.بوضوح تعداد این اعداد از هزار کمتر است.
تعداد مضارب کوچکتر از هزار [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است.پس داریم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.نقل قول:
بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)
اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
در نتیجه k≤0 نیست.
برای k>0 ، تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.
در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.