جواب مسئله شنبه سی و هفتم
نقل قول:
سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟
اگه از بالا به مساله نگاه کنیم این شکل رو میبینیم:
برای حل این مساله کافیه که نسبت شعاع استوانه رو نسبت به شعاع توپها بدست بیاریم. همونطور که میدونیم توپها در سه راس مثلث متساوی الاضلاع هستند. بنابراین اگر شعاع توپها رو r فرض کنیم طول هر ضلع مثلث برابر با 2r خواهد بود و همچنین محور استوانه در نقطه ثقل این مثلث قرار داره. چون مرکز ثقل مثلث متساوی الاضلاع علاوه بر محل تلاقی میانه ها، مرکز تلاقی عمودها هم هست (چرا؟) بنابراین با استفاده از رابطه فیثاغورس متوجه میشویم که اگر طول ضلع این مثلث رو 2r فرض کنیم طول عمود وارد بر هر ضلع برابر است با
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و چون میانه ها در محل تلاقی خود همدیگر را با نسبت 1 به 2 قطع میکنند(چرا؟) بنابراین شعاع قاعده ی استوانه برابر است با:
از طرفی میدانیم که ارتفاع استوانه هم برابر با 2r است.
حالا حجم 3 توپ را محاسبه میکنیم:
و همچنین حجم استوانه:
حل مسالهی چهارشنبهی چهل و ششم
از dr rezayi عزيز كه در اينجا
کد:
http://forum.p30world.com/showpost.php?p=5324615&postcount=448
جواب رو توضيح دادن ممنون.
راه حل ديگر به صورت زير است
مي‌دانيم
براي اين كه حكم مسأله را اثبات كنيم كافي است نشان دهيم عبارت بزرگتر در حاصلضرب سمت چپ تساوي فوق بر
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بخش‌پذير است. چندجمله‌اي
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را به صورت زير در نظر مي‌گيريم
واضح است كه
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
.
بسط چندجمله‌اي
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را بر حسب توان‌هايي از
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مي‌نويسيم. در اين صورت مقدار ثابت اين بسط برابر
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
است. بنابراين
كه در آن
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
چندجمله‌اي از درجه
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
است. بنابراين
و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.
ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389
مسالهی چهارشنبهی چهل و هفتم
حل مساله ی پنج شنبه ی سی و دوم(سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)
نقل قول:
با سلام
فرض کنید r عددی حقیقی و ناصفر باشد به طوری که مجموع ریشه ی سوم r و معکوس ریشه سوم r برابر است با 3. مطلوبست مجموع توان سوم r و معکوس توان سوم r .
موفق باشید.
29 مرداد 1389
با سلام
این هم جواب مساله به زبان اصلی!!!
آموزش حل مساله:
استفاده از اتحادها
موفق باشید.
13 شهریور 1389
حل مساله ی پنج شنبه ی سی و سوم(سطح سوال: سوم و چهارم ریاضی)
با سلام
حل مساله باز هم به زبان اصلی. دقت بفرمایید که با تعریف یک تابع چند جمله ای درجه ی 3 و با استفاده از روابط بین ریشه های معادلات درجه ی 3 و نیز بررسی تغییرات مشتق این تابع، مساله به زیبایی حل می شود!!
آموزش حل مساله:
ارتباط بین متن مساله و مطالبی که ظاهراً با آن ارتباطی ندارند.
موفق باشید.
13 شهریور 1389
مساله ی پنج شنبه ی سی و چهارم(سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)
با سلام
کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!
موفق باشید.
13 شهریور 1389
