حل مسالهی چهارشنبهی سی و ششم
ضمن تشكر از H.R@Wolf كه تعميم اين مسأله رو در اينجا
کد:
http://forum.p30world.com/showpost.php?p=4988194&postcount=379
مطرح كردن.
با استفاده از استقراي رياضي مي‌توان نشان داد كه براي هر
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اعداد طبيعي
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
موجودند به طوري كه
يعني
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
. بنابراين كافي است نشان دهيم كه اعداد
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
يك واحد با هم اختلاف دارند. با ضرب طرفين روابط (1) و (2) داريم
كه درستي حكم را نشان مي‌دهد.
گمان كنم تعميمش رو هم بشه با همين روش حل كرد.
ــــــــــــــــــ
12خرداد 89
مسالهی چهارشنبهی سی و هفتم
حل مساله ی پنج شنبه ی بیست و سوم (سطح سوال: پیش دانشگاهی)
نقل قول:
با سلام
فرض کنید f تابعی نامنفی با دامنه ی [0.1] باشد به طوری که 1=(f(1 و (f(x)+f(y)<= f(x+y. ثابت کنید (2x >= f(x.
موفق باشید.
23 اردیبهشت 1389
با سلام و معذرت خواهی به علت تأخیر زیاد
می توان دید که با فرض y>x :
پس f صعودی است. با استقراء روی k>=0 می توان ثابت کرد که:
حال فرض کنید x عددی مثبت و k عددی طبیعی باشد طوری که
بنابر این
حال چون تصویر صفر تحت f صفر است، حل مساله کامل می شود.
آموزش حل مساله:
استقراء ریاضی
موفق باشید.
20 خرداد 1389
مساله ی پنج شنبه ی بیست و چهارم (سطح سوال: آزاد)
با سلام
آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!
موفق باشید.
20 خرداد 1389
حل مسالهی چهارشنبهی سی و هفتم
براي سوالاتي از اين دست (معادلات تابعي) اولين چيزي كه به ذهن مي‌رسد محاسبه تابع براي مقادير خاص است.
براي توابع يك متغيره معمولا ابتدا سعي مي‌كنيم مقدار
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
،
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
يا نظير آنها را به دست بياوريم.
پيش از اين مرحله ممكن است اثبات پوشا بودن يا يك‌به‌يك بودن تابع يا حتي صعودي و نزولي بودن آن مفيد باشد. توجه كنيد كه براي اثبات اين خاصيت‌ها لزومي ندارد كه رابطه‌ي صريح تابع بر حسب متغيرهايش معلوم باشند.
براي توابع چند متغيره نيز با همين روند آغاز مي‌كنيم. به علاوه مثلا اگر تابع برحسب
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
باشد مقادير خاصي نظير
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
يا
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را بررسي مي‌كنيم.
اگر تابع متقارن نباشد و امكان تعويض
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
باشد نتايج حاصل از تعويض
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
را نيز بررسي مي‌كنيم.
در بعضي مسائل نيز تغيير متغيرهاي مناسب موجب مي‌شوند كه مسأله‌ي بسيار ساده‌تري حاصل شود.
ــــــــــــــــــــ
با بررسي چند مثال مي‌بينيم كه تابع ك.م.م (كوچكترين مضرب مشترك) مي‌تواند حدس خوبي باشد.
براي حل اين سوال از استقراي قوي استفاده مي‌كنيم. حكم كلي كه مي‌خواهيم اثبات كنيم اين است كه
كه در آن
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تابع كوچكترين مضرب مشترك است. (
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
حاصل از كنار هم قرار دادن حرف اول كلمات Least Common Multiple است)
حكم به وضوح براي
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برقرار است. فرض كنيم براي اعداد طبيعي از
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تا
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نيز چنين باشد.
فرض كنيم
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
. در اين صورت
كه در آن
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
تابع كوچكترين مضرب مشترك است.
از طرفي
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
. بنابراين
و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.
ــــــــــــــــــ
26 خرداد 89
مسالهی چهارشنبهی سی و هشتم
حل مساله ی پنج شنبه ی بیست و چهارم (سطح سوال: آزاد)
نقل قول:
با سلام
آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!
موفق باشید.
20 خرداد 1389
با سلام و تشکر بسیار از davy jones و Parser که در پست های
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
روی مساله به خوبی بحث کردند. ضمناً لازم است از davy jones تشکر ویژه کنم که انصافاً جور ما را می کشند و بسیاری از سوالات مطرح شده در انجمن را به خوبی و با دقت پاسخ می دهند. خدا قوت.
درباره ی این مساله هم عرض کنم که باید این مطلب را بپذیریم که نمی توان به شهود اطمینان صددرصد کرد و آن چه که تصورات ما غیر ممکن می داند، واقعاً غیر ممکن باشد؛ مثالش هم، همین مساله.
موفق باشید.
27 خرداد 1389
مساله ی پنج شنبه ی بیست و پنجم (سطح سوال: سوم ریاضی)
با سلام
در مثلث ABC به اضلاع a و b و c ثابت کنید:
که A زاویه ی روبه به ضلع a است.
موفق باشید.
