مجموعه مسائل هفته ی بیست و ششم - سال دوم
با سلام
سطح A
عبارت زیر را به صورت ضرب عوامل تجزیه کنید:
سطح B
دو دایره در نقطه های A و B متقاطع اند. PQ پاره خطی است که از A می گذرد و دو سرش بر این دو دایره واقع اند. ثابت کنید که تقسیم BP بر BQ همواره عددی ثابت است.
=================================
سطح C
در یک ترم n درس ارائه شده است و تعدادی دانشجو در بعضی از این دروس ثبت نام کرده اند به طوری که در هر دو درس حداکثر یک دانشجو مشترک است. امتحانات این دروس را می توان در k زمان متفاوت برگزار کرد به نحوی که هیچ دانشجویی دارای امتحانات هم زمان نباشد. فرض کنیم هر درس را که حذف کنیم بتوانیم n-1 درس باقی مانده را در k-1 زمان متفاوت برگزار کنیم. حکم زیر را اثبات یا رد کنید:
اگر یکی از دانشجویان که حداقل در دو درس ثبت نام کرده است یکی از درسهای خود را حذف کند باز هم می توان امتحانات را در k-1 زمان متفاوت با شرط فوق تنظیم کرد.
=================================
سطح ِD
فرض کنید p عددی اول و فرد باشد. ثابت کنید برای هر عددی طبیعی n داریم:
موفق باشید.
28 فروردین 1387
حل مجموعه مسائل هفته ی بیست و ششم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
عبارت زیر را به صورت ضرب عوامل تجزیه کنید:
سطح B
دو دایره در نقطه های A و B متقاطع اند. PQ پاره خطی است که از A می گذرد و دو سرش بر این دو دایره واقع اند. ثابت کنید که تقسیم BP بر BQ همواره عددی ثابت است.
=================================
سطح C
در یک ترم n درس ارائه شده است و تعدادی دانشجو در بعضی از این دروس ثبت نام کرده اند به طوری که در هر دو درس حداکثر یک دانشجو مشترک است. امتحانات این دروس را می توان در k زمان متفاوت برگزار کرد به نحوی که هیچ دانشجویی دارای امتحانات هم زمان نباشد. فرض کنیم هر درس را که حذف کنیم بتوانیم n-1 درس باقی مانده را در k-1 زمان متفاوت برگزار کنیم. حکم زیر را اثبات یا رد کنید:
اگر یکی از دانشجویان که حداقل در دو درس ثبت نام کرده است یکی از درسهای خود را حذف کند باز هم می توان امتحانات را در k-1 زمان متفاوت با شرط فوق تنظیم کرد.
=================================
سطح ِD
فرض کنید p عددی اول و فرد باشد. ثابت کنید برای هر عددی طبیعی n داریم:
موفق باشید.
28 فروردین 1387
با سلام
سطح A
این عبارت را (f(x,y بنامید. f نسبت به x و y متقارن است و لذا می توان آن را به صورت زیر نوشت:
ابتدا قرار دهید x=y=1 و سپس x=y=-1 و بالاخره قرار دهید x=0 و y=1 . در این صورت به دستگاه زیر خواهید رسید:
با حل این معادله، A و B و C به ترتیب 1و 1و 2 یا 2 و 1 و 2 به دست می آیند. بنابر این
سطح B
وقتی پاره خط PQ تغییر می کند، زوایای BPA و AQB ثابت می مانند، زیرا زاویه های محاطی روبه رو به کمان AB در دو دایره هستند و لذا سینوس این دو زاویه مقداری ثابت است. حال اگر قانون سینوسها در مثلث BPQ را به کار گیریم، مساله حل خواهد شد.
سطح C
گرافی به این صورت می سازیم: به ازای هر درس یک رأس در نظر می گیریم و اگر دو درس دارای دانشجوی مشترک باشند، یک یال بین آنها رسم می کنیم.
به ربان نظریه گراف صورت ایم مساله چنین است: «گراف n رأسی G دارای این ویژگی است که عدد رنگی رأسی آن مساوی k است و اگر هر رأس آن را حذف کنیم، عدد رنگی گراف حاصل، k-1 می شود. آیا این گراف دارای این ویژگی نیز هست که اگر هر یال آن را حذف کنیم، عدد رنگی آن تغییر کند؟» جواب لزوماً مثبت نیست. گراف زیر مثالی بر این مدعاست.
سطح D
با بسط دادن به دست می آوریم:
مخرج این کسر بر p بخش پدیر نیست؛ لذا کسر آخر به تنهایی عددی صحیح است. به علاوه، به پیمانه ی p، صورت کسر با مخرج هم نهشت است، پس این کسر به پیمانه ی p با
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
هم نهشت است که مطلب را نتیجه می دهد.
موفق باشید.
سوم خرداد 1387
مجموعه مسائل هفته ی بیست و هفتم - سال دوم
با سلام
سطح A
در چهار ضلعی زیر، ضلع بالا و پایین را به هفت قسمت مساوی تقسیم و نقاط تقسیم را به یکدیگر وصل می کنیم تا هفت چهار ضلعی کوچک به دست آید. ثابت کنید حداقل یکی از این چهار ضلعی ها ی کوچک، مساحتی برابر با «یک هفتم» مساحت چهار ضلعی بزرگ دارد.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
=================================
سطح B
مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 1 را در نظر بگیرید. اگر پنج نقطه در درون آن انتخاب شوند، ثابت کنید حداقل دو نقطه وجود دارند که فاصله ی آنها، از «یک دوم» کوچکتر است.
=================================
سطح C
ماکسیمم (بیشینه) مساحت مستطیل های محاط در بیضی زیر را بیابید:
سطح ِD
حد زیر را بیابید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
موفق باشید.
4 خرداد 1387
حل مجموعه مسائل هفته ی بیست و هفتم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
در چهار ضلعی زیر، ضلع بالا و پایین را به هفت قسمت مساوی تقسیم و نقاط تقسیم را به یکدیگر وصل می کنیم تا هفت چهار ضلعی کوچک به دست آید. ثابت کنید حداقل یکی از این چهار ضلعی ها ی کوچک، مساحتی برابر با
«یک هفتم» مساحت چهار ضلعی بزرگ دارد.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
=================================
سطح B
مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 1 را در نظر بگیرید. اگر پنج نقطه در درون آن انتخاب شوند، ثابت کنید حداقل دو نقطه وجود دارند که فاصله ی آنها، از
«یک دوم» کوچکتر است.
=================================
سطح C
ماکسیمم (بیشینه) مساحت مستطیل های محاط در بیضی زیر را بیابید:
سطح ِD
حد زیر را بیابید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
موفق باشید.
4 خرداد 1387
با سلام
سطح A
از راه حل زیبای آقا امیر تشکر می کنم. برای دیدن این راه حل
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
راه حل دیگری خدمتتان تقدیم می کنم:
به شکل زیر توجه کنید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
داریم:
بنابر این
نیز
بنابر این
در نتیجه
سطح B
از برای soheilsmart راه حلشان تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه شود.
سطح C
از آقا امیر برای راه حلشان ممنونم. البته روش نسبتاً ساده ای که از مشتق استفاده نمی کند وجود دارد، که به آن نمی پردازیم. برای مطالعه ی روش ایشان
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید.
سطح D
روش امیر آقا کاملاً درست است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید.
موفق باشید.
1 تیر 1387
