مجموعه مسائل هفته ی بیست و چهارم - سال دوم
با سلام
سطح A
فرض کنید n عددی طبیعی بزرگتر از 5 باشد. ثابت کنید هر مثلث متساوی الاضلاع را می توان به n مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر، تجزیه (افراز) کرد.
=================================
سطح B
فرض کنید p عددی اول باشد. ثابت کنید جذر p، عددی اصم (گنگ) است.
=================================
سطح C
صفحه ی P و دو نقطه ی A و B در دو طرف آن داده شده اند. کره ای شامل A و B بسازید که این صفحه را در دایره ای با کمترین شعاع ممکن قطع کند.
=================================
سطح ِD
فرض کنید A ماتریسی مربعی از مرتبه n و با درایه های مختلط باشد که تمام مقادیر ویژه آن حقیقی است و مجموع درایه ها ی قطر اصلی (اثر) ماتریسهای A^2 و A^3 و A^4 همگی با عدد L برابرند. ثابت کنید L عددی صحیح است و برای هر عدد طبیعی k، مجموع درایه ها ی قطر اصلی A^k برابر است با L.
موفق باشید.
6 فروردین 1387
حل مجموعه مسائل هفته ی بیست و چهارم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
فرض کنید n عددی طبیعی بزرگتر از 5 باشد. ثابت کنید هر مثلث متساوی الاضلاع را می توان به n مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر، تجزیه (افراز) کرد.
=================================
سطح B
فرض کنید p عددی اول باشد. ثابت کنید جذر p، عددی اصم (گنگ) است.
=================================
سطح C
صفحه ی P و دو نقطه ی A و B در دو طرف آن داده شده اند. کره ای شامل A و B بسازید که این صفحه را در دایره ای با کمترین شعاع ممکن قطع کند.
=================================
سطح ِD
فرض کنید A ماتریسی مربعی از مرتبه n و با درایه های مختلط باشد که تمام مقادیر ویژه آن حقیقی است و مجموع درایه ها ی قطر اصلی (اثر) ماتریسهای A^2 و A^3 و A^4 همگی با عدد l برابرند. ثابت کنید l عددی صحیح است و برای هر عدد طبیعی k، مجموع درایه ها ی قطر اصلی A^k برابر است با l.
موفق باشید.
6 فروردین 1387
با سلام
سطح A
از pp8khat که حل مساله را در پست 212 ارسال کردند، متشکرم. راه حل کامل را خدمتتان عرض می کنم.
با توجه به شکل زیر می توان دید که هر مثلث متساوی الاضلاع را می توان به شش، هفت و هشت مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر تقسیم کرد.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
از طرف دیگر هر مثلث متساوی الاضلاع را می توان به چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر تقسیم کرد(کافی است وسطهای اضلاع را به یکدیگر وصل کنیم). بنابر این
- اگر یکی از مثلثهای شکل سمت چپ را به چهار مثلث تقسیم کنیمٍ، مثلث اصلی به 9 مثلث تقسیم خواهد شد؛
- اگر یکی از مثلثهای شکل وسط را به چهار مثلث تقسیم کنیمٍ، مثلث اصلی به 10 مثلث تقسیم خواهد شد؛
- اگر یکی از مثلثهای شکل سمت راست را به چهار مثلث تقسیم کنیمٍ، مثلث اصلی به 11 مثلث تقسیم خواهد شد.
حال اگر این روش را ادامه دهیم، می توانیم هر مثلث متساوی الاضلاع را به 12، 13، 14 و ... مثلث متساوی الاضلاع کوچکتر تقسیم کنیم.(اثبات دقیق تر را می توان با روش استقراء بیان کرد که در سال سوم ریاضی ارائه می شود. )
سطح B
به برهان خلف عمل می کنیم. فرض کنیم جذر p عددی گویا یاشد، بنابر این اعداد طبیعی a و b چنان وجود دارند که
بنابر این خواهیم داشت:
در نتیجه a بر p بخش پذیر است. فرض کنید a=pk؛ با قرار دادن pk به جای a به دست می آوریم:
و لذا b هم بر p بخش پذیر است که متناقض با این فرض است که a و b نسبت به هم اول هستند.
سطح C
ابتدا قوت یک نقطه نسبت به یک دایره را تعریف می کنیم: نقطه ی P و دایره ای را در صفحه ثابت بگیرید و فرض کنید نقطه های A و B محل تلاقی خط دلخواه گذرنده از P با دایره باشد. حاصل ضرب PA.PB را قوت نقطه ی P نسبت به دایره می نامیم. (می توانید با استفاده از تشابه مثلثها، ثابت کنید که این حاصل ضرب به نقاط A و B بستگی ندارد، یعنی اگر خط گذرنده تغییر کند، حاصل ضرب بالا تغییر نمی کند. )
حال فرض کنید MN قطر دایره ی محل تلاقی کره و صفحه باشد و از نقطه ی P محل تلاقی AB و صفحه می گذرد. قرار می دهیم AP=a و BP=b و MP=x و NP=y. اگر قوت نقطه ی P را نسبت به دایره ی عظیمه ی حاصل از AB و MN بنویسیم، به دست می آوریم xy=ab. می خواهیم با در دست داشتن حاصل ضرب xy، مجموع x+y کمینه باشد. با استفاده از نامساوی حسابی-هندسی نتیجه می گیریم که کمترین مقدار x+y برابر است با دو برابر جذر ab که در این حالت x و y هر دو برابر هستند با جذر ab. پس کره از A و B می گذرد و شامل دایره ای با مرکز P و شعاع جذر ab است.
سطح D
فرض کنید
تمام مقادیر ویژه A باشند. پس می توان نوشت:
پس
چون همه مقادیر ویژه، حقیقی هستند، پس همگی یا صفرند یا یک. چون
پس l عددی صحیح است و l تا از مقادیر ویژه، برابر یک و بقیه آنها صفرند. پس
موفق باشید.
12 فروردین 1387
مجموعه مسائل هفته ی بیست و پنجم - سال دوم
با سلام
سطح A
معادلات نیم ساز دو خط متقاطع به معادله های ax+by+c=0 و a'x+b'y+c'=0 را به دست آورید.
=================================
سطح B
ثابت کنید برای هر a و b ی حقیقی داریم:
سطح C
در مثلث ABC فرض کنید D محل برخورد نیمسازهای زاویه ی A با ضلع BC باشد. دایره ای مماس بر BC در نقطه ی D را که از A هم می گذرد رسم می کنیم. نقطه ی دوم تقاطع دایره با AC را M می گیریم و فرض کنید BM دایره را در P قطع کند. ثابت کنید AP میانه ی مثلث ABD است.
=================================
سطح ِD
مجموع سری متناهی a_0+a_1+...+a_n را بیابید که در آن a_0=2 و a_1=5 و برای هر n بزرگتر از 1 داشته باشیم:
موفق باشید.
12 فروردین 1387
حل مجموعه مسائل هفته ی بیست و پنجم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
معادلات نیم ساز دو خط متقاطع به معادله های ax+by+c=0 و a'x+b'y+c'=0 را به دست آورید.
=================================
سطح B
ثابت کنید برای هر a و b ی حقیقی داریم:
سطح C
در مثلث ABC فرض کنید D محل برخورد نیمسازهای زاویه ی A با ضلع BC باشد. دایره ای مماس بر BC در نقطه ی D را که از A هم می گذرد رسم می کنیم. نقطه ی دوم تقاطع دایره با AC را M می گیریم و فرض کنید BM دایره را در P قطع کند. ثابت کنید AP میانه ی مثلث ABD است.
=================================
سطح ِD
مجموع سری متناهی a_0+a_1+...+a_n را بیابید که در آن a_0=2 و a_1=5 و برای هر n بزرگتر از 1 داشته باشیم:
موفق باشید.
12 فروردین 1387
با سلام
سطح A
از pp8khat که حل مساله را ارسال کردند، متشکرم. می دانیم که یک نقطه فقط وقتی روی نیم ساز قرار دارد که فاصله ی آن از دو خط برابر باشد. بنابر این
و لذا معادلات دو نیم ساز عبارتند از:
به طور مثال نیم سازهای دو خط 2x-3y-4=0 و 3x-2y+5=0- عبارتند از 5x-y-9=0 و x-5y-1=0.
سطح B
از soheilsmart برای حل مساله تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
سطح C
با توجه به شکل بالا داریم:
و
و
سه رابطه ی بالا نتیجه می دهند:
یعنی دایره ی محیطی APB در نقطه ی B بر BC مماس است و لذا قوت نقطه ی N نسبت به این دایره برابر است با
بنابر این NB=ND که حل مساله را کامل می کند.
سطح D
فرض کنید
یک بار طرفین F را در 5x- و بار دیگر طرفین F را در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ضرب و این دو رابطه را با هم جمع کنید. با استفاده از رابطه ی بازگشتی مطرح شده در فرض مساله، به دست می آید:
حال کسر را به صورت مجموع کسرهای جزئی بنویسید . با استفاده از سری هندسی خواهید داشت:
بنابر این
در نتیجه
موفق باشید.
27 فروردین 1387
