اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

نقل قول:

---

یه سوال دیگه:
فرض کنید 9 تا نقطه به صورت زیر چیده شده باشن:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنیم برای اینکه این نقاط رو به هم وصل کنیم فقط مجاز به استفاده از خطوط راست هستیم یعنی منحنی نداریم. اگر در خط راست ما شکستگی هم وجود داشته باشد به این معنی که راستای خط عوض شود آنوقت آن را 2 تا خط میشماریم.
حال حداقل با چند خط راست و بدون اینکه خودکار (یا مداد) را از روی کاغذ بلند کنیم میتونیم همه ی نقاط رو به هم وصل کنیم؟
هر کس هر عددی رو میگه لطفا با شکل بذاره تا همه متوجه منظورش بشن و اینکه چطوری به اون راه حل رسیده.

---

5 تا...
اینجوری:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نقل قول:

---

نوشته شده توسط amintnt [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خواهش میکنم.
در مورد سوال اول باید بگم که روش فکر نکردم. در فیزیک پیش دانشگاهی، سوالی هست که تعداد حالت های گذار یک الکترون در تراز n به تراز یک رو میخواد، و توی کتاب آبی کانون فرمول سیگما n-1 رو داده بود. سوالی که شما مطرح کردین شبیه به همین بود، بنابراین من اون جواب رو ارائه دادم و کتاب در مورد اینکه چطور به این رابطه رسیده توضیحی نداده. اما جوابی که الآن داشتم بهش فکر میکردم این بود:
برای طی کردن پله ها، قوباغه یا باید بدون استفاده از پله ها مستقیما به پله ی 30 جهش کنه، یا باید از یک پله استفاده کنه، یا باید از دو پله استفاده کنه، یا سه پله یا... و به همین ترتیب. قورباغه روی پله ی اول قرار داره و مقصد هم پله ی 30 ام هست، پس از این دو پله صرف نظر می کنیم و به 28 پله ی میانی توجه می کنیم. حالا میگیم اگه از یک پله استفاده کنه، به تعداد "ترکیب 1 از 28" راه داره، اگه از دو پله استفاده کنه، به تعداد ترکیب 2 از 28 راه داره و ... . مجموع همه ی اینها میشه جواب، البته عدد یک رو هم باید اضافه کرد، چون صفر از 28 هم هست که در نظر نگرفتیم.

و این مجموع، همونطور که می دونید، تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه ی n عضوی هست که برابر هست با دو به توان n. بنابراین جواب باید بشه دو به توان 28. امیدوارم درست باشه!

و اما سوال دوم:
هر مستطیل از 4 خط تشکیل شده، دو عمودی و دو افقی. باید ببینیم به چند طریق میشه دو خط از n+1 خط رو انتخاب کرد برای عرض مستطیل و به چند طریق دو خط از m+1 خط رو برای طول مستطیل. دلیل اون 1 هم اینه که تعداد خطوط عمودی یا افقی یکی از تعداد خانه های ردیف ها و ستون ها بیشتره.

---

متشکرم. جوابها درسته!

موفق باشین.
88/4/21

نقل قول:

---

نوشته شده توسط SI-SA [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

5 تا...
اینجوری:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

---

ممنونم. ولی فکر کنم با 4 تا خط هم میشه. یه کم روش فکر کن. اگه کس دیگه ای هم نظری داره لطفا بگه.

موفق باشین.
88/4/21

یه سوال نسبتا ناراحت! :
فرض کنید که شما به یک مغازه نانوایی رفته اید و میخواهید از مغازه دار، آرد بخرید.
صاحب مغازه برای کشیدن وزن آردی که به مشتریان میفروشد فقط از یک ترازوی دو کفه ای معمولی استفاده میکند.
صاحب مغازه ایده ی جالبی به کار گرفته است به طوری که با کمترین تعداد ممکن از سنگ ترازو ، قادر است برای شما از بین اعداد صحیح بین 1 تا 40 کیلوگرم، هر مقدار که شما بخواهید را با یک بار استفاده از ترازو و تعدادی از آن سنگها برای شما بسته بندی و آماده کند.
حال سوال این است که صاحب مغازه ی نانوایی از چند سنگ ترازو استفاده کرده است و آن سنگها هر کدام چند کیلویی بوده است؟

موفق باشین.
88/4/21

نقل قول:

---

یه سوال نسبتا ناراحت! :
فرض کنید که شما به یک مغازه نانوایی رفته اید و میخواهید از مغازه دار، آرد بخرید.
صاحب مغازه برای کشیدن وزن آردی که به مشتریان میفروشد فقط از یک ترازوی دو کفه ای معمولی استفاده میکند.
صاحب مغازه ایده ی جالبی به کار گرفته است به طوری که با کمترین تعداد ممکن از سنگ ترازو ، قادر است برای شما از بین اعداد صحیح بین 1 تا 40 کیلوگرم، هر مقدار که شما بخواهید را با یک بار استفاده از ترازو و تعدادی از آن سنگها برای شما بسته بندی و آماده کند.
حال سوال این است که صاحب مغازه ی نانوایی از چند سنگ ترازو استفاده کرده است و آن سنگها هر کدام چند کیلویی بوده است؟

---

باید اعدادی باشه که بتونه همهی 1 تا 40 رو پوشش بده...پس:
1.20.10.2.5.3.1.

نقل قول:

---

نوشته شده توسط SI-SA [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

باید اعدادی باشه که بتونه همهی 1 تا 40 رو پوشش بده...پس:
1.20.10.2.5.3.1.

---

ممنونم دوست خوبم!
چند تا سوال از شما داشتم.
1- چرا سنگ 1 کیلویی رو 2بار به کار بردین؟
2- با این وزنه هایی که گفتین مطمئنا میشه از 1 تا 40 رو ساخت ولی آیا این حداقل تعداد سنگهای مورد نیازه؟ یعنی با کمتر از این تعداد نمیشه چنین کاری کرد؟
3- چه لزومی داره که بیش از 40 کیلو رو هم بتونیم یکضرب بکشیم. این وزنه هایی که شما گفتین تا 44 کیلو رو هم جواب میده. مطمئنا اگه میخوایم حداقل تعداد وزنه ها رو بدست بیاریم باید حالات بهینه رو مورد استفاده قرار بدیم.(این خودش یه راهنمایی برای حل این مساله بود.)

موفق باشین.
88/4/21

نقل قول:

---

یه سوال نسبتا ناراحت! :
فرض کنید که شما به یک مغازه نانوایی رفته اید و میخواهید از مغازه دار، آرد بخرید.
صاحب مغازه برای کشیدن وزن آردی که به مشتریان میفروشد فقط از یک ترازوی دو کفه ای معمولی استفاده میکند.
صاحب مغازه ایده ی جالبی به کار گرفته است به طوری که با کمترین تعداد ممکن از سنگ ترازو ، قادر است برای شما از بین اعداد صحیح بین 1 تا 40 کیلوگرم، هر مقدار که شما بخواهید را با یک بار استفاده از ترازو و تعدادی از آن سنگها برای شما بسته بندی و آماده کند.
حال سوال این است که صاحب مغازه ی نانوایی از چند سنگ ترازو استفاده کرده است و آن سنگها هر کدام چند کیلویی بوده است؟

موفق باشین.
88/4/21

---

معمولا نمیام اینجا ولی این جالب بود:
جواب 4 وزنه هست.
چند نوع ایده غلط هست که سریع به ذهن میرسه اگر این ایده ها به ذهنتون رسید مشکلی نیست یه خورده عجله کردید ولی ذهنتون روشهای خوبی رو امتحان می کنه :
1و2و4و8و16وو32 که میشه 6.
یا از یک روش پله ای استفاده می کنیم: برای تا 40 کیلو یک وزنه 20 کیلو + وزنه هایی فاقد 20 که تا 20 رو بگیره: برای 20: 10 + وزنه های فاقد 10 که تا 10 رو بگیره، برای10 : 5 + فاقد 5 برای تا 5.
حالا با 1و2و3و4 ، 5رو با چندتاش میشه ساخت؟ 3تا: مثلا با 1و2و3 (که میشه ثابت کرد با2تا وزنه نمیشه.) یا بعه عبارتی 3+ تا 2 فاقد 3. که میشه 1و 2
میشه 6تا.

این روش ها هیچ کدوم یک الگوریتم درست نیست چون هر دو در مثال 4 مشکل دارند و جواب 3 عدد 1و2و1 میدهند که جواب درست: 1و3 یعنی دو وزنه هست.
جالا چرا این روشها غلطه؟ چون به دو سمت بودن ترازو دقت نداره.
فرض کنیم وزنه های :
x1,x2,x3,...xn استفاده بشند، سمت راست ترازو رو مثبت وسمت چپ رو منفی میدونیم یعنی آرد سمت چپ هست: با این اعداد باید:
40-,39-,...,2-,1-, + 0 + 2,1,...40,39
که در اینجا میشه: 81 عدد
حالا در هر وزن کشی هر وزنه میتونه سمت چپ، راست یا خارج از ترازو باشه یعنی سه حالت داره:1+و 0 و 1- .
پس نیاز ما به حداقل( در مبنای 3) ( log(81
یعنی 4 وزنه.
حالا میسازیم ولی با وزنه های یکسان کار نمی کنیم ( چون در حالت وجود وزنه یکسان lمثلا x3=x4=1 دیگه 81 عدد ساخته نمیشه چون حالتهای x3-x4 , x4-x3 یا x3*0+x4, x4*0+x3 یکسان میشند وما نمی تونیم به 81 عدد برسیم.) از طرفی چون با 4 وزنه حداکثر ( در حالتی که هیچ دو نوع وزنه گذاری نتیجه یکسان نده ) به 81 می رسیم و 81 هم نیازه پس هیچ دو نوع وزنه گذاری نباید نتیجه یکسان بده:
x1+x2+x3+x4 (biggest number)=40
x1+x2+x3=39(second number)=39
پس:x4=1.
x1+x2+x4 or x1+x2+x3-x4=38 or 37
چون فرق این دوعدد x3-2x4هست و x4=1و x3>=2 پس حالت x1+x2+x3-x4=38 & x1+x2+x4=37 درسته.
پس به سادگی داریم: x3=3.
حالا حالتهای بعدی:
بخش قبل :x1+x2+x4=37 پس x1+x2=36 و پس x1+x2-x4=35 و پس x1+x2+x4-x3=34 و پس x1+x2-x3=33 و پسx1+x2-x3-x4=32.
حالا بزرگترین حالت موجود x1+x3+x4 هست پس: x1+x3+x4=31
پس x1=27 پس x2= 9.
x1=27,x2=9,x3=3,x4=1.
نکته مهم دیگه اینه که اگر تعداد بیشتر از 40 باشه لزوما تعداد هم از 4 بیشتره و اگر کمتر باشه لزوما جواب از 4 بیشتر نیست.
+ وزنه ها همیشه توان 3 هستند که با استقرا یا .... میشه ثابت کرد.

با سلام خدمت davy jones عزیز

اگر ممکنه در مورد اعداد گویا به طور ساده یه توضیحی بدهید. خسته شدم این قدر تعریف تکراری و نامفهوم شنیدم . لطفا به صورت قابل فهم به من یاد بدهید . ضمنا تفاوت اعداد گویا به گنگ چیه؟
با تشکر. زنده باد

نقل قول:

---

تین سوال ممکنه از من پرسیده نشده باشه ولی جواب من:
همه ی اعداد که بشود آنها رو به صورت کسری و غیر رادیکالی اعداد گویا هستند(مثل 7 ، 2/5 ، ... )، و اعداد گنگ هم اعدادی به غیر از گویا هستند(رادیکل ها...عدد P).
البته این نظر منه...ممکنه غلط باشه.

---

کاملا درسته و به عبارتی دیگه عدد گویا حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم است

من یه سوال دارم:
عدد P از کجا اومده؟